專題強(qiáng)化練4 二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大(小)值的求法-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類專題教案（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)專題強(qiáng)化練4二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大(小)值的求法一、選擇題1.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車,銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1=-x2+21x和L2=2x.若該公司在兩地共銷售15輛,則能獲得的最大利潤(rùn)為()A.90萬(wàn)元B.60萬(wàn)元C.120萬(wàn)元D.120.25萬(wàn)元2.已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間(5,20)上既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)3.已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x-4在區(qū)間[-2,a]上的最小值為-5,最大值為4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-2,1) B.(-2,4]C.[1,4] D.[1,+∞)4.設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g(xA.-9B.[0,+∞)C.-D.-9二、填空題5.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2在閉區(qū)間[0,m]上有最大值2,最小值1,則m的取值范圍為.6.已知函數(shù)y=x2+2x在閉區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇-1,3],則ab的最大值為.

7.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,則函數(shù)f(x2+1)的最小值為.

8.已知函數(shù)y=-x2+ax-a4在區(qū)間[0,1]上的最大值是32,則實(shí)數(shù)a的值為三、解答題9.2018年10月24日,世界上最長(zhǎng)的跨海大橋——港珠澳大橋正式通車.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到220輛/千米時(shí),將造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為100千米/時(shí).研究表明:當(dāng)20≤x≤220時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0≤x≤220時(shí),求函數(shù)v(x)的解析式;(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大?并求出最大值.易錯(cuò)10.已知函數(shù)f(x)為二次函數(shù),不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值為12.(1)求f(x)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[t,t+1]上的最小值為g(t),求g(t)的表達(dá)式.答案全解全析一、選擇題1.C設(shè)公司在甲地銷售m輛該品牌車,則在乙地銷售(15-m)輛,0≤m≤15,且m∈N,公司獲利為L(zhǎng)萬(wàn)元,則L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-m-192∴當(dāng)m=9或m=10時(shí),L取得最大值120,即該公司在兩地共銷售15輛該品牌車時(shí),能獲得的最大利潤(rùn)為120萬(wàn)元.故選C.2.C由于函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間(5,20)上既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值,因此函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在區(qū)間(5,20)上是單調(diào)函數(shù).函數(shù)f(x)=4x2-kx-8的圖象開(kāi)口向上,且對(duì)稱軸方程為x=k8,因此k8≤5或3.C∵f(x)=x2-2x-4=(x-1)2-5,∴f(x)min=f(1)=-5,又由題知f(x)max=4,∴令x2-2x-4=4,解得x=-2或x=4,作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.由題意及圖象可知,1≤a≤4.故選C.4.D當(dāng)x<g(x),即x<x2-2時(shí),x>2或x<-1,f(x)=g(x)+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=x+12f(-1)=2,因此x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)?2,+∞);當(dāng)x≥g(x),即-1≤x≤2時(shí),f(x)=g(x)-x=x2-2-x=x-12其最小值為f12=-94,其最大值為f(2)=f(-1)=0,因此x∈[-1,2]時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)榫C上可得,函數(shù)f(x)的值域?yàn)?9二、填空題5.答案[1,2]解析f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸方程為x=1,且f(x)min=f(1)=1.令f(x)=x2-2x+2=2,解得x=0或x=2.由題意及圖象可知,1≤m≤2.即m的取值范圍是[1,2].解題模板解決二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大(小)值問(wèn)題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系,利用二次函數(shù)的圖象是常見(jiàn)方法.6.答案3解析∵函數(shù)y=x2+2x=(x+1)2-1,圖象開(kāi)口向上,圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1,∴當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取得最小值-1.又由題知,當(dāng)y=3,即x2+2x=3時(shí),x=-3或x=1.∵函數(shù)y=x2+2x在閉區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇-1,3],∴a=-3,-1≤b≤1,此時(shí)-3≤a·b≤3或b=1,-3≤a≤-1,此時(shí)-3≤ab≤-1.因此ab的最大值為3.7.答案5解析∵f(x)為二次函數(shù),∴可設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(0)=c=2.又f(x)-f(x-1)=2x+1,∴ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1,即2ax-a+b=2x+1,∴2解得a=1,b=2,令t=x2+1,則t≥1,函數(shù)f(x2+1)即為f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1.∵f(t)的圖象開(kāi)口向上,圖象的對(duì)稱軸為直線t=-1,∴f(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(t)min=f(1)=5,即f(x2+1)的最小值為5.8.答案-6或10解析函數(shù)y=f(x)=-x-a22+14①當(dāng)0≤a2≤1,即0≤a≤2時(shí),f(x)max=fa2=14則14(a2-a)=3②當(dāng)a2<0,即a<0時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,f(x)max=f(0)=-a則-a4=3③當(dāng)a2>1,即a>2時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,f(x)max=f(1)=3則34a-1=32,解得a=綜上所述,a=-6或a=103三、解答題9.解析(1)由題意知,當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=100;當(dāng)20≤x≤220時(shí),設(shè)v(x)=ax+b(a≠0),因?yàn)関(20)=20a+b=100,v(220)=220a+b=0,所以a=-12所以v(x)=100,0≤(2)依題意得f(x)=100若0≤x≤20,則f(x)max=f(20)=2000;若20<x≤220,則f(x)=-12(x-110)2+6050,當(dāng)x=110時(shí),f(x)max綜上,當(dāng)車流密度為110輛/千米時(shí),車流量最大,最大值為6050輛/時(shí).易錯(cuò)警示求與二次函數(shù)有關(guān)的分段函數(shù)的最大(小)值需要注意兩點(diǎn):一是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與二次函數(shù)的定義域之間的關(guān)系,二是求出每段函數(shù)的最大(小)值后,再進(jìn)行比較才可得到結(jié)論.10.解析(1)由題意可設(shè)f(x)=ax(x-5)(a>0),又由題可知,f(x)的圖象開(kāi)口向上,圖象的對(duì)稱軸為直線x=52,則在區(qū)間[-1,4]上,f(x)max=f(-1)=6a=12,解得a=2,所以f(x)=2x2(2