數(shù)學(xué)文化習(xí)題集

數(shù)學(xué)文化專項(xiàng)習(xí)題集

110題

一、數(shù)學(xué)文化與閱讀..........................................................2

二、數(shù)學(xué)文化與函數(shù)..........................................................6

三、數(shù)學(xué)文化與數(shù)列..........................................................8

四、數(shù)學(xué)文化與新定義.......................................................14

五、數(shù)學(xué)文化與三角函數(shù).....................................................17

六、數(shù)學(xué)文化與立體幾何.....................................................20

七、數(shù)學(xué)文化與概率統(tǒng)計(jì).....................................................27

八、數(shù)學(xué)文化與排列組合.....................................................32

九、數(shù)學(xué)文化與解析幾何.....................................................33

一、數(shù)學(xué)文化與閱讀

例1.在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書(shū)中，用如圖1所示的三角

形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士?帕斯卡的著作（1655

年）介紹了這個(gè)三角形.近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó),所以有些書(shū)上稱這是“中國(guó)

三角形”（Chinesetriangle）.17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖2.在楊

輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式:CZ+CL1=C技;，其中n是行數(shù),rGN.請(qǐng)類比上式，在萊布尼

茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是.

22

222

363

2J_J_1

14n124

12I1.L,L±1

,*52030205

15：061051W3344表?

-11_________11]

cSc-a,???a?-acticsCLG!CLC

圖1圖2

例2.在數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限項(xiàng)連加式——級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，包括正弦，余弦，正

切三角函數(shù)等等，其中泰勒級(jí)數(shù)是以于1715年發(fā)表了泰勒公式的英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒

SirBrookTaylor）的名字來(lái)命名的.1715年，泰勒提出了一個(gè)常用的方法來(lái)構(gòu)建這一系列

級(jí)數(shù)并適用于所有函數(shù)，這就是后來(lái)被人們所熟知的泰勒級(jí)數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公

_urS'X"X°X,X,x，甘）*

式：e=2,—=--1----1----1----1---1>其中xeR，neN，?!=lx2x3x4x---x?>

M〃！0!1!2!3!n\

例如：0!=l.1!=1-2!=2，3!=6?試用上述公式估計(jì)；的近似值為（精確到。001）

e-

（）

A.1.601B.1.642C.1.648D.1.647

惻3.“克拉茨猜想”又稱“3〃+i猜想”，是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩?克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)

上公布的一個(gè)猜想:任給一個(gè)正整數(shù)〃，如果〃是偶數(shù)，就將它減半；如果”是奇數(shù)，就將

它乘3加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數(shù)〃經(jīng)過(guò)7

次運(yùn)算后首次得到1,則N的所有不同取值的集合為.

例4.大約在20世紀(jì)30年代，世界上許多國(guó)家都流傳著這樣一個(gè)題目：任取一個(gè)正整數(shù)

〃，如果它是偶數(shù)，則除以2；如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1,這樣反復(fù)運(yùn)算，最后結(jié)

果必然是1.這個(gè)題目在東方被稱為“角谷猜想”，世界一流的大數(shù)學(xué)家都被其卷入其中，用

盡了各種方法，甚至動(dòng)用了最先進(jìn)的電子計(jì)算機(jī)，驗(yàn)算到對(duì)700億以內(nèi)的自然數(shù)上述結(jié)論

均為正確的，但卻給不出一般性的證明.例如取”=13,則要想算出結(jié)果1，共需要經(jīng)過(guò)的

運(yùn)算步數(shù)是（）

A.9B.10C.11D.12

例5.中國(guó)古代用算籌來(lái)進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一

個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需

要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位……用橫式表

示，則56846可用算籌表示為（）

123456789

IIIinmimuTHH而縱式

___===姿上工橫式

中國(guó)古代的算籌數(shù)碼

-lllll±￥IIIITB-lllll±￥^T

c.^TlllllXD-lllll±￥llll±

例6.用“算籌”表示數(shù)是我國(guó)古代計(jì)數(shù)方法之一，計(jì)數(shù)形式有縱式和橫式兩種，如圖1所示.

