自考《概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）》真題講解

20XX年04月真題講解

一、前言

學員朋友們，你們好！現(xiàn)在，對《全國20XX年4月高等教育自學考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）試題》進行必要的分析，并詳細解答，供學員朋友們學習和應試參考。

三點建議：一是在聽取本次串講前，請對課本內(nèi)容進行一次較全面的復習，以便取得最佳的聽課效果；二是在聽取本次串講前，務必將本套試題獨立地做一遍，以便了解試題考察的知識點，以及個人對課程全部內(nèi)容的掌握情況，有重點的聽取本次串講；三是，在聽取串講的過程中，對重點、難點的題目，應該反復多聽幾遍，探求解題規(guī)律，提高解題能力。

一點說明：本次串講所使用的課本是20XX年8月第一版。

二、考點分析

1.總體印象

對本套試題的總體印象是：內(nèi)容比較常規(guī)，難度不大，個別題目稍麻煩。內(nèi)容比較常規(guī)：①概率分數(shù)偏高，共74分；統(tǒng)計分數(shù)只占26分，與一月份考題完全相同，與歷年試題相比較，基本一致；②除回歸分析外，對課本中各章內(nèi)容都有涉及，但有74分集中在前三部分；難度不大，個別題目稍麻煩：與歷次試題比較，本套試題難度不大，偏難的題目只有2題，僅占4分，屬于課本中沒有直接結(jié)論而需要進行一定的推理才能得到結(jié)果的題目；中等題目占72分，容易題目占24分。但是，有2題稍麻煩。

當然，以上觀點只是相對于歷年試題而言，是在與歷年試題對比中產(chǎn)生的看法。如果只看本套試題，應該說還是無可挑剔的。

2.考點分布

按照以往的分類方法：事件與概率16分，一維隨機變量（包括數(shù)字特征）28分，二維隨機變量（包括數(shù)字特征）30分，大數(shù)定律2分，統(tǒng)計量及其分布8分，參數(shù)估計12分，假設檢驗4分，回歸分析0分?？键c分布的柱狀圖如下

三、試題詳解一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1.設A，B，C為隨機事件，則事件“A，B，C都不發(fā)生”可表示為（）

[答疑編號918090101]『正確答案』A

『答案解析』本題為課本P6習題1.1，2（3），事件“A，B，C都不發(fā)生”意味“時發(fā)生”，即“A不發(fā)生”且“B不發(fā)生”且“C不發(fā)生”，故選擇A。2.設隨機事件A與B相互獨立，且則P（A∪B）=（）

[答疑編號918090102]『正確答案』B

『答案解析』本題考察兩個事件相互獨立的性質(zhì)及加法公式。

相互獨立：,由加法公式有

故選擇B。

【提示】（1）注意幾個概念的區(qū)別：兩個事件互不相容（互斥）、對立、相互獨立。這是一個高頻率的考點；

（2）相互獨立兩個事件的性質(zhì)：設事件，相互獨立，

①；

②相互獨立；

③，其一相互獨立，另三對也相互獨立。

（3）理解事件相互獨立的意義，能夠根據(jù)“意義”來判定對錯。

（4）加法公式的理解和正確使用。

3.設隨機變量X～B（3，0.4），則P{X≥1}=（）

A.0.352

B.0.432

C.0.784

D.0.936[答疑編號918090103]『正確答案』C

『答案解析』本題考察二項分布的概率。

故選擇C。【提示】關(guān)于二項分布，下面提示中講解。

4.已知隨機變量的分布律為

則P{-2<X≤4}=（）

A.0.2

B.0.35

C.0.55

D.0.8[答疑編號918090104]『正確答案』C

『答案解析』本題考察離散型隨機變量分布律的應用：根據(jù)分布律求概率。

也可

故選擇C?！咎崾尽侩x散型隨機變量分布律的性質(zhì)：?。┓秦撔裕?/p>

iii）根據(jù)分布律求概率的方法：。

5.設隨機變量X的概率密度為，則E（X），D（X）分別為（）

A.-3，B.-3，2

C.3，D.3，2[答疑編號918090105]『正確答案』B

『答案解析』本題考察正態(tài)分布的概率密度。若X～N（），則其概率密度為

故選擇B.

