上海市寶山區(qū)同濟中學2025屆高一數學第二學期期末考試試題含解析

上海市寶山區(qū)同濟中學2025屆高一數學第二學期期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，是圓的直徑，，假設你往圓內隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）A． B． C． D．2．下列各數中最小的數是（）A． B． C． D．3．函數的部分圖像如圖所示，則A．B．C．D．4．若數列{an}是等比數列，且an＞0，則數列也是等比數列.若數列是等差數列，可類比得到關于等差數列的一個性質為().A．是等差數列B．是等差數列C．是等差數列D．是等差數列5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，若，則周長的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．126．公差不為零的等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3是a2與a6的等比中項，S3＝3，則S8＝（）A．36 B．42 C．48 D．607．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，從中任意取出一個，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是()A．127 B．29 C．48．一個圓柱的母線長為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．409．邊長為的正方形中，點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使兩點重合于，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，則C．若，，，則 D．若，，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正方體中,，分別為,的中點,那么異面直線與所成角的余弦值為______.12．設，為單位向量，其中，，且在方向上的射影數量為2，則與的夾角是___．13．長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是14．方程在區(qū)間上的解為___________．15．方程的解集是___________16．中醫(yī)藥是反映中華民族對生命、健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術方法的醫(yī)藥學體系，是中華文明的瑰寶.某科研機構研究發(fā)現，某品種中成藥的藥物成份的含量（單位：）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關系：.檢測這種藥品一個批次的5個樣本，得到成份的平均值為，標準差為，估計這批中成藥的藥物功效的平均值為__________藥物單位．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列an滿足an+1=2an（1）求證:數列bn（2）求數列an的前n項和為S18．設等差數列的公差為d，前項和為，等比數列的公比為．已知，，，．（1）求數列，的通項公式；（2）當時，記，求數列的前項和．19．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機選取一個向量，求的概率.20．已知數列的前項和為，，.（1）證明：數列是等比數列，并求其通項公式；（2）令，若對恒成立，求的取值范圍.21．在等差數列中，，，等比數列中，，．（1）求數列，的通項公式；（2）若，求數列的前n項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

先根據條件計算出陰影部分的面積，然后計算出整個圓的面積，利用幾何概型中的面積模型即可計算出對應的概率.【詳解】設圓的半徑為，因為，所以，又因為，所以落到陰影部分的概率為.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型中的面積模型的簡單應用，難度較易.注意幾何概型的常見概率公式：.2、D【解析】

將選項中的數轉化為十進制的數，由此求得最小值的數.【詳解】依題意，，，，故最小的為D.所以本小題選D.【點睛】本小題主要考查不同進制的數比較大小，屬于基礎題.3、A【解析】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點】三角函數的圖像與性質【名師點睛】根據圖像求解析式問題的一般方法是：先根據函數圖像的最高點、最低點確定A，h的值，由函數的周期確定ω的值，再根據函數圖像上的一個特殊點確定φ值．4、B【解析】試題分析：本題是由等比數列與等差數列的相似性質，推出有關結論：由“等比”類比到“等差”，由“幾何平均數”類比到“算數平均數”；所以，所得結論為是等差數列.考點：類比推理.5、D【解析】

利用正弦定理和三角函數關系式，求得的值，由角的范圍求出角的的大小，再由條件和余弦定理列出方程，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，根據正弦定理可得，因為，所以，所以，即，又由，所以，由余弦定理可得，又因為，當且僅當時等號成立，又由，所以，即，所以三角形的周長的最大值為.故選：D.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函數的性質，以及基本不等式的應用綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.6、C【解析】

設出等差數列的公差d，根據a3是a2與a6的等比中項，S3＝3，利用等比數列的性質和等差數列的前n項和的公式化簡得到關于等差數列首項和公差方程組，求出方程組的解集即可得到首項和公差，然后再利用等差數列的前n項和的公式求出S8即可【詳解】設公差為d（d≠0），則有，化簡得：，因為d≠0，解得a1＝-1，d＝2，則S8＝-82＝1．故選：C．【點評】此題考查運用等差數列的前n項和的公式及等比數列的通項公式化簡求值，意在考查公式運用，是基礎題．7、C【解析】

先求出基本事件總數n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，由此能求出在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率．【詳解】∵一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，∴基本事件總數n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，則在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率P=1227=故選：C【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查函數與方程思想，是基礎題．8、B【解析】分析：要求圓柱的軸截面的面積，需先知道圓柱的軸截面是什么圖形，圓柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長、寬分別為，根據矩形面積公式可得結果.詳解：因為圓柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長是母線長，寬為底面圓的直徑，所以軸截面的面積為，故選B.點睛：本題主要考查圓柱的性質以及圓柱軸截面的面積，屬于簡單題.9、D【解析】

在正方形中連接，交于點，根據正方形的性質，在折疊圖中平面，得到，從而平面，面平面，則是在平面上的射影，找到直線與平面所所成的角.然后在直角三角中求解.【詳解】如圖所示：在正方形中連接，交于點，在折疊圖，連接，因為，所以平面，所以，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面，則是在平面上的射影，所以即為所求.因為故選：D【點睛】本題主要考查了折疊圖問題，還考查了推理論證和空間想象的能力，屬于中檔題.10、C【解析】