金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家李冶在《測(cè)圓海鏡》中記載：用“天元術(shù)”列方程，就是用算籌來(lái)表示方

程中各項(xiàng)的系數(shù).所謂“天元術(shù)”，即是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法，“立天元一為某某“，

意即“設(shè)x為某某”.如圖2所示的天元式表示方程+?—F=09其中死,

4,…，a］，a表示方程各項(xiàng)的系數(shù)，均為籌算數(shù)碼，在常數(shù)項(xiàng)旁邊記一“太”字或在一

次項(xiàng)旁邊記一“元”字，“太”或“元”向上每層減少一次累，向下每層增加一次暴.

縱式：IIIIIIIllimilTT￥w

橫式：一=三三=_L=1==

123456789

圖1

a?太a”_

兀

或…

為

ai

為

圖2圖3

試根據(jù)上述數(shù)學(xué)史料，判斷圖3天元式表示的方程是（）

A-x2+286x4-1743=0B-x4+27x2+84x+163=0

C-1743X2+286X+1=0D-163X4+84X3+27X+1=0

例7.分形幾何是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)數(shù)學(xué)新分支，其中

的“謝爾賓斯基”圖形的作法是:先作一個(gè)正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各

邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的每個(gè)小正三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”.按上

述方法無(wú)限連續(xù)地作下去直到無(wú)窮，最終所得的極限圖形稱為“謝爾賓斯基”圖形（如圖所

示），按上述操作7次后，“謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.35B.36C.37D.38

例8.“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來(lái)使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、

庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫

做“十二地支”.“天干”以“甲”字開(kāi)始，“地支”以“子”字開(kāi)始，兩者按干支順序相配，組成了

干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，?/p>

申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60個(gè)組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無(wú)窮無(wú)盡.2019

年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的

A.甲辰年B.乙巳年C.丙午年D.丁未年

例9.《周易》歷來(lái)被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物深刻而又樸

素的認(rèn)識(shí)，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近

代術(shù)語(yǔ)解釋為：把陽(yáng)爻"一”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“一當(dāng)作數(shù)字“0”，則八封所代表的數(shù)

表示如下：

卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)

坤——0000

艮—0011

坎0102

巽三0113

依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號(hào)為“二二”，其表示的十進(jìn)制數(shù)是（）

A.33B.34C.36D.35

例10.中國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即

“結(jié)繩計(jì)數(shù)如圖，一位古人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，用來(lái)記錄捕魚(yú)

條數(shù)，由圖可知，這位古人共捕魚(yú)（）

A.89條B.113條C.324條D.445條

二、數(shù)學(xué)文化與函數(shù)

例11.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”.如圖所示的太

極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱

統(tǒng)-的形式美、和諧美.定義：圖象能夠?qū)A。的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分I

成兩部分的函數(shù)稱為圓o的一個(gè)“太極函數(shù)”，給出下列命題：W?y

①對(duì)于任意一個(gè)圓o,其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)；

②函數(shù)yu）=ln（『+m加+1）可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”;

③正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”；

④函數(shù)y=/U）是“太極函數(shù)''的充要條件為函數(shù)y=/U）的圖象是中心對(duì)稱圖形.

其中正確的命題為（）

A.①③B.①@④C.②③D.①④

例12.天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（〃力又名依

巴谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)

值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)

家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等

或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足肛-〃4=2.5（愴區(qū)-但￡）.其中星等為網(wǎng)的星的亮

度為g（i=1,2）.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天

津四”的「倍，則與r最接近的是（當(dāng)卜|較小時(shí)，1OZ1+2.3X+2.7/）

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

例13.我們經(jīng)常聽(tīng)到這樣一種說(shuō)法：一張紙經(jīng)過(guò)一定次數(shù)對(duì)折之后厚度能超過(guò)地月距離.但