【提示】課本中學過六種常見的分布：離散型：兩點分布、二項分布、泊松分布，應該記住分布律、期望、方差的公式：

A.兩點分布

①分布列

②數(shù)學期望：

③方差：。

B.二項分布：

①分布列：

②數(shù)學期望：

③方差：

連續(xù)型：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布，應該記住概率密度、期望、方差的公式：

⑤標準正態(tài)分布的上α分位數(shù)：X～N（0，1），若，為標準正態(tài)分布的上α分位數(shù)。

在解題中可以直接代公式，不必重新推導。

6.設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為則常數(shù)c=（）

[答疑編號918090106]『正確答案』A

『答案解析』本題考察二維隨機變量概率密度的性質(zhì)及其計算方法。

故選擇A.【提示】（1）二維連續(xù)型隨機變量概率密度的性質(zhì)：

①非負；

③若在處連續(xù)，則有

（2）二重積分的一個性質(zhì)：若①二積分變量的變化范圍為常數(shù)區(qū)間；②被積函數(shù)＝1，則此二重積分在數(shù)值上等于積分區(qū)域的面積；

（3）何時積分值為零？①定積分：積分區(qū)間長度＝0或被積函數(shù)＝0；二重積分：積分區(qū)域面積＝0或被積函數(shù)＝0.

7.設隨機變量X～N（-1,22），Y～N（-2,32），且X與Y相互獨立，則X-Y～（）

A.N（-3，-5）B.N（-3,13）

C.N（1，）D.N（1，13）[答疑編號918090107]『正確答案』D

『答案解析』本題考察課本P83，例3－28后的一般結(jié)論――相互獨立的正態(tài)分布隨機變量的可加性：設X，Y相互獨立，且X～N，Y～N，則Z=X+Y仍服從正態(tài)分布，且。

故選擇D?！咎崾尽空n本中介紹了兩個“相互獨立隨機變量的可加性”：一個是本題的正態(tài)分布隨機變量，另一個是課本P80，例3－25介紹的泊松分布的隨機變量的可加性：X,Y相互獨立，且

8.設X,Y為隨機變量，D（X）=4，D（Y）=16，Cov（X,Y）=2，則ρXY=（）

[答疑編號918090108]『正確答案』D

『答案解析』本題考察二維隨機變量的數(shù)值特征：方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。

由相關(guān)系數(shù)定義

故選擇D?！咎崾尽坷斫夥讲睢f(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的意義。（）

C.F（2，3）D.F（3,2）[答疑編號918090109]『正確答案』C

『答案解析』本題考察統(tǒng)計量的分布。

根據(jù)課本P138，定義6－7，F(xiàn)－分布的定義得答案，選擇C?！咎崾尽浚?）關(guān)于“統(tǒng)計量分布”應該從總體和樣本容量兩個方面來理解：

①“大樣本”：正態(tài)總體非正態(tài)總體的樣本均值漸近地服從上述分布；（課本P134，定理6－1）

②“小樣本”：正態(tài)總體的抽樣所構(gòu)成的三種統(tǒng)計量，分別服從三種不同的分布：。對于這三種分布，只要求掌握定義、記住其概率密度函數(shù)圖像的大致形狀及自變量取值范圍，不要求了解密度函數(shù)的解析式。

（2）定義：設的分布為自由度為,其中稱為分子自由度，稱為分母自由度.

10.在假設檢驗中，H0為原假設，則顯著性水平α的意義是（）

A.P{拒絕H0|H0為真}

B.P{接受H0|H0為真}

C.P{接受H0|H0不真}

D.P{拒絕H0|H0不真}[答疑編號918090110]『正確答案』A

『答案解析』本題考察假設檢驗“兩類錯誤”內(nèi)容。選擇A?！咎崾尽窟@是高頻考點。

二、填空題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.設A,B為隨機事件，P（A）=0.6，P（B|A）=0.3，則P（AB）=______.[答疑編號918090201]『正確答案』0.18.

『答案解析』根據(jù)事件的乘法公式有

故填寫0.18.【提示】注意乘法公式的條件：

12.設隨機事件A與B互不相容，______.[答疑編號918090202]『正確答案』0.4

『答案解析』本題考察互不相容事件的性質(zhì)及加法公式。

故填寫0.4.

13.設隨機變量X服從參數(shù)為3的泊松分布，則P{X=2}=______.[答疑編號918090203]『正確答案』

『答案解析』本題考察泊松分布。

14.設隨機變量X～N（0，42），且P{X>1}=0.4013，φ（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)，則φ（0.25）=_____.[答疑編號918090204]『正確答案』0.5987.

