2021年滬教版數學必修二同步第10講 向量的概念和線性運算（講義）學生版

第10講向量的概念和線性運算

知識梳理

1.向量的有關概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量；向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的長度（或稱模）

零向量長度為零的向量；其方向是任意的記作d

非零向量a的單位向量為土旦

單位向量長度等于1個單位的向量

問

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共線6與任一向量平行或共線

共線向量

向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大

相等向量長度相等且方向相同的向量

小

相反向量長度相等且方向相反的向量6的相反向量為6

2.向量的幾何運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

⑴交換律：a+b^b+a

a

結合律：

加法求兩個向量和的運算三角形法則(2)

(〃+B)+c=a+0+c).

a

平行四邊形法則

求3與6的相反向量一b

—?—?―?―?

減法a—b=a+b)

的和的運算叫做;與石的a

差三角形法則

（1）Ma=Ma；—>—?

⑵當2>0時，兒二的方

—?—?

求實數X與向量7的積的向與二的方向相同；當A(4+〃)

數乘

—?

運算〈0時，兒二的方向與「的a；

方向相反；當才=0時，

幾a=0

3.共線向量定理

向量a（aWO）與6共線的充要條件是存在唯一一個實數3使得6=Aa.

例題解析

1、向量的概念

思考1向量與數量有什么聯系和區(qū)別？向量有哪幾種表示?

答聯系是向量與數量都是有大小的量；區(qū)別是向量有方向且不能比較大小，數量無方向且

能比較大小.向量可以用有向線段表示，也可以用字母符號表示.用表示向量的有向線段的

長度表示向量能的大小，也就是向量誦的長度（或稱模）.記作I誦I有向線段■頭表示向量

誦的方向.

思考2向量與有向線段有什么區(qū)別？

答向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關.只要大小和方向相同，這兩個向量就是相

同的向量；有向線段是表示向量的工具，它有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管

大小和方向相同，也是不同的有向線段.

思考3滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

答長度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a與6相等，記作a=6.單位向量不

一定是相等向量.

思考4如果非零向量瀛與杳是共線向量，那么點/、B、a，是否一定共線？

答點4B、a〃不一定共線.

思考5若向量［與了平行（或共線），則向量二與了相等嗎？反之，若向量7與花相等，則

向量二與了平行（或共線）嗎？向量平行具備傳遞性嗎？

答向量;與了平行（或共線），則向量;與了不一定相等；向量;與了相等，則向量7與工

平行（或共線）.

向量的平行不具備傳遞性，即若a//b,b//c,則未必有a//c,這是因為，當6=0時,

a、c可以是任意向量，但若6W0,必有a〃6,b//a//c.

例1.（2021?浙江高一單元測試）下列說法正確的是（）

A.向量通與向量麗是相等向量

B.與實數類似，對于兩個向量點百有￡=石，a>B，q<6三種關系

C.兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行

D.若兩個向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合

例2.（2021?全國高一課時練習）下列命題：（1）零向量沒有方向；（2）單位向量都相

等；（3）向量就是有向線段；（4）兩向量相等，若起點相同，終點也相同；（5）若四邊形

ABCD為平行四邊形，則赤=反，前=屬.其中正確命題的個數是（）

A.1B.2

C.3D.4

aA

例3.（2021?全國高一課時練習）設B都是非零向量.下列四個條件中，使==b

\a\\b\

成立的條件是（）

A.a=—bB.allb

C.a=2bD.）〃%且R=W

例4.（2021?全國高一課時練習）下列關于向量的結論：

（1）若Ia1=1BI,則a=6或a=—b；

（2）向量［與B平行，則［與B的方向相同或相反；

（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；

（4）若向量［與B同向，且則

其中正確的序號為（）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.（4）D.（3）

例5.（2021?全國高一課時練習）下面幾個命題：

①若Z=則口=|“；

②若［a|=O,則。=0;

③若a=",則a=6；

④若向量海滿足［I,則￡=

allb

其中正確命題的是

例6.（2021?江蘇高一課時練習）已知四邊形ABCD中，AB=-DC,且

2

|A5|=|BC|,則四邊形ABCD的形狀是.

例7.（2020?全國高一課時練習）給出下列幾種說法：①若非零向量方與5共線，則

d=②若向量值與5同向，且|初＞|6|,則萬〉B；③若兩向量有相同的基線，則兩向

量相等；④若1//B，bllc^則7//1其中錯誤說法的序號是_.

例8.（2020?湖北武漢市?高一期中）下列命題中正確的有.（填序號）

①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；

②若同=懷則］=在；

③若荏=反，則AB,C,。四點構成平行四邊形；

④在口極力中，一定有血=反；

⑤若&=B,b=c'則

⑥若allb，bHe，則allc；

例9.判斷下列命題是否正確，并說明理由.

①若aWb,則a一定不與b共線；

②若'崩=&,則/、B、a，四點是平行四邊形的四個頂點；

③在平行四邊形力6徵中，一定有荔=元；

④若向量a與任一向量6平行，則a=0；

⑤若a=b,b=c,則a=（?；

⑥若a//b,b//c,則2〃。.