實(shí)際上，因?yàn)榧垙埍旧碛泻穸龋覀儾⒉荒軐⒓垙垷o(wú)限次對(duì)折，當(dāng)我們的厚度超過(guò)紙張的

長(zhǎng)邊時(shí)，便不能繼續(xù)對(duì)折了，一張長(zhǎng)邊為w,厚度為x的矩形紙張沿兩個(gè)方向不斷對(duì)折，

則經(jīng)過(guò)兩次對(duì)折，長(zhǎng)邊變?yōu)楣n，厚度變?yōu)?r在理想情況下，對(duì)折次數(shù)w有下列關(guān)系：

2

/?<—log,--（注：1g2ao.3），根據(jù)以上信息，一張長(zhǎng)為21c”?，厚度為0.05/w”的紙最多

3~x

能對(duì)折一次.

例14.如圖所示，九連環(huán)是中國(guó)的一種古老的智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無(wú)窮.它主要

由九個(gè)圓環(huán)及框架組成，每個(gè)圓環(huán)都連有一個(gè)直桿，各直桿在后一個(gè)圓環(huán)內(nèi)穿過(guò)，九個(gè)直

桿的另一端用平板或者圓環(huán)相對(duì)固定，圓環(huán)在框架上可以解下或者套上.九連環(huán)游戲按某

種規(guī)則將九個(gè)環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第〃個(gè)圓環(huán)解下最少需要移動(dòng)的次數(shù)

記為/(〃)(〃49且〃€乂‘)，已知"1)=1，/(2)=1，且通過(guò)該規(guī)則可得

/(n)=/(/J-l)+2/(n-2)+l,則解下第5個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)為()

A.7B.16C.19D.21

例15.秦九韶算法是中國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法.秦九韶算法

是一種將一元〃次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為"個(gè)一次式的算法.其大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，即

使在現(xiàn)代，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問(wèn)題時(shí)，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法.用秦九韶

算法計(jì)算當(dāng)x=0.6時(shí)函數(shù)/(力=/+2/+3/+4的值時(shí)，需要進(jìn)行加法運(yùn)算的次數(shù)及函

數(shù)值分別為()

A.3,5.6426B.4,5.6426

C.3,5.6416D.4,5.6416

三、數(shù)學(xué)文化與數(shù)列

例16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺.莞生一

日，長(zhǎng)一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？”意思是：“今有蒲草第1天

長(zhǎng)高3尺，莞草第1天長(zhǎng)高1尺.以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞草每天長(zhǎng)高前一

天的2倍.問(wèn)第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第

天時(shí)，蒲草和莞草的高度相同.（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：愴3%

0.4771,lg2M）.3010）.

例17.騰訊公司推出了下表所示的QQ在線等級(jí)制度，設(shè)等級(jí)為"級(jí)需要的天數(shù)為

N*），

等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)

1會(huì)5777

2128&&96

3仆仆仆2112&&&192

4&3216320

5&會(huì)45321152

660482496

則等級(jí)為50級(jí)需要的天數(shù)/=

例18.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩

二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何?”這里的幾何指多少的意思.翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就

是：求正整數(shù)N，使N除以3余2,除以5余2.根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，今有由小到大排列的

所有正整數(shù)數(shù)列｛七｝、｛4｝,｛凡｝滿足被3除余2,%=2，也｝滿足被5除余2,

偽=2，把數(shù)列｛??｝與｛bn｝相同的項(xiàng)從小到大組成一個(gè)新數(shù)列，記為｛q,｝,則下列說(shuō)法正確

的是（)

AB

-Q=4+a-c6=a2b,c.Q1=a46D.a,+2/>2=c4

例19.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不

為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還意思為有

一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一

半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

例20.《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚

蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分

日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問(wèn)芒種日影長(zhǎng)為

（）

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

例21.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成

正三角形的數(shù)，如1,3,6,10,15,.…我國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在（四元玉鑒》中所

記載的“垛積術(shù)”，其中的"落一形‘’堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的堆垛（如圖所

