數(shù)學(xué)文化習(xí)題集

數(shù)學(xué)文化專項習(xí)題集

110題

一、數(shù)學(xué)文化與閱讀..........................................................2

二、數(shù)學(xué)文化與函數(shù)..........................................................6

三、數(shù)學(xué)文化與數(shù)列..........................................................8

四、數(shù)學(xué)文化與新定義.......................................................14

五、數(shù)學(xué)文化與三角函數(shù).....................................................17

六、數(shù)學(xué)文化與立體幾何.....................................................20

七、數(shù)學(xué)文化與概率統(tǒng)計.....................................................27

八、數(shù)學(xué)文化與排列組合.....................................................32

九、數(shù)學(xué)文化與解析幾何.....................................................33

一、數(shù)學(xué)文化與閱讀

例1.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中，用如圖1所示的三角

形，解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布萊士?帕斯卡的著作（1655

年）介紹了這個三角形.近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國,所以有些書上稱這是“中國

三角形”（Chinesetriangle）.17世紀德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖2.在楊

輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式:CZ+CL1=C技;，其中n是行數(shù),rGN.請類比上式，在萊布尼

茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是.

22

222

363

2J_J_1

14n124

12I1.L,L±1

,*52030205

15：061051W3344表?

-11_________11]

cSc-a,???a?-acticsCLG!CLC

圖1圖2

例2.在數(shù)學(xué)中，泰勒級數(shù)用無限項連加式——級數(shù)來表示一個函數(shù)，包括正弦，余弦，正

切三角函數(shù)等等，其中泰勒級數(shù)是以于1715年發(fā)表了泰勒公式的英國數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒

SirBrookTaylor）的名字來命名的.1715年，泰勒提出了一個常用的方法來構(gòu)建這一系列

級數(shù)并適用于所有函數(shù)，這就是后來被人們所熟知的泰勒級數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公

_urS'X"X°X,X,x，甘）*

式：e=2,—=--1----1----1----1---1>其中xeR，neN，?!=lx2x3x4x---x?>

M〃！0!1!2!3!n\

例如：0!=l.1!=1-2!=2，3!=6?試用上述公式估計；的近似值為（精確到。001）

e-

（）

A.1.601B.1.642C.1.648D.1.647

惻3.“克拉茨猜想”又稱“3〃+i猜想”，是德國數(shù)學(xué)家洛薩?克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會

上公布的一個猜想:任給一個正整數(shù)〃，如果〃是偶數(shù)，就將它減半；如果”是奇數(shù)，就將

它乘3加1,不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數(shù)〃經(jīng)過7

次運算后首次得到1,則N的所有不同取值的集合為.

例4.大約在20世紀30年代，世界上許多國家都流傳著這樣一個題目：任取一個正整數(shù)

〃，如果它是偶數(shù)，則除以2；如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1,這樣反復(fù)運算，最后結(jié)

果必然是1.這個題目在東方被稱為“角谷猜想”，世界一流的大數(shù)學(xué)家都被其卷入其中，用

盡了各種方法，甚至動用了最先進的電子計算機，驗算到對700億以內(nèi)的自然數(shù)上述結(jié)論

均為正確的，但卻給不出一般性的證明.例如取”=13,則要想算出結(jié)果1，共需要經(jīng)過的

運算步數(shù)是（）

A.9B.10C.11D.12

例5.中國古代用算籌來進行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一

個多位數(shù)時，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需

要縱橫相間，其中個位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表

示，則56846可用算籌表示為（）

123456789

IIIinmimuTHH而縱式

___===姿上工橫式

中國古代的算籌數(shù)碼

-lllll±￥IIIITB-lllll±￥^T

c.^TlllllXD-lllll±￥llll±

例6.用“算籌”表示數(shù)是我國古代計數(shù)方法之一，計數(shù)形式有縱式和橫式兩種，如圖1所示.

金元時期的數(shù)學(xué)家李冶在《測圓海鏡》中記載：用“天元術(shù)”列方程，就是用算籌來表示方

程中各項的系數(shù).所謂“天元術(shù)”，即是一種用數(shù)學(xué)符號列方程的方法，“立天元一為某某“，

意即“設(shè)x為某某”.如圖2所示的天元式表示方程+?—F=09其中死,

4,…，a］，a表示方程各項的系數(shù)，均為籌算數(shù)碼，在常數(shù)項旁邊記一“太”字或在一

次項旁邊記一“元”字，“太”或“元”向上每層減少一次累，向下每層增加一次暴.

