自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)

第一部分三角函數(shù)表三角函數(shù)表反三角函數(shù)表SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二部分極限極限數(shù)列極限：劉徽的“割圓術(shù)”，設(shè)有一個(gè)半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法之下，要計(jì)算其面積：方法：先做圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為SKIPIF1<0，再做一內(nèi)接正12邊形，記其面積為SKIPIF1<0再做一內(nèi)接正24邊形，記其面積為SKIPIF1<0,如此逐次將變數(shù)加倍。。。得到數(shù)列SKIPIF1<0，則當(dāng)n無(wú)窮大時(shí)，有SKIPIF1<0函數(shù)極限：SKIPIF1<0常用的極限公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用的幾個(gè)公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0等比數(shù)列公式：是等比數(shù)列,SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)q<1時(shí)，等比數(shù)列的無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)和為SKIPIF1<0等差數(shù)列公式：SKIPIF1<0或者：SKIPIF1<0例設(shè)二維隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布函數(shù)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0求：（1）常數(shù)a,b,c;SKIPIF1<0的概率密度.解：（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)知SKIPIF1<0從上面第二式得SKIPIF1<0,從上面第三式得SKIPIF1<0,再?gòu)纳厦娴谝皇降肧KIPIF1<0.由于SKIPIF1<0從而概率密度為SKIPIF1<0第三部分導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)含義函數(shù)值的增長(zhǎng)與自變量增長(zhǎng)之比的極限。重要的求導(dǎo)公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算若函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在點(diǎn)SKIPIF1<0處可導(dǎo)，則有(ⅰ)SKIPIF1<0；(ⅱ)SKIPIF1<0；(ⅲ)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例題：SKIPIF1<0解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0在概率中的應(yīng)用主要是知道分布函數(shù)求密度函數(shù)，需要對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。．3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)．SKIPIF1<0在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解決求導(dǎo)問題時(shí)，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確地把一個(gè)函數(shù)分解成幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)；(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)后，必須把引進(jìn)的中間變量換成原來(lái)的自變量．利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的步驟如下：(1)從外到里分層次，即把復(fù)合函數(shù)分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)；(2)從左到右求導(dǎo)數(shù)，即把每一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)對(duì)自身的自變量的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)；(3)利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，從左到右作連乘．例題：SKIPIF1<0解函數(shù)SKIPIF1<0可分解為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0主要在第二章第四節(jié)里面用第四部分原函數(shù)和不定積分原函數(shù)：已知SKIPIF1<0是一個(gè)定義在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的函數(shù)，如果存在著函數(shù)SKIPIF1<0，使得對(duì)SKIPIF1<0內(nèi)任何一點(diǎn)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0那么函數(shù)SKIPIF1<0就稱為SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的原函數(shù)。例如：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的原函數(shù)。不定積分在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，函數(shù)SKIPIF1<0的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的不定積分，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。其中：SKIPIF1<0稱為積分號(hào)，SKIPIF1<0稱為被積函數(shù)，SKIPIF1<0稱為被積表達(dá)式，SKIPIF1<0稱為積分變量?；痉e分公式SKIPIF1<0由基本微分公式可得基本積分公式eq\o\ac(○,1)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為常數(shù))，SKIPIF1<0eq\o\ac(○,2)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，eq\o\ac(○,3)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,4)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,5)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,6)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,7)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,8)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,9)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,10)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,11)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,12)SKIPIF1<0，eq\o\ac(○,13)SKIPIF1<0.這些基本公式是求不定積分的基礎(chǔ)，應(yīng)熟記．求不定積分的方法第一類換元法先看下例：SKIPIF1<0回憶：SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定理1（第一類換元法）：SKIPIF1<0這種方法稱為湊微分法．（將公式中的箭頭作出動(dòng)態(tài)效果）例1求下列不定積分1、SKIPIF1<0，2SKIPIF1<0解1、SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<02、SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0=SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0由上面的解題可發(fā)現(xiàn)，變量SKIPIF1<0只是一個(gè)中間變量，在求不定積分的過程中，只是起過渡作用，最終都要換回到原來(lái)的積分變量。