不,頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球,再下一層6個(gè)球，…）.若一“落一形”三角錐垛有10

層,則該堆垛總共球的個(gè)數(shù)為（

三角錐垛

A.55B.220C.285D.385

州22.造紙術(shù)是我國(guó)古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過(guò)修整切邊，裁成

一定的尺寸.現(xiàn)在我國(guó)采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以AO、A1、…、A1O；BO、BI、…、B1O等

標(biāo)記來(lái)表示紙張的幅面規(guī)格.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面

規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長(zhǎng)度（以y表示）的比例關(guān)系為

x:y=l:0；②將AO紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為A1規(guī)格-A1紙張沿長(zhǎng)度方向

對(duì)開(kāi)成兩等分，便成為A2規(guī)格，…，如此對(duì)開(kāi)至A8規(guī)格?現(xiàn)有AO、Al、A2、…、A8紙

各一張.若A4紙的面積為624cM,則這9張紙的面積之和等于加2.

的23.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚

蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若

冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則冬至的日影子

長(zhǎng)為.

例24.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中有一道題為：今有出門(mén)望見(jiàn)九堤，

堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問(wèn)各幾

何？若記堤與枝的個(gè)數(shù)分別為見(jiàn)”，現(xiàn)有一個(gè)等差數(shù)列{2},其前”項(xiàng)和為S“，且

a2=m'$6="'貝U4=（）

A.84B.159C.234D.243

例25.在進(jìn)行1+2+3+…+100的求和運(yùn)算時(shí)，德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原

理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高

斯算法.已知數(shù)列而不，則4+生+...+《,，+刈6=（）

A.‘+504B.里+504

24

C./72+504D.2/77+504

例26.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二

人所得與下三人等.問(wèn)各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、

乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問(wèn)

五人各得多少錢(qián)？“（“錢(qián)”是古代的一種重量單位）.這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為.

例27.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算

經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五

五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：將1到2020這2020個(gè)

自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則

該數(shù)列各項(xiàng)之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

例28.《張邱建算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著.書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有馬行

轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里.問(wèn)日行幾何？”其意思是：“現(xiàn)有一匹馬，行走的速度

逐漸變慢，每天走的里程是前一天的一半，連續(xù)行走7天，共走700里路，問(wèn)每天走的里數(shù)

為多少？’'則該馬第4天走的里數(shù)為（）

128700560044800

A.歷B.歷C.⑵口.127

例29.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷

吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了

牛的一半，羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問(wèn)各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、

馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三

畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的

青苗是馬的一半.問(wèn)羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）

&2550100R252550「100200400n50100200

757'714'7'77"7'77'7‘7

例30.《張丘建算經(jīng)》是公元5世紀(jì)中國(guó)古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中卷上第二十三

問(wèn)：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈.問(wèn)半月積幾何？'‘其意思為

“有個(gè)女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一個(gè)月（按30天計(jì)）共織

布9匹3丈.問(wèn)：前半個(gè)月（按15天計(jì)）共織多少布？"已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估

算出前半個(gè)月一共織的布約有（）

A.195尺B.133尺C.130尺D.135尺

例31.《張丘建算經(jīng)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中有一道題為：“今有女善織，日益功疾

（注：從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布），第一天織5尺布，現(xiàn)一月（按30

天計(jì)）共織390尺布”，則第30天織布（）

A.7尺B.14尺C.21尺D.28尺

例32.朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問(wèn)中有

如下一段話：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”

其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開(kāi)始每天派出

的人數(shù)比前一天多7人.”該段話中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為（）

例33.我國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣

辱（gui）長(zhǎng)損益相同（辱是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，辱長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度）.二十四個(gè)

節(jié)氣及號(hào)長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣辱長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始.若冬至暑長(zhǎng)一丈三

尺五寸，夏至號(hào)長(zhǎng)一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣（小暑）

唇長(zhǎng)是（）

，芒種\

冬至270：；90夏至

大雪

24120

\小雪u大的

A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

倒34.“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn).數(shù)列中的一系列數(shù)字常被