縱式：IIIIIIIllimilTT￥w

橫式：一=三三=_L=1==

123456789

圖1

a?太a”_

兀

或…

為

ai

為

圖2圖3

試根據(jù)上述數(shù)學(xué)史料，判斷圖3天元式表示的方程是（）

A-x2+286x4-1743=0B-x4+27x2+84x+163=0

C-1743X2+286X+1=0D-163X4+84X3+27X+1=0

例7.分形幾何是美籍法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支，其中

的“謝爾賓斯基”圖形的作法是:先作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各

邊的中點為頂點的三角形），然后在剩下的每個小正三角形中又挖去一個“中心三角形”.按上

述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮，最終所得的極限圖形稱為“謝爾賓斯基”圖形（如圖所

示），按上述操作7次后，“謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個數(shù)為（）

A.35B.36C.37D.38

例8.“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、

庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫

做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了

干支紀年法，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲

申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60個組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡.2019

年是“干支紀年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀年法”中的

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

例9.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸

素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近

代術(shù)語解釋為：把陽爻"一”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“一當(dāng)作數(shù)字“0”，則八封所代表的數(shù)

表示如下：

卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)

坤——0000

艮—0011

坎0102

巽三0113

依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為“二二”，其表示的十進制數(shù)是（）

A.33B.34C.36D.35

例10.中國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即

“結(jié)繩計數(shù)如圖，一位古人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進一，用來記錄捕魚

條數(shù)，由圖可知，這位古人共捕魚（）

A.89條B.113條C.324條D.445條

二、數(shù)學(xué)文化與函數(shù)

例11.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.如圖所示的太

極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱

統(tǒng)-的形式美、和諧美.定義：圖象能夠?qū)A。的周長和面積同時等分I

成兩部分的函數(shù)稱為圓o的一個“太極函數(shù)”，給出下列命題：W?y

①對于任意一個圓o,其“太極函數(shù)”有無數(shù)個；

②函數(shù)yu）=ln（『+m加+1）可以是某個圓的“太極函數(shù)”;

③正弦函數(shù)y=sinx可以同時是無數(shù)個圓的“太極函數(shù)”；

④函數(shù)y=/U）是“太極函數(shù)''的充要條件為函數(shù)y=/U）的圖象是中心對稱圖形.

其中正確的命題為（）

A.①③B.①@④C.②③D.①④

例12.天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（〃力又名依

巴谷）在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)

值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)

家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等

或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足肛-〃4=2.5（愴區(qū)-但￡）.其中星等為網(wǎng)的星的亮

度為g（i=1,2）.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天

津四”的「倍，則與r最接近的是（當(dāng)卜|較小時，1OZ1+2.3X+2.7/）

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

例13.我們經(jīng)常聽到這樣一種說法：一張紙經(jīng)過一定次數(shù)對折之后厚度能超過地月距離.但

實際上，因為紙張本身有厚度，我們并不能將紙張無限次對折，當(dāng)我們的厚度超過紙張的

長邊時，便不能繼續(xù)對折了，一張長邊為w,厚度為x的矩形紙張沿兩個方向不斷對折，

則經(jīng)過兩次對折，長邊變?yōu)楣n，厚度變?yōu)?r在理想情況下，對折次數(shù)w有下列關(guān)系：

2

/?<—log,--（注：1g2ao.3），根據(jù)以上信息，一張長為21c”?，厚度為0.05/w”的紙最多

3~x

能對折一次.

