281419998.6.2直線與平面垂直（第2課時(shí)-性質(zhì)定理） 課件-2020-2021學(xué)年

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2直線與平面垂直（第2課時(shí)）問題：直線與平面垂直的定義是什么？如何判斷直線與平面垂直？直線與平面垂直的判定定理解決了判定直線與平面垂直的問題，反之，在直線與平面垂直的條件下，能得到哪些結(jié)論呢？

如果直線

l

與平面

a

內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線

l

與平面α互相垂直.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.(1)如右圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,棱AA'、BB'、CC'、DD'所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間具有什么位置關(guān)系?

(2)如右圖，已知直線a、b和平面α.如果a⊥α,b⊥α，那么直線a、b一定平行嗎?平行一定平行

可以發(fā)現(xiàn)，這些直線相互平行，不失一般性，我們以(2)為例加以證明.假設(shè)b與a不平行，且b∩α=O.顯然點(diǎn)O不在直線a上，所以點(diǎn)O與直線a可確定一個(gè)平面一方面：在該平面內(nèi)過點(diǎn)O作直線b'//a,則直線b與b'是相交于點(diǎn)O的兩條不同直線,所以直線b與b'可確定平面β.另一方面：設(shè)α∩β=c,則O∈c.因?yàn)閍⊥α,b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因?yàn)閎'//a,所以b'⊥c.這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線c上同一點(diǎn)O就有兩條直線b、b'與c垂直，顯然不可能.因此b//a.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：例1如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們,可以由兩條直線與一個(gè)平面垂直判定這兩條直線互相平行.直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系.思考1：在a⊥α的條件下，如果平面α外的直線b與直線a垂直，你能得到什么結(jié)論?思考2：如果平面β與平面α平行，你又能得到什么結(jié)論?例2

已知：如右圖，直線l平行于平面

.

求證：直線l上各點(diǎn)到平面

的距離相等.

一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.由上例我們還可以進(jìn)一步得出，如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.

例如：在棱柱、棱臺(tái)的體積公式中，它們的高就是它們的上、下底面間的距離.練習(xí)1：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明

因?yàn)锳B⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因?yàn)锳D＝AP，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因?yàn)镸N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.練習(xí)2：如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥平面BCC1B1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證：直線A1F∥平面ADE.證明

因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又CC1?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.又AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.練習(xí)3：如圖，正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交.求證：EF∥BD1.證明：連接AB1，B1D1，B1C，BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD?平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C?平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C?平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．