『答案解析』本題考察正態(tài)分布“標準化”及分布函數(shù)的定義。

故填寫0.5987.【提示】正態(tài)分布的計算都需要查“標準正態(tài)分布表”，由于正態(tài)分布的重要地位，必須掌握正態(tài)分布“標準化”，并且了解“標準正態(tài)分布表”的構(gòu)成。

15.設二維隨機變量（X,Y）的分布律為則P{X=0,Y=1}=______.[答疑編號918090205]『正確答案』0.1

『答案解析』本題考察二維離散型隨機變量聯(lián)合分布律的性質(zhì)。顯然，填寫0.1.【提示】

③利用聯(lián)合分布律可求兩個隨機變量的邊緣分布；

④二維隨機變量在不同點處的事件是互不相容的。

16.設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為則P{X+Y>1}=______.

[答疑編號918090206]『正確答案』

『答案解析』本題是課本P81，例3－27（2）的簡化變形。

【提示】二重積分的計算如6題的提示所述。17.設隨機變量X與Y相互獨立,X在區(qū)間[0，3]上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，則D（X+Y）=______.[答疑編號918090207]『正確答案』

『答案解析』本題考察兩個隨機變量之和的方差的性質(zhì)。

由已知

又隨機變量X與Y相互獨立，所以

【提示】（1）理解方差的意義，并能夠應用之；

18.設X為隨機變量，E（X+3）=5，D（2X）=4，則E（X2）=______.[答疑編號918090208]『正確答案』5

『答案解析』本題考察期望的性質(zhì)，方差的性質(zhì)及計算公式。

故填寫5.

19.設隨機變量X1，X2，…，Xn,…相互獨立同分布，且=__________.[答疑編號918090209]『正確答案』0.5

『答案解析』本題考察“獨立同分布序列的中心極限定理”。課本P120，定理5－4如下：

定理5－4：獨立同分布隨機變量序列分布函數(shù)為，則

故填寫0.5.【提示】正確理解中心極限定理的意義：在隨機試驗中，不管隨機變量服從何種分布，當試驗次數(shù)趨于無窮大時，它的極限分布都是正態(tài)分布，經(jīng)標準化后成為標準正態(tài)分布?？梢娬龖B(tài)分布在概率統(tǒng)計中是如何重要的！[答疑編號918090210]『正確答案』

『答案解析』本題考察幾種分布的（上）α分位數(shù)的概念。

【提示】除本題的－分布的α分位數(shù)外，還有自由度為，標準正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)，它們在區(qū)間估計和假設檢驗中都有應用。

21.設總體X～N（μ,64），x1，x2，…，x8為來自總體X的一個樣本，=______.[答疑編號918090211]『正確答案』8

『答案解析』本題考察正態(tài)總體樣本均值的方差的計算。

根據(jù)9題的提示，

故填寫8.

22.設總體X～N（μ,σ2），x1，x2，…，xn為來自總體X的一個樣本，為樣本均值，s2為樣本方差，則_____.[答疑編號918090212]『正確答案』

『答案解析』本題考察課本P140，定理6－4的推論6－1，即此推

論是正態(tài)總體、方差未知，均值的區(qū)間估計的理論基礎。

故填寫。23.設總體X的概率密度為為來自總體X的一個樣本,為樣本均值.若c為θ的無偏估計,則常數(shù)c=______.[答疑編號918090213]『正確答案』

『答案解析』本題考察“矩估計”與“無偏估計量”。

【提示】（1）矩估計：用樣本矩估計總體矩；用樣本矩的函數(shù)估計總體矩的函數(shù)；

（2）點估計：的評價標準：無偏性、有效性和一致性（相合性）的理解和判定。24.設總體X～N（μ,σ2），σ2已知,x1，x2，…，xn為來自總體X的一個樣本,為樣本均值,則參數(shù)μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為______.[答疑編號918090214]『正確答案』

『答案解析』本題考察正態(tài)總體、方差已知，均值的區(qū)間估計。

【提示】（1）平時學習時，注意理解區(qū)間估計的統(tǒng)計量的選擇和估計區(qū)間的求法，考試前，按已知條件“背”“估計表”；（2）注意：估計區(qū)間是閉區(qū)間。

25.設總體X～N（μ,4），x1，x2，…，x16為來自總體X的一個樣本,為樣本均值,則檢驗假設H0:μ=1,H1:μ≠1時應采用的檢驗統(tǒng)計量為______.[答疑編號918090215]『正確答案』

『答案解析』本題考察正態(tài)總體、方差已知，對均值的假設檢驗。

由已知，檢驗統(tǒng)計量為

故填寫【提示】假設檢驗的總結(jié)見課本P181的列表；其他提示與上題同。三、計算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