例14.如圖所示，九連環(huán)是中國的一種古老的智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無窮.它主要

由九個圓環(huán)及框架組成，每個圓環(huán)都連有一個直桿，各直桿在后一個圓環(huán)內(nèi)穿過，九個直

桿的另一端用平板或者圓環(huán)相對固定，圓環(huán)在框架上可以解下或者套上.九連環(huán)游戲按某

種規(guī)則將九個環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第〃個圓環(huán)解下最少需要移動的次數(shù)

記為/(〃)(〃49且〃€乂‘)，已知"1)=1，/(2)=1，且通過該規(guī)則可得

/(n)=/(/J-l)+2/(n-2)+l,則解下第5個圓環(huán)最少需要移動的次數(shù)為()

A.7B.16C.19D.21

例15.秦九韶算法是中國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項式簡化算法.秦九韶算法

是一種將一元〃次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化為"個一次式的算法.其大大簡化了計算過程，即

使在現(xiàn)代，利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法.用秦九韶

算法計算當(dāng)x=0.6時函數(shù)/(力=/+2/+3/+4的值時，需要進行加法運算的次數(shù)及函

數(shù)值分別為()

A.3,5.6426B.4,5.6426

C.3,5.6416D.4,5.6416

三、數(shù)學(xué)文化與數(shù)列

例16.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺.莞生一

日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第1天

長高3尺，莞草第1天長高1尺.以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一

天的2倍.問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第

天時，蒲草和莞草的高度相同.（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：愴3%

0.4771,lg2M）.3010）.

例17.騰訊公司推出了下表所示的QQ在線等級制度，設(shè)等級為"級需要的天數(shù)為

N*），

等級等級圖標需要天數(shù)等級等級圖標需要天數(shù)

1會5777

2128&&96

3仆仆仆2112&&&192

4&3216320

5&會45321152

660482496

則等級為50級需要的天數(shù)/=

例18.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩

二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二.問物幾何?”這里的幾何指多少的意思.翻譯成數(shù)學(xué)語言就

是：求正整數(shù)N，使N除以3余2,除以5余2.根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，今有由小到大排列的

所有正整數(shù)數(shù)列｛七｝、｛4｝,｛凡｝滿足被3除余2,%=2，也｝滿足被5除余2,

偽=2，把數(shù)列｛??｝與｛bn｝相同的項從小到大組成一個新數(shù)列，記為｛q,｝,則下列說法正確

的是（)

AB

-Q=4+a-c6=a2b,c.Q1=a46D.a,+2/>2=c4

例19.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不

為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還意思為有

一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一

半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

例20.《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚

蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分

日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為

（）

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

例21.古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成

正三角形的數(shù)，如1,3,6,10,15,.…我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰在（四元玉鑒》中所

記載的“垛積術(shù)”，其中的"落一形‘’堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的堆垛（如圖所

不,頂上一層1個球，下一層3個球,再下一層6個球，…）.若一“落一形”三角錐垛有10

層,則該堆垛總共球的個數(shù)為（

三角錐垛

A.55B.220C.285D.385

州22.造紙術(shù)是我國古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成

一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標準，規(guī)定以AO、A1、…、A1O；BO、BI、…、B1O等

標記來表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面

規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長度（以y表示）的比例關(guān)系為

x:y=l:0；②將AO紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為A1規(guī)格-A1紙張沿長度方向

對開成兩等分，便成為A2規(guī)格，…，如此對開至A8規(guī)格?現(xiàn)有AO、Al、A2、…、A8紙

各一張.若A4紙的面積為624cM,則這9張紙的面積之和等于加2.

的23.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚

蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若

冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則冬至的日影子

長為.

例24.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，書中有一道題為：今有出門望見九堤，

堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾

何？若記堤與枝的個數(shù)分別為見”，現(xiàn)有一個等差數(shù)列{2},其前”項和為S“，且

a2=m'$6="'貝U4=（）

A.84B.159C.234D.243

例25.在進行1+2+3+…+100的求和運算時，德國大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原

理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高

斯算法.已知數(shù)列而不，則4+生+...+《,，+刈6=（）

A.‘+504B.里+504

24

C./72+504D.2/77+504

例26.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二

人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、

乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問

五人各得多少錢？“（“錢”是古代的一種重量單位）.這個問題中，甲所得為.

