直線與平面垂直+高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

第六章立體幾何初步6.5.1直線與平面垂直（第1課時(shí)）年月日引入課題——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境我們偉大的祖國歲生日72194910011955120919680918198212221996040820030612201707252020100120211001北京天安門廣場(chǎng)早上6:11分升旗儀式五星紅旗冉冉升起祝福祖國繁榮昌盛提問：旗桿與地面是什么關(guān)系？地面請(qǐng)同學(xué)們觀察：我們教室有哪些可以看做直線垂直平面？提問：你們認(rèn)識(shí)它嗎？名稱：日晷儀它有什么用途？結(jié)構(gòu)：主要由晷面和晷針組成晷針垂直晷面用途：古代觀測(cè)日影記時(shí)的儀器晷面晷針引入課題——提出問題在太陽下，觀察晷針和它的影子的角度變化結(jié)論：晷針和它的影子始終垂直提問：得到什么啟示？啟示：直線與平面垂直問題，跟直線與平面內(nèi)的直線垂直有關(guān).8點(diǎn)10點(diǎn)13點(diǎn)15點(diǎn)17點(diǎn)討論：如何用數(shù)學(xué)語言定義直線與平面垂直？CAB新知探索——概念呈現(xiàn)討論：如何用數(shù)學(xué)語言定義直線與平面垂直？CAB直線與平面垂直的定義

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α垂直.任意一條記作：l⊥α直線l叫做平面α的垂線平面α叫做直線l的垂面它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足垂線垂面垂足新知探索——概念呈現(xiàn)直線與平面垂直的定義

如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α垂直.任意一條記作：l⊥α直線l叫做平面α的垂線平面α叫做直線l的垂面它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足垂線垂面垂足畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.新知探索——概念呈現(xiàn)畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.1.如果把定義改為“如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直”，對(duì)嗎？為什么？2.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線與平面內(nèi)的直線是什么關(guān)系？不對(duì).垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質(zhì)（1）垂直于同一條直線的兩直線平行；（2）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直；（3）直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短；（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.類比平面幾何線線垂直的性質(zhì)，觀察長(zhǎng)方體和現(xiàn)實(shí)空間，分組討論，分析線面垂直的性質(zhì).新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質(zhì)（1）垂直于同一條直線的兩直線平行；（2）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直；（3）直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短；（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.類比平面幾何線線垂直的性質(zhì)，觀察長(zhǎng)方體和現(xiàn)實(shí)空間，分組討論，分析線面垂直的性質(zhì).立體幾何結(jié)論（1）垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行.立體幾何結(jié)論（2）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質(zhì)（1）垂直于同一條直線的兩直線平行；立體幾何結(jié)論（1）垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行.（2）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直；立體幾何結(jié)論（3）平面外一點(diǎn)和平面上各點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短.立體幾何結(jié)論（2）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質(zhì)（2）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直；（3）直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短；立體幾何結(jié)論（4）如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直，也必和另一個(gè)垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質(zhì)（3）直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短；立體幾何結(jié)論（3）平面外一點(diǎn)和平面上各點(diǎn)連接的線段中，垂線段最短.（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質(zhì)（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.立體幾何結(jié)論（4）如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直，也必和另一個(gè)垂直.思考：用什么證明方法來證明它？立體幾何結(jié)論（1）：垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行.圖形語言符號(hào)語言反證法.平行新知探索——深入理解abα證明

如圖，假設(shè)a與b不平行，設(shè)b與α交于點(diǎn)O，設(shè)b′是經(jīng)過點(diǎn)O與a平行的直線.設(shè)相交直線b與b′確定的平面為β，設(shè)α∩β=c，則O∈c.因?yàn)閍⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因?yàn)閎′//a，所以b′⊥c.這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線c上同一點(diǎn)O就有兩條直線b，b′均與

c垂直，顯然不可能，因此b//a.Ob′cβ反證法得出矛盾的結(jié)果假設(shè)結(jié)論的否定成立新知探索——深入理解思考：兩條異面直線能垂直于同一平面嗎？直線與平面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.揭示了“平行”與“垂直”的關(guān)系.作用：判定兩條直線平行.不能.

新知探索——深入理解思考：兩條異面直線能垂直于同一平面嗎？直線與平面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.揭示了“平行”與“垂直”的關(guān)系.作用：判定兩條直線平行.不能.

解

新知探索——回顧延伸

問題：什么是點(diǎn)到平面的距離？

答：相等.

新知探索——概念歸納歸納：如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，稱為這條直線到這個(gè)平面的距離.歸納：如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，稱為這條直線到這個(gè)平面的距離.新知探索——概念歸納問題：直線與平面相交，只有垂直關(guān)系嗎？還有什么關(guān)系？斜交新知探索——概念歸納問題：直線與平面相交，只有垂直關(guān)系嗎？還有什么關(guān)系？斜交

新知探索——概念歸納

直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，圖中∠PAO.取值范圍：設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°.規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°.90°0°0°≤θ≤90°.應(yīng)用新知——鞏固提升例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面D1C1CD所成的角.解

∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.應(yīng)用新知——鞏固提升例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面D1C1CD所成的角.解

連接D1C，∵A1D1//BC且A1D1=BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B//D1C.應(yīng)用新知——鞏固提升(2)求A1B與平面D1C1CD所成的角.∵D1C

平面D1C1CD，A1B

平面D1C1CD，∴A1B//平面D1C1CD，∴A1B與平面D1C1CD所成的角是0°.應(yīng)用新知——鞏固提升練習(xí)三棱錐S－ABC的所有棱長(zhǎng)都相等且為a，求SA與底面ABC所成角的余弦值．解

如圖，過S作SO⊥平面ABC于點(diǎn)O，連接AO，BO，CO.則SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，∴AO＝BO＝CO，∴O為△ABC的外心．∵△ABC為正三角形，∴O為△ABC的中心．∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即為SA與平面ABC所成的角．提煉新知——課堂小結(jié)直線與平面垂直的定義直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.直線與平面垂直的性質(zhì)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.直線與平面所成的角斜線與它在平面上的投影所成的銳角.鞏固新知——課后作業(yè)1.教材第252頁復(fù)習(xí)題六A組第5題2.預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容：直線與平面垂直的判定定理，并完成下題.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面BB1D1D所成的角.鞏固新知——課后作業(yè)1.教材第252頁復(fù)習(xí)題六A組第5題2.預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容：直線與平面垂直的判定定理，并完成下題.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面BB1D1D所成的角.解連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.