人們稱之為神奇數(shù).具體數(shù)列為1,1,2,3,5,8…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開(kāi)始，每

個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列｛an｝為“斐波那契”數(shù)列，5“為數(shù)列｛aJ的前n

項(xiàng)和，若則§2.8=_（用M表示）

例35.“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的.數(shù)列中的一系列數(shù)字常

被人們稱為神奇數(shù).具體數(shù)列為：1,1,2,3,5,8,13,…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字

都等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列｛〃”｝為“斐波那契”數(shù)列，S,為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，

若。2021="?，則52019=(

A.2mC.m~\-1D.m—1

例36.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳

統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)

量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…，則此數(shù)列的第20項(xiàng)為（）

A.220B.200C.180D.162

例37.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗.苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰：“我羊

食半馬，，.馬主日：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何.其意思是：今有牛、馬、羊吃

了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟.羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半馬

主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多

少粟？在這個(gè)問(wèn)題中，牛主人比羊主人多賠償（）

A.乎斗粟B.孚斗粟

C與斗粟D.當(dāng)斗粟

例38.《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，

大鼠日一尺,小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢，各穿幾何?”題意是:有兩只老

鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍;小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每

天減半，問(wèn)幾天兩只老鼠能相遇,相遇時(shí)各自打了多少尺的墻.如果墻足夠厚$為前〃天兩只

老鼠打洞長(zhǎng)度之和，則5?=尺.

例39.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序:正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形

邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為日，則最小正

方形的邊長(zhǎng)為

四、數(shù)學(xué)文化與新定義

例40.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)

加）=1'"為有理數(shù)'稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)段）有以下四個(gè)命題：

（0/為無(wú)理數(shù)

須＞））=1；

②函數(shù)人尤）是偶函數(shù)；

③任意一個(gè)非零有理數(shù)T於+7）=/（x）對(duì)任意xdR恒成立；

他￥在三個(gè)點(diǎn)4（獷危|））,8（也危2））,（?（右危3））,使得44區(qū)為等邊三角形.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.I

例41.規(guī)定記號(hào)“A”表示一?種運(yùn)算，即?！髫?/石+a+6,a,%GR.若1定=3,則函數(shù)危）

=k\x的值域是.

例42.定義一種運(yùn)算“※”，對(duì)于任意"GN*均滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：（1）2X2017=1；⑵（2〃

+2）派2017=（2"）※2017+3.則2018X2017=.

例43.定義：若數(shù)列{的}對(duì)任意的正整數(shù)〃，都有|a“+i|+%|=d（d為常數(shù)）,則稱{““}為“絕對(duì)

和數(shù)列“，d叫作"絕對(duì)公和”.在“絕對(duì)和數(shù)列‘‘{%}中，0=2,“絕對(duì)公和”為3,則其前2019

項(xiàng)的和$2019的最小值為（）

A.-3022B.3022C.-3025D.3035

例44.設(shè)集合4={-1,0,1},集合B={0』,2,3},定義A*B={（x,加GACB,yGAUB},則

A*B中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.7B.10C.25D.52

例45.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名草《周髀算經(jīng)》曾記載有“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之“，用符號(hào)表

示為/+62=c2（a,6,cwN*），我們把小〃，c叫做勾股數(shù).下列給出幾組勾股數(shù):3,4,5；

5,12,13；7,24,25；9,40,41,以此類推，可猜測(cè)第5組股數(shù)的三個(gè)數(shù)依次是.

的46.設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P3Q={z|z=aM,a&P,h&Q},若P=

{-1,0,1}.Q={-2,2},則集合P?Q中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

例47.設(shè)向量a與6的夾角為仇定義a與人的“向量積”："匕是一個(gè)向量，它的模|"例=

|a|-|ft|-sin6,若a=(—小,—1),b=(l,巾),則|axb|=()

A.y/3B.2C.2小D.4

例48.如果把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“三節(jié)棍體”，那么從長(zhǎng)方體八個(gè)頂點(diǎn)中

任取四個(gè)頂點(diǎn)，則這四個(gè)頂點(diǎn)是“三節(jié)棍體”的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為.