例10.如圖所示，△/回的三邊均不相等，E、F、2分別是4aAB、%的中點.

（1）寫出與旗共線的向量；

（2）寫出與赤的模大小相等的向量；

⑶寫出與而相等的向量.

例11.如圖，在平行四邊形/四中，。是兩對角線/G初的交點，設點集S=｛4B,C,

D,。｝,向量集合7=｛而四NRS,且弘及不重合｝,試求集合7中元素的個數.

【鞏固訓練】

1.判斷下列命題是否正確，并說明理由.

①若向量a與6同向，且則a>Z）；

②若向量國=|引，則a與b的長度相等且方向相同或相反；

③對于任意㈤=|引，且a與6的方向相同，則a=6；

④向量a與向量6平行，則向量a與6方向相同或相反.

2.如圖，設。是正六邊形似婀的中心，分別寫出圖中所示向量與應、0B.應相等的向量.

3.以下命題：①㈤與㈤是否相等與a,6的方向無關；②兩個具有公共終點的向量，一定

是共線向量；③兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；④單位向量都是共線向

量.其中，正確命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

4.如圖，在四邊形/成力中，AB=DC,N、〃分別是力久加上的點，且鬲蕩.

求證：DN=m.

2、向量的幾何運算

思考6向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯系?

答向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別：①三角形法則中強調“首尾相連”，

平行四邊形法則中強調的是“共起點”；②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和，而

平行四邊形僅適用于不共線的兩個向量求和.聯系：當兩個向量不共線時，向量加法的三角

形法則和平行四邊形法則是統一的.

思考7|a+b\與1和|引之間的大小關系如何？

答當a與6同向共線時，a+b與a,6同向，且|己+引=|a|+|引.

當a與b反向共線時，若|印〉|引，則a+b與石的方向相同，且|a+引=Ia|—|引；若

\a\<\b\,則a+6與6的方向相同，且|a+引=|引一|a|.

思考8向量減法的三角形法則是什么？

答當把兩個向量a,6的始點移到同一點時，它們的差向量a—6可以通過下面的作法得

到：

①連接兩個向量(a與加的終點；②差向量a—6的方向是指向被減向量的終點.

這種求差向量a—6的方法叫向量減法的三角形法則.概括為“移為共始點，連接兩終點，

方向指被減”.

思考9一般地，我們規(guī)定：實數乂與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘.記

作，1a,該向量的長度與方向與向量a有什么關系？

答Aa仍然是一個向量.

(1)|^a\=\||a|；(2)兒〉0時，Aa與a方向相同；才〈0時，4a與a方向相反；才=0

時，2a=0.方向任意.

思考10向量等式的證明依據是相等向量的定義，既要證明等式兩邊的模相等，又要證明

方向相同.你能根據這兩條證明X(〃a)=(A〃)a這條運算律嗎？

答如果4=0或〃=0或a=0,則①式顯然成立；

如果aWO,則由向量數乘的定義有

X(〃a)\=\A\\na\=\^\\n\\a\,

I(X〃)a|=|X〃|||a|,

故"(“a)|=|(X〃)a].

如果4、〃同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果從〃異號，則①式兩邊向量的

方向都與a反向.

因此，向量/(〃a)與(久〃)a有相等的模和相同的方向，所以4(〃a)=(才〃)a.

思考11如圖所示，8,會是兩個不共線的向量，試用臺,在表示向量誦，CD,EF,GH,~HG,

答通過觀察，可得：/夕=2ei+3ez,CD=—ei+4e^EF=4：ei—4e^

GH=-2a~\~3ei,HG=2e「3a,a=~2e\.

思考12在等邊三角形/阿中，試寫出下面向量的夾角？

a.AB、ACb.AB>CAc.BA、CAd.AB、BA

答a.誦與位的夾角為60°；b.誦與應的夾角為120°；

c.前與方的夾角為60°；d.誦與前的夾角為180°.

例1.如圖，在平行四邊形/四中，。是〃'和劭的交點.

⑴茄+崩=；⑵五斗而十屈；

&)AB+AD+~CD=；⑷元+應+而=.

例2.在正六邊形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=.

例3.如圖所示，在正五邊形/況定中，AB^m,BC=n,CD=p,DE^q,EA=r,求作向

量m—p+n—q—r.

口U

例4.已知任意兩個非零向量H,b,作物=a+6,OB=a+2b,OC=a+36.試判斷2、B、C三

點之間的位置關系，并說明理由.

例5.設ei,a是兩個不共線的向量，AB—2e\-\~kez,6s=&+3出CD=2e「色,若4B,D

三點共線，求A的值.

例6.設礪、礪不平行，點尸在AB上o存在實數九〃使得0P=X0A+〃08

且2+〃=1(2,〃eR)

例7.如圖，已知△/8C中，，為區(qū)的中點，E,廣為國的三等分點，若誦=a,AC=b,G是

△/回的重心，⑴用a、b表示蠢、毒、崩、AG.CG.(2)證明ZS+旃+西=0

例8.已知。是線段A3外一點，若礪=￡,OB=b.

