概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)章末總結(jié)

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的概率背景就是隨機(jī)變量的隨機(jī)取值方差的概率背景就是隨機(jī)變量取值的分散程度協(xié)方差的概率背景就是隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度相關(guān)系數(shù)的概率背景就是隨機(jī)變量之間線性關(guān)系緊密程度§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望§4.1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為.若收斂，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若不收斂，則稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在常見離散型隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布設(shè)為個(gè)獨(dú)立同分布的兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量，則有利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有即泊松分布超幾何分布幾何分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為，則§4.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為若收斂，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若不收斂，則稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，對(duì)于正態(tài)分布，令則有利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，則§4.1.3隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)如果是離散型隨機(jī)變量，概率分布為若級(jí)數(shù)收斂，則的數(shù)學(xué)期望為如果是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為若積分收斂，則的數(shù)學(xué)期望為設(shè)是隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)如果二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律為若絕對(duì)收斂，則的數(shù)學(xué)期望為如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度為若絕對(duì)收斂，則§4.1.4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)若，則存在，且.對(duì)于常數(shù)，有設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，與存在，則對(duì)任意實(shí)數(shù)有推廣：設(shè)是個(gè)隨機(jī)變量，則對(duì)任意實(shí)數(shù)有設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則注意：如果，不一定是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則§4.2隨機(jī)變量的方差設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則的方差為§4.2.1離散型隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為.則隨機(jī)變量的方差為常見離散型隨機(jī)變量分布的方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布超幾何分布幾何分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為則§4.2.2連續(xù)型隨機(jī)變量的方差1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則隨機(jī)變量的方差2.常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布的方差（1）均勻分布（2）指數(shù)分布，（3）正態(tài)分布對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，對(duì)于正態(tài)分布，令則有利用方差的性質(zhì)有3.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，則§4.2.3方差的性質(zhì)對(duì)于常數(shù)，有設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，則如果是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則推廣：設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù),則§4.2.4契比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)于任意常數(shù)，都有由契比雪夫不等式可知：的充要條件是若，則有，即若，則，從而有注意：并不說明，但是的概率為1§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)§4.3.1協(xié)方差設(shè)是二維隨機(jī)變量，若存在，則隨機(jī)變量和的協(xié)方差為協(xié)方差的性質(zhì)：§4.3.2相關(guān)系數(shù)設(shè)是二維隨機(jī)變量，且，則隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：若與相互獨(dú)立，則和相關(guān)系數(shù)注意：和相關(guān)系數(shù)，說明之間沒有線性關(guān)系，但不一定獨(dú)立的充要條件是存在常數(shù)，使得，即與之間幾乎處處有線性關(guān)系.§4.4矩與分位數(shù)§4.4.1矩設(shè)是二維隨機(jī)變量.如果存在，則稱為的階原點(diǎn)矩如果存在，則稱為的階中心矩如果存在，則稱為和的階混合矩如果存在，則稱為和的階混合中心矩設(shè)維隨機(jī)變量的二階混合中心矩都存在，則矩陣稱為維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣.協(xié)方差矩陣的性質(zhì)協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣，即協(xié)方差矩陣是一個(gè)非負(fù)定矩陣，即§4.4.2分位數(shù)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的分位數(shù).當(dāng)時(shí)，則稱為的中位數(shù)，表示概率分布的中心位置§4.5條件數(shù)學(xué)期望§4.5.1條件數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的條件期望設(shè)離散型隨機(jī)變量在條件下的條件分布列為，如果，則在的條件下的條件期望為2.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量在條件下的條件概率密度為，如果，則在的條件下的條件期望為3.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的條件期望若是連續(xù)函數(shù)，是二維離散型隨機(jī)變量，則4.連續(xù)型隨機(jī)變量