26.盒中有3個新球、1個舊球，第一次使用時從中隨機取一個，用后放回，第二次使用時從中隨機取兩個，事件A表示“第二次取到的全是新球”，求P（A）.[答疑編號918090301]『答案解析』本題考察用全概率公式計算概率。

27.設總體X的概率密度為x1，x2，…，xn為來自總體X的一個樣本.求θ的極大似然估計.[答疑編號918090302]『答案解析』本題考察極大似然估計，系課本P151，習題7.1，2的變形。

由已知，構(gòu)造似然函數(shù)為

【提示】極大似然估計的關(guān)鍵是構(gòu)造似然函數(shù)，本題根據(jù)連續(xù)性隨機變量的概率密度函數(shù)構(gòu)造似然函數(shù)的方法，另外，還有根據(jù)離散型隨機變量構(gòu)造似然函數(shù)的方法，見課本P147，例7－5.四、綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

28.設隨機變量x的概率密度為

求：（1）常數(shù)a,b；（2）X的分布函數(shù)F（x）；（3）E（X）.[答疑編號918090303]『答案解析』本題為概率密度函數(shù)、分布函數(shù)及數(shù)學期望的綜合題目。

（1）由概率密度的性質(zhì)有

【提示】注意分布函數(shù)的定義：的意義。29.設二維隨機變量（X，Y）的分布律為

求：（1）（X，Y）分別關(guān)于X,Y的邊緣分布律；（2）D（X），D（Y），Cov（X，Y）.[答疑編號918090304]『答案解析』本題屬于二維離散型隨機變量的綜合題目。

（1）為求關(guān)于X，Y的邊緣分布律，列表如下

則得到關(guān)于X，Y的邊緣分布律

五、應用題（10分）

30.某種裝置中有兩個相互獨立工作的電子元件，其中一個電子元件的使用壽命X（單位：小時）服從參數(shù)的指數(shù)分布，另一個電子元件的使用壽命Y（單位：小時）服從參數(shù)的指數(shù)分布.試求：（1）（X，Y）的概率密度；（2）E（X），E（Y）；（3）兩個電子元件的使用壽命均大于1200小時的概率.[答疑編號918090305]『答案解析』本題著重討論兩個相互獨立的隨機變量的有關(guān)問題。

由已知

（1）因為兩個隨機變量相互獨立，所以（X，Y）的概率密度為

（2）由連續(xù)性隨機變量期望的定義及課本上關(guān)于指數(shù)分布期望的推導結(jié)果有

（3）兩個相互獨立電子元件的使用壽命均大于1200小時的概率為

所以，兩個相互獨立電子元件的使用壽命均大于1200小時的概率為?！咎崾尽浚?）在積分計算上，“分部積分法”不要求掌握，如本題解（2）直接使用了課本的推導結(jié)果：參數(shù)為λ的指數(shù)分布其期望為，但是，簡單的“換元積分法”（第一換元法或“湊微分法”）是需要掌握的，如本題解（3）的計算方法。

（2）關(guān)于“獨立性”。課本介紹了兩種“獨立性”：①事件的獨立性，課本P18，定義1－4（兩事件獨立性）及其性質(zhì)，以及定義1－5（三事件獨立性），同時，應該明了兩事件獨立的實際意義；②隨機變量的獨立性，課本P73，定義3－9，也應該明了兩隨機變量獨

立的實際意義；③兩種獨立性是統(tǒng)一的。

（3）正確理解二維事件的意義：。四、簡要總結(jié)

1.關(guān)于本套試題

（1）所有題目均可在課本上找到其原型在講解中，指出了一些題目在課本上的出處。其實，每一道題都可以在課本上找到出處，所以，可以斷言，本套試題所有題目均可在課本上找到其原型。

（2）兩種類型的試題

所有的考試，包括中考、高考及考研，試題不外乎兩種類型：知識型和能力型。兩類試題的分數(shù)分布決定了整套試題的難度。本套試題知識型題目約占80分左右，所以，本套試題屬于難度不大的類型。

2.關(guān)于復習的建議

（1）認真看書，全面復習

在多次串講中，我一再強調(diào)全面復習，本套試題的考察內(nèi)容再次驗證了這一觀點的正確性。今天，再次強調(diào)這一觀點，希望能夠引起學員朋友們足夠的重視。如何全面復習，只有認真看書。

當然,在全面復習的基礎上,也要注意重點復習。從本套試題的考點分布可以看出，前三部分占74