利用線面垂直、線面平行、面面垂直的性質定理分別對選項分析選擇．【詳解】對于A，若，，則或者；故A錯誤；對于B，若，則可能在內或者平行于；故B錯誤；對于C，若，，，過分作平面于，作平面,則根據線面平行的性質定理得，，∴，根據線面平行的判定定理，可得，又，，根據線面平行的性質定理可得，又，∴；故C正確；對于D．若，，則與可能垂直，如墻角；故D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了面面垂直、線面平行、線面垂直的性質定理及應用，涉及空間線線平行的傳遞性，考查了空間想象能力，熟練運用定理是關鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

異面直線所成角，一般平移到同一個平面求解．【詳解】連接DF，異面直線與所成角等于【點睛】異面直線所成角，一般平移到同一個平面求解．不能平移時通?？紤]建系，利用向量解決問題．12、【解析】

利用在方向上的射影數量為2可得：，即可整理得：，問題得解.【詳解】因為在方向上的射影數量為2，所以，整理得：又，為單位向量，所以.設與的夾角，則所以與的夾角是【點睛】本題主要考查了向量射影的概念及方程思想，還考查了平面向量夾角公式應用，考查轉化能力及計算能力，屬于中檔題.13、【解析】

利用長方體的體對角線是長方體外接球的直徑,求出球的半徑，從而可得結果.【詳解】本題主要考查空間幾何體的表面積與體積．長方體的體對角線是長方體外接球的直徑,設球的半徑為，則,可得，球的表面積故答案為.【點睛】本題主要考查長方體與球的幾何性質，以及球的表面積公式，屬于基礎題.14、【解析】試題分析：化簡得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考點】二倍角公式及三角函數求值【名師點睛】已知三角函數值求角，基本思路是通過化簡，得到角的某種三角函數值，結合角的范圍求解.本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計算能力等.15、或【解析】

方程的根等價于或，分別求兩個三角方程的根可得答案.【詳解】方程或，所以或，所以或.故答案為：或.【點睛】本題考查三角方程的求解，求解時可利用單位圓中的三角函數線，注意終邊相同角的表示，考查運算求解能力和數形結合思想的運用.16、92【解析】

由題可得，進而可得，再計算出，從而得出答案．【詳解】5個樣本成份的平均值為，標準差為，所以，，即，解得因為，所以所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位【點睛】本題考查求幾個數的平均數，解題的關鍵是求出，屬于一般題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)S【解析】

（1）計算得到bn+1bn（2）根據（1）知an【詳解】(1)因為bn+1b所以數列bn(2)因為bn=aSn【點睛】本題考查了等比數列的證明，分組求和，意在考查學生的計算能力和對于數列方法的靈活運用.18、(1)見解析(2)【解析】

（1）利用前10項和與首項、公差的關系，聯(lián)立方程組計算即可；（2）當d＞1時，由（1）知cn，寫出Tn、Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數列的求和公式，計算即可．【詳解】解：（1）設a1＝a，由題意可得，解得，或，當時，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；當時，an（2n+79），bn＝9?；（2）當d＞1時，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3?5?7?9?（2n﹣1）?，∴Tn＝1?3?5?7?（2n﹣3）?（2n﹣1）?，∴Tn＝2（2n﹣1）?3，∴Tn＝6．【點睛】本題考查求數列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根據向量的垂直，轉化出方程組，求解方程組即可；（2）將向量賦予坐標，求得向量對應點的軌跡方程，將問題轉化為圓外一點，到圓上一點的距離的最值問題，即可求解；（3）根據余弦定理，解得，以及的臨界狀態(tài)時，對應的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）因為故可得，解得①②由①-②可得，解得，將其代入①可得，即將其代入②可得解得，又向量夾角的范圍為，故向量與的夾角為.（2）不妨設，由可得.不妨設的起始點為坐標原點，終點為C.因此，點C落在以)為圓心，1為半徑的圓上（如圖）.因為，即由圓的特點可知的最小值為，即：.（3）當時，因為，，滿足勾股定理，故容易得.當時，假設此時點落在如圖所示的F點處.如圖所示.因為，由余弦定理容易得，故.所以，本題化為，在半圓上任取一點C，點C落在弧CF上的概率.由幾何概型的概率計算可知：的概率即為圓心角的弧度除以，即.【點睛】本題考查向量垂直時數量積的表示，以及利用解析的手段解決向量問題的能力，還有幾何概型的概率計算，涉及圓方程的求解，以及余弦定理.本題屬于綜合題，值得總結.20、（1）證明見解析，（2）【解析】

（1）當時，結合可求得；當且時，利用可整理得，可證得數列為等比數列；根據等比數列通項公式可求得結果；（2）根據等比數列求和公式求得，代入可得；分別在為奇數和為偶數兩種情況下根據恒成立，采用分離變量的方法得到的范圍，綜合可得結果.【詳解】（1）當時，，又當且時，數列是以為首項，為公比的等比數列（2）由（1）知：當為奇數時，，即：恒成立當為偶數時，，即：綜上所述，若對恒成立，則【點睛】本題考查等比數列知