高等數(shù)學(xué)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則

節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性2021/5/91函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

連續(xù)上一節(jié)結(jié)論：在內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)

。初等函數(shù)連續(xù)性？

由常數(shù)和基本初等函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)的復(fù)合所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).2021/5/92初等函數(shù)常數(shù)基本初等函數(shù)四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算研究初等函數(shù)連續(xù)性需：(1)基本初等函數(shù)連續(xù)性(2)連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算(3)連續(xù)函數(shù)復(fù)合運(yùn)算2021/5/93定理1一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)論:（1）三角函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)若函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0

處連續(xù)，則f(x)+g(x)，f(x)g(x)，在點(diǎn)x0

處連續(xù)。故tanx,cotx,secx,cscx在定義域上連續(xù)2021/5/942.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)x=f-1(y)

定理2若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加且連續(xù),則它的反函數(shù)x=f-1(y)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加且連續(xù).y=f(x)y=f-1(x)x=f-1(y)2021/5/95因?yàn)閥=sinx在上單調(diào)增加且連續(xù)結(jié)論：（1）三角函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)（2）反三角函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)（3）指數(shù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)（4）對(duì)數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)故y=logax在(0,+∞)單調(diào)增加且連續(xù)。在(-∞,+∞)單調(diào)增加且連續(xù)故y=arcsinx在[-1,1]上單調(diào)增加且連續(xù)冪函數(shù)?2021/5/96冪函數(shù)?復(fù)合函數(shù)連續(xù)性?問(wèn)題：函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)若函數(shù)y=f(x)連續(xù)，是否成立92021/5/97定理3設(shè)y=f(g(x))是由y=f(u)與u=g(x)復(fù)合而成,若而y=f(u)在u0點(diǎn)連續(xù),則證明：

y=f(u)在u0點(diǎn)連續(xù),

當(dāng)|u-u0|<η時(shí)，

當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，

當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，2021/5/98當(dāng)外層函數(shù)連續(xù)，內(nèi)層函數(shù)極限存在，且時(shí)，“極限號(hào)”可以“穿過(guò)”外層“函數(shù)號(hào)”例1證明當(dāng)x→0時(shí)，ln(1+x)~x,證：

當(dāng)x→0時(shí)，ln(1+x)~x，2021/5/99例2證明當(dāng)x→0時(shí)，arcsinx~x,當(dāng)x→0時(shí)，t→0

當(dāng)x→0時(shí)，arcsinx~x證：設(shè)則x=sint

常用等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)x→0時(shí)，2021/5/910練習(xí)1.計(jì)算極限2.當(dāng)x→0時(shí)，是x的幾階無(wú)窮?。?021/5/911定理4設(shè)y=f(g(x))是由y=f(u)與u=g(x)復(fù)合而成,若g(x)在x0點(diǎn)連續(xù),g(x0)=u0,而y=f(u)在u0點(diǎn)連續(xù),則y=f(g(x))在x0點(diǎn)連續(xù)。

證明復(fù)合運(yùn)算保連續(xù)冪函數(shù)故y=f(g(x))在x0點(diǎn)連續(xù)。

2021/5/912結(jié)論：（1）三角函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)（2）反三角函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)（3）指數(shù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)（4）對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)（5）冪函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)皆連續(xù)2021/5/913三、初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)常數(shù)基本初等函數(shù)四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算連續(xù)保連續(xù)定理4初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.2021/5/914注:1.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);

例如,在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.函數(shù)在區(qū)間[1,＋∞)上連續(xù)例如2021/5/915例3求極限計(jì)算：2021/5/916

設(shè)證則冪指函數(shù)求極限的方法：當(dāng)?shù)讛?shù)的極限為正，且指數(shù)的極限為常數(shù)時(shí)，冪指函數(shù)求極限等于對(duì)其底數(shù)和指數(shù)分別取極限。2021/5/917例4求極限解2021/