因此，在較熟練之后，可以采用不直接寫出中間變量的做法。例如：SKIPIF1<0SKIPIF1<0通過以上例題，可以歸納出如下一般湊微分形式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0等等．第二類換元法SKIPIF1<02、分部積分法利用復(fù)合函數(shù)微分法則導(dǎo)出了換元積分法，它能解決許多積分問題，但仍有許多類型的積分用換元法也不能計(jì)算，例如SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0等等本節(jié)我們用乘積的微分公式導(dǎo)出另一種重要的積分方法——分部積分法，可以解決許多積分問題．設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩個(gè)可微函數(shù)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．兩邊積分，可得SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．分部積分公式例子：SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、特殊情況1、用分部積分法計(jì)算．不過有時(shí)需要多次使用分部積分法．例6求SKIPIF1<0．解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．小結(jié)：1．對(duì)可微函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有分部積分公式：SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0容易求出，且SKIPIF1<0比SKIPIF1<0易于積分時(shí)．利用分部積分公式易于計(jì)算．2．要記住適合使用分部積分法的常見題型及湊微分dSKIPIF1<0的方式．如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積，使用分部積分法時(shí)進(jìn)入微分號(hào)的順序一般為：指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，冪函數(shù)，反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)。第五部分定積分的基本性質(zhì)定積分性質(zhì)性質(zhì)1SKIPIF1<0．這個(gè)性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形．性質(zhì)2SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）．性質(zhì)3不論SKIPIF1<0三點(diǎn)的相互位置如何，恒有SKIPIF1<0．這性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性．牛頓－萊布尼茨公式定理2（牛頓(Newton)－萊布尼茨(Leibniz)公式）如果函數(shù)SKIPIF1<0是連續(xù)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的一個(gè)原函數(shù)，則SKIPIF1<0定積分的計(jì)算1．定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均在區(qū)間SKIPIF1<0上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由微分法則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．等式兩邊同時(shí)在區(qū)間SKIPIF1<0上積分，有SKIPIF1<0．定積分的分部積分公式，例5設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，證明：(1)若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0．小結(jié)：1．定積分換元積分定理：SKIPIF1<0．注意：換元必?fù)Q限，下限對(duì)下限，上限對(duì)上限2．定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均在區(qū)間SKIPIF1<0上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有SKIPIF1<0．3．對(duì)稱區(qū)間上的積分：設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，則有(1)若SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0．廣義積分1．設(shè)SKIPIF1<0在積分區(qū)間上連續(xù)，定義SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．變上限的積分如果SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上連續(xù)，則有SKIPIF1<0．例一設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率密度為SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的分布函數(shù)SKIPIF1<0.解當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的分布函數(shù)為SKIPIF1<0例二設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布函數(shù)為SKIPIF1<0求（1）SKIPIF1<0的概率密度SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0落在區(qū)間SKIPIF1<0的概率.解（1）SKIPIF1<0（2）有兩種解法：SKIPIF1<0或者,SKIPIF1<0例三設(shè)某種型號(hào)電子元件的壽命SKIPIF1<0（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度SKIPIF1<0現(xiàn)有一大批此種元件（設(shè)各元件工作相互獨(dú)立）,問任取1只,其壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？任取4只,4只元件中恰有2只元件的壽命大于1500的概率是多少？任取4只,4只元件中至少有1只元件的壽命大于1500的概率是多少？解（1）SKIPIF1<0.（2）各元件工作相互獨(dú)立,可看作4重貝努利試驗(yàn),觀察各元件的壽命是否大于1500小時(shí).令SKIPIF1<0表示4個(gè)元件中壽命大于1500小時(shí)的元件個(gè)數(shù),則SKIPIF1<0～SKIPIF1<0,所求概率為SKIPIF1<0.所求概率為SKIPIF1<0.第六部分偏導(dǎo)數(shù)求法1．偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域有定義，函數(shù)z在點(diǎn)P(x,y)處對(duì)變量x的偏導(dǎo)數(shù)和對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù)分別定義為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0更多元的函數(shù)可以類似地定義偏導(dǎo)數(shù)．2．偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算對(duì)一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要把其它的自變量都當(dāng)常數(shù)就行了．因此，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則都可用于求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．3．高階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)就得到高階偏導(dǎo)數(shù)，例如SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0稱為混合偏導(dǎo)數(shù)．類似地可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)．注意：1、更多元的函數(shù)可以類似地定義偏導(dǎo)數(shù)．2、計(jì)算法：對(duì)一個(gè)自變量求偏導(dǎo)時(shí)，只要把其他自變量都當(dāng)常數(shù)就行求SKIPIF1<0時(shí)，把SKIPIF1<0看作常量，而對(duì)SKIPIF1<0求導(dǎo)數(shù)；求SKIPIF1<0時(shí)，把SKIPIF1<0看作常量，而對(duì)SKIPIF1<0求導(dǎo)數(shù)。