例49.中國(guó)古代近似計(jì)算方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，早在八世紀(jì)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家張隧

(法號(hào)：一行)為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計(jì)算的方法一二次插值算法(又稱一行

算法，牛頓也創(chuàng)造了此算法，但是比我國(guó)張隧晚了上千年)：函數(shù)y=/(x)在x=x/

x=x2＜》=%3(為＜々＜與)處的函數(shù)值分別為y=，y2=/(x,)＞%=/(%3)則在區(qū)

間［斗,匕］上/(x)可以用二次函數(shù)來(lái)近似代替：/(x)=y,+^l(x-xl)+fc2(x-xl)(x-x2).其

中匕=上二區(qū)，&二"，&=若令為=(),x,=-.匕=萬(wàn)，請(qǐng)依據(jù)上述算

XX

工2一再X3-X23~\~2

法，估算sin包是()

5

A.3B.3C.11D.少

5252525

例50.設(shè)函數(shù)/)=%一區(qū),其中㈤表示不超過(guò)，的最大整數(shù),如［-1.2］=-2,［1.2］=1,

口］=1.將函數(shù)危)在區(qū)間(02)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為相，函數(shù)/w與g)=一1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

記為幾,則定積分￡g(x)cU=

例51.若計(jì)算由曲線y=5及直線》=1和x軸所圍成的曲邊三角形的面積時(shí)，可將區(qū)間

等分為若干個(gè)小區(qū)間，并以直代曲得到若干個(gè)窄邊矩形，其面積表示為而???=

1,2,3,???).當(dāng)區(qū)間［0,1］被無(wú)限細(xì)分時(shí)，這些窄邊矩形的面積之和將趨近于曲邊三角形的面

積，且面積S=/也dx類比曲邊三角形面積的求法，計(jì)算曲線)，=5及直線x=l和x軸所

圍成的曲邊三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)360。所成旋轉(zhuǎn)體的體積，則體積V可以表示為()

A.rlir\fxdxB.fl7t(yfx)2dxC.C}x\［xdxD.C］97i(y［x)2dx

JoJo

例52.已知無(wú)為實(shí)數(shù)，［幻表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則函數(shù)＜x)=x—㈤在R上為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)

例53.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利

用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A(—2,3)且法向量為〃=(4,-1)的直線(點(diǎn)法式)

方程為4X(x+2)+(-l)X(y-3)=0,化簡(jiǎn)得以一)，+11=0.類比以上方法，在空間直角坐

標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(123)且法向量為,”=(—1,—2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為.

五、數(shù)學(xué)文化與三角函數(shù)

例54.第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如

圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形

的面積為1，大正方形的面積為25,直角三角形中較大的銳角為仇那么tan(e+3=

例55.秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中有己知三邊求三角形面

積的方法：“以小斜累并大斜累減中斜寨，余半之，自乘于上以小斜幕乘大斜累減上，余四

約之，為實(shí)一為從隔，開(kāi)平方得積.”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式就是

S=-a2c2-(a2+c2~b2］，其中a也c?是口/WC的內(nèi)角的對(duì)邊為.若

rL12川

sinC=2sinAcos且〃+c2=2，則口A8C面積S的最大值為-

例56.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書(shū)

畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào).如圖是折扇的示意圖，A

為03的中點(diǎn)，若在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自扇面(扇環(huán))部分的概率是

()

0

A.1B.1C.-D.9

4248

例57.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典.其中對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年，

其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)

徑凡何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口

深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺?問(wèn)這塊圓柱形木料的直徑是多少？長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在

墻體中，截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分）.已知弦48=1尺，弓形高

8=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為（）（注：1丈=10尺=100寸，/。3.14，

sin22.5°?—）

13

A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸

例58.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了

“勾股圓方圖”，亦稱"趙爽弦圖“（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加

上中間的一個(gè)小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等

的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)而=2而+

若￡）尸=24尸，則可以推出/1+〃=.