例27.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算

經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五

五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：將1到2020這2020個

自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則

該數(shù)列各項之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

例28.《張邱建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著.書中有如下問題：“今有馬行

轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里.問日行幾何？”其意思是：“現(xiàn)有一匹馬，行走的速度

逐漸變慢，每天走的里程是前一天的一半，連續(xù)行走7天，共走700里路，問每天走的里數(shù)

為多少？’'則該馬第4天走的里數(shù)為（）

128700560044800

A.歷B.歷C.⑵口.127

例29.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷

吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了

牛的一半，羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、

馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三

畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的

青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

&2550100R252550「100200400n50100200

757'714'7'77"7'77'7‘7

例30.《張丘建算經(jīng)》是公元5世紀中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書中卷上第二十三

問：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈.問半月積幾何？'‘其意思為

“有個女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一個月（按30天計）共織

布9匹3丈.問：前半個月（按15天計）共織多少布？"已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估

算出前半個月一共織的布約有（）

A.195尺B.133尺C.130尺D.135尺

例31.《張丘建算經(jīng)》是中國古代的數(shù)學(xué)著作，書中有一道題為：“今有女善織，日益功疾

（注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現(xiàn)一月（按30

天計）共織390尺布”，則第30天織布（）

A.7尺B.14尺C.21尺D.28尺

例32.朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有

如下一段話：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”

其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出

的人數(shù)比前一天多7人.”該段話中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為（）

例33.我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣

辱（gui）長損益相同（辱是按照日影測定時刻的儀器，辱長即為所測量影子的長度）.二十四個

節(jié)氣及號長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣辱長的變化量相同，周而復(fù)始.若冬至暑長一丈三

尺五寸，夏至號長一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后的那個節(jié)氣（小暑）

唇長是（）

，芒種\

冬至270：；90夏至

大雪

24120

\小雪u大的

A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

倒34.“斐波那契”數(shù)列由十三世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn).數(shù)列中的一系列數(shù)字常被

人們稱之為神奇數(shù).具體數(shù)列為1,1,2,3,5,8…，即從該數(shù)列的第三項數(shù)字開始，每

個數(shù)字等于前兩個相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列｛an｝為“斐波那契”數(shù)列，5“為數(shù)列｛aJ的前n

項和，若則§2.8=_（用M表示）

例35.“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的.數(shù)列中的一系列數(shù)字常

被人們稱為神奇數(shù).具體數(shù)列為：1,1,2,3,5,8,13,…，即從該數(shù)列的第三項開始，每個數(shù)字

都等于前兩個相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列｛〃”｝為“斐波那契”數(shù)列，S,為數(shù)列｛斯｝的前n項和，

若。2021="?，則52019=(

A.2mC.m~\-1D.m—1

例36.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳

統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)

量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…，則此數(shù)列的第20項為（）

A.220B.200C.180D.162

例37.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗.苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰：“我羊

食半馬，，.馬主日：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何.其意思是：今有牛、馬、羊吃

了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟.羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半馬

主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多

少粟？在這個問題中，牛主人比羊主人多賠償（）

A.乎斗粟B.孚斗粟

C與斗粟D.當(dāng)斗粟

例38.《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，

大鼠日一尺,小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何?”題意是:有兩只老

鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每

天減半，問幾天兩只老鼠能相遇,相遇時各自打了多少尺的墻.如果墻足夠厚$為前〃天兩只

老鼠打洞長度之和，則5?=尺.

例39.如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序:正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形

邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個正方形，設(shè)初始正方形的邊長為日，則最小正

方形的邊長為

四、數(shù)學(xué)文化與新定義

例40.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)

加）=1'"為有理數(shù)'稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)段）有以下四個命題：

（0/為無理數(shù)

須＞））=1；

②函數(shù)人尤）是偶函數(shù)；

③任意一個非零有理數(shù)T於+7）=/（x）對任意xdR恒成立；

他￥在三個點4（獷危|））,8（也危2））,（?（右危3））,使得44區(qū)為等邊三角形.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.I

例41.規(guī)定記號“A”表示一?種運算，即?！髫?/石+a+6,a,%GR.若1定=3,則函數(shù)危）

=k\x的值域是.

例42.定義一種運算“※”，對于任意"GN*均滿足以下運算性質(zhì)：（1）2X2017=1；⑵（2〃

+2）派2017=（2"）※2017+3.則2018X2017=.

