新八年級數(shù)學講義第7講乘法公式-基礎班(學生版+解析)

第7講乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如【例題精選】例1(2023秋?定州市期末）若（2a+3b）（）＝9b2﹣4a2，則括號內應填的代數(shù)式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a例2(2023春?鹽田區(qū)校級月考）下列多項式的乘法運算可以運用平方差公式計算的是（）A．（x+1）（x+1） B．（a+2b）（a﹣2b） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（﹣m﹣n）（m+n）【隨堂練習】1．(2023?岱岳區(qū)一模）下面計算正確的是（）A．x3+4x3＝5x6 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y22．(2023秋?開魯縣期末）計算結果為x2﹣y2的是（）A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x﹣y）3．(2023?郯城縣一模）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+2a＝3a3 B．（﹣2a3）2＝4a5 C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a22完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?東坡區(qū)校級月考）計算：（﹣m﹣4n）2．例2(2023春?滕州市期中）若m+n＝7，mn＝12，則m2﹣mn+n2的值是（）A．10 B．11 C．13 D．37【隨堂練習】1．(2023?武漢模擬）運用乘法公式計算（m﹣2）2的結果是（）A．m2﹣4 B．m2﹣2m+4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m﹣42．(2023秋?海安市期中）下列計算正確的是（）A．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 B．（m+2n）2＝m2+4n2 C．（﹣3x+y）2＝3x2﹣6xy+y2 D．3.(2023秋?長寧區(qū)校級月考）簡便計算：（﹣99.9）2．3完全平方式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?遂寧期末）若方程x2+kx+64＝0的左邊是完全平方式，則k的值為（）A．16 B．±8 C．﹣16 D．±16例2(2023春?杭州期中）如果9x2﹣kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30【隨堂練習】1．(2023秋?孝南區(qū)期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一個完全平方式，則m的值為（）A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣22．(2023?海門市校級模擬）若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，則k的值是（）A．±6 B．±12 C．±36 D．±723．(2023秋?斗門區(qū)期末）已知x2﹣8x+a可以寫成一個完全平方式，則a可為（）A．4 B．8 C．16 D．﹣16綜合練習一．選擇題（共4小題）1．如果9x2﹣kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．302．已知a+b＝6，ab＝3，則﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．123．若x2﹣mx+4是一個完全平方式，則m的值應是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣24．把長和寬分別為a和b的四個相同的小長方形拼成如圖的正方形，圖形中陰影部分面積正好可以驗證下面等式的正確性的是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab二．填空題（共2小題）5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，則xy的值為．6．計算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝．三．解答題（共3小題）7．計算：（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．8．化簡：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．9．（1）計算：（﹣2）2+﹣（2）0．（2）化簡：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．第7講乘法公式1平方差公式平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如【例題精選】例1(2023秋?定州市期末）若（2a+3b）（）＝9b2﹣4a2，則括號內應填的代數(shù)式是（）A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a分析：9b2﹣4a2可以看作（3b）2﹣（2a）2，利用平方差公式，可得出答案為3b﹣2a．【解答】解：∵（2a+3b）（3b﹣2a）＝9b2﹣4a2即（3b+2a）（3b﹣2a）＝（3b）2﹣（2a）2∴括號內應填的代數(shù)式是3b﹣2a．故選：D．【點評】本題考查平方差公式的特征，熟記平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是解決此題的關鍵．例2(2023春?鹽田區(qū)校級月考）下列多項式的乘法運算可以運用平方差公式計算的是（）A．（x+1）（x+1） B．（a+2b）（a﹣2b） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（﹣m﹣n）（m+n）分析：根據(jù)平方差公式的式子的特點：兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．相乘的結果是：右邊是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去相反項的平方），對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、（x+1）（x+1）兩項符號都同，不能運用平方差公式，故本選項不符合題意；B、（a+2b）（a﹣2b）符合平方差公式的特點，能運用平方差公式，故本選項符合題意；C、（﹣a+b）（a﹣b）沒有相同項，不能運用平方差公式，故本選項不符合題意；D、（﹣m﹣n）（m+n）沒有相同項，不能運用平方差公式，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題主要考查了平方差公式．注意兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)，并且相同的項和互為相反數(shù)的項必須同時具有．