例59.干支紀(jì)年歷法（農(nóng)歷），是屹立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一，與國(guó)際公歷歷法

并存.黃帝時(shí)期，就有了使用六十花甲子的干支紀(jì)年歷法.干支是天干和地支的總稱，把

干支順序相配正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)

符號(hào)叫地支.受此周期律的啟發(fā)，可以求得函數(shù)/Q）=sing+cos3x的最小正周期為

（）

A-15萬(wàn)B.12萬(wàn)C.6兀D.3萬(wàn)

例6（）.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的“三斜求積”

公式：設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則AABC的面積S=

一若a2sinC=4sinA,（a+c）2^n+b2,則用“三斜求積”公式求得

/XABC的面積為（）

A幣B.2C.3D.^6

例61.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)

現(xiàn)了“黃金分割”."黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門(mén)類中審美的要素之一，

它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為與LO.618,這一比值也可以表示為〃?=2sin18。.若m2

〃則（）

+=4,AJ2COS呼227°-1=11

A.1B.2C.4D.8

俐62.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中“方田”章給出了計(jì)算弧田面積

時(shí)所用的經(jīng)驗(yàn)公式，即弧田面積=gx（弦x矢+矢2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公

式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”指圓弧頂?shù)较业木嚯x（等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差），

現(xiàn)有圓心角為號(hào)，半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是平方

米.（結(jié)果保留根號(hào)）

方、數(shù)學(xué)文化與立體幾何

例63.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池

盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九

寸，則平地降雨量是（）

（注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式

上+JS上S下+S。/）

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

例64.足球被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)”，它是全球體育界最具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，足球的

表面可看成是由正二十面體用平面截角的方法形成的，即用如圖1所示的正二十面體，從

每個(gè)頂點(diǎn)的棱邊的1處將其頂角截去，截去20個(gè)頂角后剩下的如圖2所示的結(jié)構(gòu)就是足球

3

的表面結(jié)構(gòu).已知正二十面體是由20個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形圍成的封閉幾何體，則如圖2

所示的幾何體中所有棱邊數(shù)為.

圖1卸

例65.中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正

方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一

個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)

為1.則該半正多面體共有一個(gè)面，其棱長(zhǎng)為一.

圖1圖2

例66.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3。打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長(zhǎng)方體

A5CQ-A4GR，挖去四棱錐O-EEG〃后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E,

F,G,H,分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,e=457,3。打印所用原料密度

為0.9g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為—g.

俐67.《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的

有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六

成一,該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高〃，計(jì)算其體積V的近似公式—

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它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率乃近似取為3,那么，近似公式丫。=乙外相當(dāng)于將

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圓錐體積公式中的,近似取為（）

A22D25廠157D.空

A.—D.—C.---

7850113

例68.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有倉(cāng)，廣

三丈，袤四丈五尺，容粟一萬(wàn)斛，問(wèn)高幾何？’‘其意思為：“今有一個(gè)長(zhǎng)方體的糧倉(cāng)，寬3丈，

長(zhǎng)4丈5尺，可裝粟一萬(wàn)斛.問(wèn)該糧倉(cāng)的高是多少？己知1斛粟的體積為2.7立方尺，1丈

為10尺，則該糧倉(cāng)的外接球的表面積是（）

A.絲生平方丈B.&平方丈C.生平方丈D.照平方丈

4444

例69.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形

ABCD、半徑為r的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂

點(diǎn)與4）的中點(diǎn)N重合，斜邊在直線上.己知S為3C的中點(diǎn)，現(xiàn)將該圖形繞直線NS旋

轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為（）

A.2+D.

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例70.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德構(gòu)造了一個(gè)“圓柱容器”的幾何體：在圓柱容器里放一個(gè)球，使

該球四周碰壁，且與上，下底面相切，則在該幾何體中，圓柱的體積與球的體積之比為（）

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