例43.定義：若數(shù)列{的}對任意的正整數(shù)〃，都有|a“+i|+%|=d（d為常數(shù)）,則稱{““}為“絕對

和數(shù)列“，d叫作"絕對公和”.在“絕對和數(shù)列‘‘{%}中，0=2,“絕對公和”為3,則其前2019

項的和$2019的最小值為（）

A.-3022B.3022C.-3025D.3035

例44.設(shè)集合4={-1,0,1},集合B={0』,2,3},定義A*B={（x,加GACB,yGAUB},則

A*B中元素的個數(shù)是（）

A.7B.10C.25D.52

例45.中國古代數(shù)學(xué)名草《周髀算經(jīng)》曾記載有“勾股各自乘，并而開方除之“，用符號表

示為/+62=c2（a,6,cwN*），我們把小〃，c叫做勾股數(shù).下列給出幾組勾股數(shù):3,4,5；

5,12,13；7,24,25；9,40,41,以此類推，可猜測第5組股數(shù)的三個數(shù)依次是.

的46.設(shè)P,Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P3Q={z|z=aM,a&P,h&Q},若P=

{-1,0,1}.Q={-2,2},則集合P?Q中元素的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

例47.設(shè)向量a與6的夾角為仇定義a與人的“向量積”："匕是一個向量，它的模|"例=

|a|-|ft|-sin6,若a=(—小,—1),b=(l,巾),則|axb|=()

A.y/3B.2C.2小D.4

例48.如果把四個面都是直角三角形的四面體稱為“三節(jié)棍體”，那么從長方體八個頂點中

任取四個頂點，則這四個頂點是“三節(jié)棍體”的四個頂點的概率為.

例49.中國古代近似計算方法源遠流長，早在八世紀，我國著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家張隧

(法號：一行)為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計算的方法一二次插值算法(又稱一行

算法，牛頓也創(chuàng)造了此算法，但是比我國張隧晚了上千年)：函數(shù)y=/(x)在x=x/

x=x2＜》=%3(為＜々＜與)處的函數(shù)值分別為y=，y2=/(x,)＞%=/(%3)則在區(qū)

間［斗,匕］上/(x)可以用二次函數(shù)來近似代替：/(x)=y,+^l(x-xl)+fc2(x-xl)(x-x2).其

中匕=上二區(qū)，&二"，&=若令為=(),x,=-.匕=萬，請依據(jù)上述算

XX

工2一再X3-X23~\~2

法，估算sin包是()

5

A.3B.3C.11D.少

5252525

例50.設(shè)函數(shù)/)=%一區(qū),其中㈤表示不超過，的最大整數(shù),如［-1.2］=-2,［1.2］=1,

口］=1.將函數(shù)危)在區(qū)間(02)上零點的個數(shù)記為相，函數(shù)/w與g)=一1的圖象的交點個數(shù)

記為幾,則定積分￡g(x)cU=

例51.若計算由曲線y=5及直線》=1和x軸所圍成的曲邊三角形的面積時，可將區(qū)間

等分為若干個小區(qū)間，并以直代曲得到若干個窄邊矩形，其面積表示為而???=

1,2,3,???).當(dāng)區(qū)間［0,1］被無限細分時，這些窄邊矩形的面積之和將趨近于曲邊三角形的面

積，且面積S=/也dx類比曲邊三角形面積的求法，計算曲線)，=5及直線x=l和x軸所

圍成的曲邊三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)360。所成旋轉(zhuǎn)體的體積，則體積V可以表示為()

A.rlir\fxdxB.fl7t(yfx)2dxC.C}x\［xdxD.C］97i(y［x)2dx

JoJo

例52.已知無為實數(shù)，［幻表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則函數(shù)＜x)=x—㈤在R上為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)

例53.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利

用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(—2,3)且法向量為〃=(4,-1)的直線(點法式)

方程為4X(x+2)+(-l)X(y-3)=0,化簡得以一)，+11=0.類比以上方法，在空間直角坐

標系中，經(jīng)過點8(123)且法向量為,”=(—1,—2,1)的平面(點法式)方程為.