【隨堂練習】1．(2023?岱岳區(qū)一模）下面計算正確的是（）A．x3+4x3＝5x6 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（﹣2x3）4＝16x12 D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2【解答】解：A、x3+4x3＝5x3，故本選項錯誤；B、a2?a3＝a5，故本選項錯誤；C、（﹣2x3）4＝16x12，故本選項正確；D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故本選項錯誤；故選：C．2．(2023秋?開魯縣期末）計算結果為x2﹣y2的是（）A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x﹣y）【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）．故選：A．3．(2023?郯城縣一模）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+2a＝3a3 B．（﹣2a3）2＝4a5 C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2【解答】解：A、原式不能合并，不符合題意；B、原式＝4a6，不符合題意；C、原式＝a2+a﹣2a﹣2＝a2﹣a﹣2，不符合題意；D、原式＝b2﹣a2，符合題意，故選：D．2完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?東坡區(qū)校級月考）計算：（﹣m﹣4n）2．分析：原式利用完全平方公式展開即可．【解答】解：原式＝m2+8mn+16n2．【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．例2(2023春?滕州市期中）若m+n＝7，mn＝12，則m2﹣mn+n2的值是（）A．10 B．11 C．13 D．37分析：利用完全平方公式得到m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：∵m+n＝7，mn＝12，∴m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝72﹣3×12＝13．故選：C．【點評】本題考查了完全平方公式：記住完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了整式的運算．【隨堂練習】1．(2023?武漢模擬）運用乘法公式計算（m﹣2）2的結果是（）A．m2﹣4 B．m2﹣2m+4 C．m2﹣4m+4 D．m2+4m﹣4【解答】解：（m﹣2）2＝m2﹣4m+4，故選：C．2．(2023秋?海安市期中）下列計算正確的是（）A．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 B．（m+2n）2＝m2+4n2 C．（﹣3x+y）2＝3x2﹣6xy+y2 D．【解答】解：A．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故本選項不合題意；B．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本選項不合題意；C．（﹣3x+y）2＝9x2﹣6xy+y2，故本選項不合題意；D.，正確，故本選項符合題意．故選：D．3.(2023秋?長寧區(qū)校級月考）簡便計算：（﹣99.9）2．【解答】解：（﹣99.9）2＝（99.9）2＝（100﹣0.1）2＝1002﹣2×100×0.1+0.12＝10000﹣20+0.01＝9980.013完全平方式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：【例題精選】例1(2023秋?遂寧期末）若方程x2+kx+64＝0的左邊是完全平方式，則k的值為（）A．16 B．±8 C．﹣16 D．±16分析：由于x2+kx+64是一個完全平方式，則x2+kx+64＝（x+8）2或x2+kx+64＝（k﹣8）2，根據(jù)完全平方公式即可得到k的值．【解答】解：∵x2+kx+64是一個完全平方式，∴x2+kx+64＝（x+8）2或x2+kx+64＝（k﹣8）2，∴k＝±16．故選：D．【點評】本題考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．屬于基礎題，熟記公式即可作出正確的選擇．例2(2023春?杭州期中）如果9x2﹣kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30分析：這里首末兩項是3x和5的平方，那么中間項為加上或減去3x和5的乘積的2倍．【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一個完全平方式，∴﹣kx＝±2×3x×5，則k＝±30．故選：C．【點評】本題主要考查完全平方公式，根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)乘積二倍項求解．【隨堂練習】1．(2023秋?孝南區(qū)期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一個完全平方式，則m的值為（）A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣2【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+9是一個完全平方式，∴2（m﹣1）＝±6，解得：m＝4或m＝﹣2，故選：B．2．(2023?海門市校級模擬）若4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，則k的值是（）A．±6 B．±12 C．±36 D．±72【解答】解：∵4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，∴﹣kxy＝±2×2x?3y，解得k＝±12．故選：B．3．(2023秋?斗門區(qū)期末）已知x2﹣8x+a可以寫成一個完全平方式，則a可為（）A．4 B．8 C．16 D．﹣16【解答】解：∵x2﹣8x+a可以寫成一個完全平方式，∴則a可為：16．故選：C．綜合練習一．選擇題（共4小題）1．如果9x2﹣kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A．±15 B．15 C．±30 D．30【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一個完全平方式，∴﹣kx＝±2×3x×5，則k＝±30．故選：C．2．已知a+b＝6，ab＝3，則﹣ab＝（）A．9 B．18 C．15 D．12【解答】解：把a+b＝6兩邊平方得：（a+b）2＝36，整理得：a2+b2+2ab＝36，將ab＝3代入得：a2+b2＝30，則原式＝15﹣3＝12，故選：D．3．若x2﹣mx+4是一個完全平方式，則m的值應是（）A．2 B．﹣2 C．4或﹣4 D．2或﹣2【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4＝x2﹣mx+4，∴m＝±4．故選：C．4．把