例1求SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的偏導(dǎo)數(shù)。解法1：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0解法2：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0主要用于第三章的二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的求導(dǎo)例一設(shè)(X,Y)的概率密度為SKIPIF1<0求：關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣概率密度,并判斷X與Y是否相互獨(dú)立.解：關(guān)于X的邊緣概率密度SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,所以X與Y不獨(dú)立.第七部分二重積分的性質(zhì)由于二重積分的定義與定積分的定義是類似的，因而二重積分有與定積分類似的性質(zhì)，敘述于下（假定所出現(xiàn)的二重積分均存在）：性質(zhì)1被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即SKIPIF1<0(k為常數(shù))．特別，令f(x,y)≡1，則有SKIPIF1<0（D的面積）．性質(zhì)2函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即SKIPIF1<0．性質(zhì)3如果區(qū)域D可以劃分為D1與D2，其中D1與D2除邊界外無(wú)公共點(diǎn)，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0．例1設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在[0,1]服從均勻分布,Y的概率密度為SKIPIF1<0求:(1)(X,Y)的概率密度；(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0.解:(1)由已知X與Y相互獨(dú)立,(X,Y)的概率密度為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2設(shè)SKIPIF1<0的概率密度為SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的分布函數(shù)SKIPIF1<0.解:由定義5知SKIPIF1<0,當(dāng)x>0,y>0時(shí),SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0例3設(shè)X的概率密度為SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4設(shè)（X,Y）服從在D上的均勻分布,其中D為x軸,y軸及x+y=1所圍成，求D(X).解:SKIPIF1<0SKIPIF1<0D(X)=SKIPIF1<0.二、二重積分的計(jì)算按照二重積分的定義計(jì)算二重積分，只對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域是可行的，對(duì)一般的函數(shù)和區(qū)域，這種“和式的極限”是無(wú)法直接計(jì)算的．下面我們介紹將二重積分轉(zhuǎn)化為兩次定積分來(lái)計(jì)算的方法，這是計(jì)算二重積分的一種行之有效的方法．1．X—型區(qū)域上二重積分的計(jì)算設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過D的內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)（如圖示3），則稱D為X—型區(qū)域．由圖可知，此時(shí)區(qū)域D可以用不等式表示為D：SKIPIF1<0．入口曲線出口曲線SKIPIF1<0入口曲線出口曲線圖3圖3在區(qū)間[a，b]上任取一點(diǎn)x，過點(diǎn)x作與x軸垂直的直線，它與D相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，aSKIPIF1<0xSKIPIF1<0b．SKIPIF1<0經(jīng)過以上兩步計(jì)算，SKIPIF1<0相當(dāng)于在區(qū)域SKIPIF1<0上累加了一遍。因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（1）由此可見，二重積分可以化為兩次定積分來(lái)計(jì)算．第一次對(duì)變量y積分，將x當(dāng)作常數(shù)，積分區(qū)間是區(qū)域D的下邊界的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的上邊界的點(diǎn)．第二次對(duì)x積分，它的積分限是常數(shù)．這種先對(duì)一個(gè)變量積分，再對(duì)另一個(gè)變量積分的方法，稱為累次(或二次)積分法．公式（1）是先對(duì)y后對(duì)x的累次積分公式，通常簡(jiǎn)記為SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．Y—型區(qū)域上二重積分的計(jì)算設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過D的內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)（如圖示4），則稱D為Y—型區(qū)域．由圖可知，此時(shí)區(qū)域D可以用不等式表示為D：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0圖4利用與前面相同的方法，可得先對(duì)x后對(duì)y的累次積分公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）通常簡(jiǎn)記為SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）3．一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算如果區(qū)域D不屬于上述兩種類型，則二重積分不能直接利用公式(1)、(3)來(lái)計(jì)算．這時(shí)可以考慮將區(qū)域D劃分成若干個(gè)小區(qū)域，使每個(gè)小區(qū)域或是X—型區(qū)域、或是Y—型區(qū)域．在每個(gè)小區(qū)域上單獨(dú)算出相應(yīng)的二重積分，然后利用二重積分對(duì)區(qū)域的可加性即可得所求的二重積分值．計(jì)算二重積分SKIPIF1<0其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x所圍的閉區(qū)域。解法1.將D看作X–型區(qū)域,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作直線平行于SKIPIF1<0軸，交區(qū)域下邊界為SKIPIF1<0，上邊界為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0解法2.將D看作Y–型區(qū)域,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作直線平行于SKIPIF1<0軸，交區(qū)域左邊界為SKIPIF1<0，右邊界為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2計(jì)算二重積分SKIPIF1<0，其中D為矩形域D：1SKIPIF1<0xSKIPIF1<02，0SKIPIF1<0ySKIPIF1<01．解采用先y后x的積分次序，則SKIPIF1<0．注意：例2中的二重積分若采用先x后y的積分次序，則SKIPIF1<0，函數(shù)xexy先對(duì)x積分時(shí)需要用分部積分法來(lái)計(jì)算，這將使計(jì)算工作量增加（請(qǐng)讀者自己完成，作一比較）．由此可見，計(jì)算二重積分要根被積函數(shù)選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序．例3計(jì)算積分SKIPIF1<0，其中D是由拋物線y2=x和直線y=x－2所圍成的閉區(qū)域．xyy=x-222O-1yxyy=x-222O-1y2=x（1，-1）和（4，2）積分區(qū)域如圖示5所示．D看作Y–型區(qū)域,采用先x后y的積分次序，則將區(qū)域D表示為D：y2SKIPIF1<0xSKIPIF1<0y+2，－1SKIPIF1<0ySKIPIF1<02．故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖5SKIPIF1<0圖5SKIPIF1<0SKIPIF1<0．注意本例若D看作X–型區(qū)域，采用先y后x的積分次序，由于區(qū)域D的下邊界曲線需要用分段函數(shù)表示：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，SKIPIF1<0．，將D劃分為D1、D2兩個(gè)部分區(qū)域(如圖6)，其中xyy=x-221O-1yxyy=x-2