(1)設點A、&是線段A3的三等分點，△。姐、△。44及的重心依次為

GpG2>G3,試用向量￡、B表示*+如+灰￡；

(2)如果在線段A5上有若干個等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論.

例9.如圖所示，設弘“為內的兩點，S.AM=-AB+-AC,AN=-AB+-AC,則△力胡的

面積與的面積之比為

例10.如圖所示，。為△回的外心，〃為垂心，求證：OH=OA+OB+~dc.

例n.如圖所示，在△力回中，點〃為血的中點，5.AN=^NC,AV與。/相交于點2,設葩

=a,AC=b,試以a,6為基底表示

【鞏固訓練】

1.設￡是平行四邊形/的外一點，如圖所示，化簡下列各式:

⑴龐+為=(2)BE+AB+EA=；

(3)DE+CB+EC=⑷或+無+詼+AE=.

2.在邊長為1的正三角形/阿中，|逾一瓦1的值為（）

A.1B.2C.坐D.乖

3.a,Z;為非零向量，且|a+b|=|a|+|引，則（）

A.a〃b,且a與6方向相同B.a,6是共線向量且方向相反

C.a=bD.a,，無論什么關系均可

4.若。是AABC所在平面內一點，且滿足|礪—反卜阿+反—2詞，則AABC的形

狀為

5.為不共線的向量,設條件“工工([2)；條件N：對一切xeR,不等式

a-xb>a-b恒成立.則M是N的條件.

6.設向量以=2a—36,n=4a~2b,p=3a+2b,若用血A表示0,則p=.

7.如圖，平面內有三個向量而、血赤其中應與血勺夾角為120。，應與加夾角為30°,

且|應|=|麗=1,|宓=2鏡，若宓=4應+“而32GR),則兒+”的值為.

8.已知兩個非零向量①和自不共線，如果誦=23+3&,詼=6&+23&,而=4以一8&,求

證：A,B、，三點共線.

9.在平行四邊形45cZ?中，AB=a,AD=b,

(1)如圖1,如果￡,尸分別是比；%的中點，試用a,6分別表示能，DE.

⑵如圖2,如果。是/C與物的交點，G是〃。的中點，試用a,6表示4G.

10.如圖所示，在平行四邊形/四中，點〃是"的中點，點N在物上，且W*ft

求證：M、N、。三點共線.

10.(1)在AQ鉆中，點尸、Q分別在Q4、08上，線段尸。過三角形ABO的重心G,

設西=G,OB=b,OP=ma,OQ=nb,試求‘土烏的值.

mn

(2)在AABC中，點“是A3的中點，點N是AC上一點，且網=,，BN與CM相

AC3

交于點E,設方=1,AC=b,試用大B表示通.

11.如圖所示，已知D是面積為1的4ABC的邊AB上任一點，E是邊AC上任一點，連接DE,

F是線段DE上一點，連接BF,設陋=4筋，AE=%AC,DF=&DE,且

2+2-2=—

‘''2,記△BDF的面積為S=■/■(4,22,4),則s的最大值是()

j_]_j_1

A、2B、3C、4D、8

M為BC上不同于3、C的任意一點，點N滿足

AN=2NM,

若AN=xA5+yAC,則Y+9y2的最小值為

3、向量的坐標運算

思考14

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量入J是兩個互

相垂直的單位向量，向量a與/的夾角是30°,且㈤=4,以向量八J,為基底，向量a如

何表示？

答a=2y/3i+2J.

思考15已知點/(X1,yi),B(X2,乃)，那么向量誦的坐標是什么？一般地，一個任意向量

的坐標如何計算？點的坐標與向量的坐標有何區(qū)別？

答筋=此一如%—%).任意一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點坐標減

去始點坐標.

(1)向量a=(x,力中間用等號連接，而點的坐標/(x,y)中間沒有等號.

(2)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終點的坐標相同.

(3)在平面直角坐標系中，符號(x,只可表示一個點，也可表示一個向量，敘述中應指明點

(x,為或向量向,y).

思考16當臍=4屬，點戶的坐標是什么？

答：原—南+河*南+兒旗=南+4(旗一曲=南+八旗一4加，

.才南+才旗12(11>,(AA\

??°P=i+1=7^7(荀，?)十^7(*2，％)=(^7為，7^7小1+(1^7茲,7^7刁

(X\+^X2Ji+4⑶?/X1+AX2%+

=11+)，1+A\]+x，1+A/

例1.若麗=(2,4),AC=(1,3)，則與前共線的單位向量為.

例2.已知a=(—2,3),6=(3,1),c—(10,—4),試用a,力表示c.

八一A

例3.向量4b,。在正方形網格中的位置如圖所不，若。〃￡R),求下的

值.

例4.已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(3,7),(4,6),(1,-2),求第四個頂點的坐

標.

例5.已知00=(85仇51!16),OQ=(l+sinai+cos6)(Owe<;r),求,0的取值范

圍.并指出。為何值時，|用|取得最大值.

例6.已知三點2(1,2),6(2,4),<7(3,而共線，試求"的值.

例7.設向量OA=(l,—2),O6=(a,—l),OC=(—〃,0),其中