2025屆湖南省郴州市湘南中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆湖南省郴州市湘南中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線，直線，若，則直線與的距離為（）A． B． C． D．2．已知為不同的平面,為不同的直線則下列選項(xiàng)正確的是（）A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則3．（）A． B． C． D．4．在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若c=2bsinC，B≤πA．π6 B．π4 C．π5．設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A．1 B． C． D．7．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．下列命題正確的是（）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱.B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱.C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱.D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái).9．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A． B． C． D．1110．直線2x+y+4=0與圓x+22+y+32=5A．255 B．455二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下圖是2016年在巴西舉行的奧運(yùn)會(huì)上，七位評(píng)委為某體操運(yùn)動(dòng)員的單項(xiàng)比賽打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為__________．12．水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為______．13．已知都是銳角，，則=_____14．若,則____________.15．已知角滿足且，則角是第________象限的角．16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么使得其前項(xiàng)和大于7.999的的最小值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成立，求的最小值.19．在平面上有一點(diǎn)列、、、、，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；（1）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；（2）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)，以、、為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求的取值范圍；（3）設(shè)，若?。?）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是多少？試說(shuō)明理由；20．本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.21．已知向量，，且函數(shù).若函數(shù)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸距離為.（Ⅰ)求函數(shù)的解析式；（Ⅱ)若方程在時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的值；（Ⅲ)若函數(shù)在的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用直線平行的性質(zhì)解得，再由兩平行線間的距離求解即可【詳解】∵直線l1：ax+2y﹣1＝0，直線l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，∴，且解得a＝﹣1．所以直線l1：1x-2y+1＝0，直線l2：1x-2y+3＝0，故與的距離為故選A．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線平行的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．2、C【解析】

通過(guò)對(duì)ABCD逐一判斷，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可得到答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，有可能異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，可能相交或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，顯然故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，也有可能，故錯(cuò)誤.所以答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力，難度不大.3、B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式的逆用變形即可得解.【詳解】由題：故選：B【點(diǎn)睛】此題考查兩角和的余弦公式的逆用，關(guān)鍵在于熟記相關(guān)公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)求值.4、A【解析】

利用正弦定理可求得sinB=12【詳解】因?yàn)閏=2bsinC，所以sinC=2sinBsinC，所以sinB=1【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的運(yùn)用，難度較小.5、B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內(nèi).【考點(diǎn)定位】點(diǎn)線面的位置關(guān)系6、D【解析】由圖象性質(zhì)可知，，解得，故選D。7、D【解析】

首先確定題中，，的取值范圍，再根據(jù)大小排序即可.【詳解】由題知，，，，所以排序得到.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較指數(shù)對(duì)數(shù)的大小問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析：有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體，A錯(cuò)；有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯(cuò)；用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，D錯(cuò)；由棱柱的定義，C正確；考點(diǎn)：1、棱柱的概念；2、棱臺(tái)的概念.9、C【解析】

由題意易得數(shù)列的公比代入求和公式計(jì)算可得．【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，，則，解得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的公比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．10、C【解析】

先求出圓心到直線的距離d，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式l=2r【詳解】由題意得，圓x+22+y+32=5圓心-2,-3到直線2x+y+4=0的距離為d=|2×(-2)-3+4|∴MN=2故選C．【點(diǎn)睛】求圓的弦長(zhǎng)有兩種方法：一是求出直線和圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；二是利用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離，在由半徑、弦心距和半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形中運(yùn)用勾股定理求解，此時(shí)不要忘了求出的是半弦長(zhǎng)．在具體的求解中一般利用幾何法，以減少運(yùn)算、增強(qiáng)解題的直觀性．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由平均數(shù)公式可得，故所求數(shù)據(jù)的方差是，應(yīng)填答案。12、【解析】

利用斜二測(cè)直觀圖的畫圖規(guī)則，可得為一個(gè)直角三角形，且，得，從而得到邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為.【詳解】利用斜二測(cè)直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長(zhǎng)度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長(zhǎng)度減半，利用逆向原則，所以為一個(gè)直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法的規(guī)則，考查基本識(shí)圖、作圖能力.13、【解析】

由已知求出，再由兩角差的正弦公式計(jì)算．【詳解】∵都是銳角，∴，又，∴，，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式．考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系．解題關(guān)鍵是角的變換，即．這在三角函數(shù)恒等變換中很重要，即解題時(shí)要觀察“已知角”和“未知角”的關(guān)系，根據(jù)這個(gè)關(guān)系選用相應(yīng)的公式計(jì)算．14、【解析】故答案為.15、三【解析】

根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，確定所在象限.【詳解】由于，所以為第三、第四象限角；由于，所以為第二、第三象限角.故為第三象限角.故答案為：三【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立不等式，解不等式求出結(jié)果．【詳解】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式，則：，所以：當(dāng)時(shí)，即：，當(dāng)時(shí)，成立，即：的最小值為1．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)一元二次不等式的求解方法直接求解即可；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，通過(guò)基本不等式求得的最小值，則.【詳解】（1）或所求不等式解集為：（2）當(dāng)時(shí)，可化為：又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）即的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、恒成立問(wèn)題的求解問(wèn)題.解決恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)分離變量的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問(wèn)題.18、（1）；（2）10.【解析】

（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項(xiàng)公式得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)裂項(xiàng)相消法求，再解不等式得，即得的最小值.【詳解】（1）由知：，兩式相減得:，即，又?jǐn)?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，∴，∴，又當(dāng)時(shí)，，即，解得或(舍），符合，∴是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，∴.（2），∴，又∵，即，解得，又，所以的最小值為10.點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.19、（1）；（2）；（3）最大，詳見解析；【解析】

(1)易得的橫坐標(biāo)為代入函數(shù)即可得縱坐標(biāo).(2)易得數(shù)列為遞減的數(shù)列,若要組成三角形則,再代入表達(dá)式求解不等式即可.(3)由可知求即可.【詳解】(1)由點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有.故.(2)因?yàn)?故為減函數(shù),故,又以、、為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形,故即.解得或,又,故.(3)由取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù),且,故.故,由題當(dāng)時(shí)數(shù)列取最大項(xiàng).故且,計(jì)算得當(dāng)時(shí)取最大值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合題型,需要根據(jù)題意找到函數(shù)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系,同時(shí)也要列出對(duì)應(yīng)的不等式再化簡(jiǎn)求解.屬于中等題型.20、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時(shí)公差為.【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項(xiàng)：，由求出，對(duì)q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關(guān)于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關(guān)于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時(shí)a1，a2，…ak的公差．【詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當(dāng)1＜q≤3時(shí)，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對(duì)于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當(dāng)1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當(dāng)時(shí)，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時(shí)，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設(shè)a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當(dāng)n＝1時(shí)，d≤2；當(dāng)n＝2，3，…，k﹣1時(shí)，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時(shí)，a1，a2，…ak的公差為．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求法；考查不等式組的解法；找好分類討論的起點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于一道難題．21、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解析】

（Ⅰ)根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，根據(jù)周期計(jì)算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調(diào)性，計(jì)算最值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，從而得出的范圍，根據(jù)對(duì)稱性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關(guān)于的二次函數(shù)，討論二次函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)最大值列方程求出的值．【詳解】（Ⅰ）∵，，