五、數(shù)學(xué)文化與三角函數(shù)

例54.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進行設(shè)計的.如

圖，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如果小正方形

的面積為1，大正方形的面積為25,直角三角形中較大的銳角為仇那么tan(e+3=

例55.秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有己知三邊求三角形面

積的方法：“以小斜累并大斜累減中斜寨，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜累減上，余四

約之，為實一為從隔，開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是

S=-a2c2-(a2+c2~b2］，其中a也c?是口/WC的內(nèi)角的對邊為.若

rL12川

sinC=2sinAcos且〃+c2=2，則口A8C面積S的最大值為-

例56.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書

畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號.如圖是折扇的示意圖，A

為03的中點，若在整個扇形區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則此點取自扇面(扇環(huán))部分的概率是

()

0

A.1B.1C.-D.9

4248

例57.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典.其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，

其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問

徑凡何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口

深一寸，鋸道長一尺?問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在

墻體中，截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）.已知弦48=1尺，弓形高

8=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為（）（注：1丈=10尺=100寸，/。3.14，

sin22.5°?—）

13

A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸

例58.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了

“勾股圓方圖”，亦稱"趙爽弦圖“（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加

上中間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等

的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)而=2而+

若￡）尸=24尸，則可以推出/1+〃=.

例59.干支紀年歷法（農(nóng)歷），是屹立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一，與國際公歷歷法

并存.黃帝時期，就有了使用六十花甲子的干支紀年歷法.干支是天干和地支的總稱，把

干支順序相配正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸十個符號叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個

符號叫地支.受此周期律的啟發(fā)，可以求得函數(shù)/Q）=sing+cos3x的最小正周期為

（）

A-15萬B.12萬C.6兀D.3萬

例6（）.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊長求三角形的面積的“三斜求積”

公式：設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則AABC的面積S=

一若a2sinC=4sinA,（a+c）2^n+b2,則用“三斜求積”公式求得

/XABC的面積為（）

A幣B.2C.3D.^6

例61.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)

現(xiàn)了“黃金分割”."黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門類中審美的要素之一，

它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為與LO.618,這一比值也可以表示為〃?=2sin18。.若m2

〃則（）

+=4,AJ2COS呼227°-1=11

A.1B.2C.4D.8

俐62.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中“方田”章給出了計算弧田面積

時所用的經(jīng)驗公式，即弧田面積=gx（弦x矢+矢2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公

式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”指圓弧頂?shù)较业木嚯x（等于半徑長與圓心到弦的距離之差），

現(xiàn)有圓心角為號，半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積是平方

米.（結(jié)果保留根號）

方、數(shù)學(xué)文化與立體幾何

例63.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時，用一個圓臺形的天池

盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九

寸，則平地降雨量是（）

（注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式

上+JS上S下+S。/）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

例64.足球被譽為“世界第一運動”，它是全球體育界最具影響力的單項體育運動，足球的

表面可看成是由正二十面體用平面截角的方法形成的，即用如圖1所示的正二十面體，從

每個頂點的棱邊的1處將其頂角截去，截去20個頂角后剩下的如圖2所示的結(jié)構(gòu)就是足球

3

的表面結(jié)構(gòu).已知正二十面體是由20個邊長為3的正三角形圍成的封閉幾何體，則如圖2

所示的幾何體中所有棱邊數(shù)為.

圖1卸

例65.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正

方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一

個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長

為1.則該半正多面體共有一個面，其棱長為一.

圖1圖2

例66.學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體

A5CQ-A4GR，挖去四棱錐O-EEG〃后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E,

F,G,H,分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,e=457,3。打印所用原料密度

為0.9g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為—g.

俐67.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的

有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六

成一,該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高〃，計算其體積V的近似公式—

36

它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率乃近似取為3,那么，近似公式丫。=乙外相當(dāng)于將

75

圓錐體積公式中的,近似取為（）

A22D25廠157D.空

A.—D.—C.---

7850113

例68.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有倉，廣

三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何？’‘其意思為：“今有一個長方體的糧倉，寬3丈，

長4丈5尺，可裝粟一萬斛.問該糧倉的高是多少？己知1斛粟的體積為2.7立方尺，1丈

為10尺，則該糧倉的外接球的表面積是（）

A.絲生平方丈B.&平方丈C.生平方丈D.照平方丈

4444

例69.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形

ABCD、半徑為r的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂

點與4）的中點N重合，斜邊在直線上.己知S為3C的中點，現(xiàn)將該圖形繞直線NS旋

轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為（）

A.2+D.

33

例70.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德構(gòu)造了一個“圓柱容器”的幾何體：在圓柱容器里放一個球，使

該球四周碰壁，且與上，下底面相切，則在該幾何體中，圓柱的體積與球的體積之比為（）

24