高中數(shù)學(xué)第8章概率單元綜合檢測教師版蘇教版選擇性必修第二冊

第8章概率一、單選題1．將紅、藍(lán)兩個勻整的骰子各擲一次，設(shè)事務(wù)為“兩個骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，事務(wù)為“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)大于藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)”，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)條件概率的計(jì)算公式來計(jì)算出.【解析】“兩個骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”的事務(wù)包括，共種，其中“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)大于藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)”的有種，所以.故選：B2．甲箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球，3個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一個球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)全概率公式求得正確答案.【解析】依題意，從乙箱中取出的是紅球的概率為：.故選：D3．已知隨機(jī)變量X的分布列為（，2，3，4），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分布列的性質(zhì)求出常數(shù)a，再利用分布列計(jì)算概率作答.【解析】依題意，，解得，即，所以.故選：A4．已知隨機(jī)變量滿意，，其中.令隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意,列表求得隨機(jī)變量及的分布列,可知均為兩點(diǎn)分布.由兩點(diǎn)分布的均值及方差表示出和,依據(jù)比較大小即可得解.【解析】隨機(jī)變量滿意,,其中.則隨機(jī)變量的分布列為:所以隨機(jī)變量,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示(當(dāng)時,只有一個狀況,概率為1):則當(dāng)即,解得.所以A、B錯誤.恒成立.所以C錯誤,D正確故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列,兩點(diǎn)分布的特征及均值和方差求法,屬于中檔題.5．已知袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個.現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號.若，則的值是（

）A．1或2 B．0或2 C．2或3 D．0或3【答案】B【分析】求出的可能取值及概率，從而得到的期望和方差，依據(jù)，列出方程，求出，再分兩種狀況，求解出的值.【解析】由題意可知，的全部可能取值為，，由，得，即.又，所以當(dāng)時，由，得，此時；當(dāng)時，由，得，此時.故選：B6．已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由正態(tài)分布的圖像中對稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦推斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【解析】由題圖中的對稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C7．已知隨機(jī)變量的分布列如下：012其中，2，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而依據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式，方差的性質(zhì)依次探討各選項(xiàng)即可得答案.【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可知，∴，，又∵，∴，，∴，.故選：B8．我們知道，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（即伯努利試驗(yàn)）中，每次試驗(yàn)中事務(wù)發(fā)生的概率為，則事務(wù)發(fā)生的次數(shù)聽從二項(xiàng)分布，事實(shí)上，在無限次伯努利試驗(yàn)中，另一個隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛，即事務(wù)首次發(fā)生時試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)，明顯，我們稱聽從“幾何分布”，經(jīng)計(jì)算得．由此推廣，在無限次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到事務(wù)和都發(fā)生后停止，此時所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為，則，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】首先得出若，則，然后，設(shè)．利用錯位相減法即可得出，然后可得答案.【解析】因?yàn)椋嗳?，則．那么．設(shè)．．∴．∴時，．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是隨機(jī)變量的期望和利用錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.二、多選題9．已知隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．若，則C． D．隨機(jī)變量滿意，則【答案】ABC【分析】依據(jù)正態(tài)分布的定義求數(shù)學(xué)期望和方差求解A，再依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性可求解相應(yīng)的概率求解B,C，再依據(jù)變量關(guān)系的期望公式可求解D.【解析】因?yàn)?所以，，A正確；因?yàn)椋?，B正確；因?yàn)?，所以，C正確；因?yàn)?，所以，所?D錯誤，故選:ABC.10．英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論探討方面成就顯著，依據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事務(wù)?存在如下關(guān)系：.某高校有甲?乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲?乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.假如他第一天去甲餐廳，那么其次天去甲餐廳的概率為0.6；假如第一天去乙餐廳，那么其次天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學(xué)（

）A．其次天去甲餐廳的概率為0.54B．其次天去乙餐廳的概率為0.44C．其次天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為D．其次天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為【答案】AC【分析】依據(jù)題中所給的公式進(jìn)行逐一推斷即可.【解析】設(shè):第一天去甲餐廳，:其次天去甲餐廳，:第一天去乙餐廳，:其次天去乙餐廳，所以，，，因?yàn)椋裕杂?因此選項(xiàng)A正確,，因此選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D不正確，故選：AC11．已知下表為離散型隨機(jī)變量X的分布列，其中，下列說法正確的是（

）X012PA． B．C．有最大值 D．有最小值【答案】AC【分析】利用分布列的性質(zhì)以及期望與方差公式，列出表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)推斷選項(xiàng)的正誤即可.【解析】由題意可知，即，所以A正確.，所以B不正確.，是開口向下的二次函數(shù).所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無最小值.所以C正確，D不正確.故選：AC.12．將2n(n∈N*)個有編號的球隨機(jī)放入2個不同的盒子中，已知每個球放入這2個盒子的可能性相同，且每個盒子容納球數(shù)不限記2個盒子中最少的球數(shù)為X(0≤X≤n，X∈N*)，則下列說法中正確的有（

）A．當(dāng)n=1時，方差B．當(dāng)n=2時，C．，，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立D．當(dāng)n確定時，期望【答案】ACD【分析】對于A：當(dāng)n=1時，，，，，依據(jù)，可推斷；對于B：當(dāng)n=2時，由，可推斷；對于C：由，可推斷；對于D：由可推斷.【解析】當(dāng)n=1時，，，，，則，A正確；當(dāng)n=2時，，B錯誤；由已知得，，k≤n-2，，又有，所以P(X=n-l)>P(X=n)，C正確；又，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的分布列，期望和方差，關(guān)鍵在于精確地寫出隨機(jī)變量的分布列，運(yùn)用期望和方差的公式.三、填空題13．一道單項(xiàng)選擇題有4個答案，要求學(xué)生將正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時，4個答案都有機(jī)會被他選擇，若他答對了，則他的確知道正確答案的概率是___________.【答案】##【分析】由全概率公式求出考生答對的概率，再由條件概率公式求他答對條件下，他的確知道正確答案的概率.【解析】設(shè)表示“考生答對”，表示“考生知道正確答案”，由全概率公式得故故答案為：14．學(xué)習(xí)強(qiáng)國新開通一項(xiàng)“爭上游答題”欄目，其規(guī)則是競賽兩局，首局成功積3分，其次局成功積2分，失敗均積1分，某人每局競賽成功的概率為，設(shè)他參與一次答題活動得分為，則_________．【答案】【解析】先求得的全部可能取值，再依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，從而求得期望值.【解析】依題意可知的可能取值為，且：，，，，所以.故答案為：15．甲、乙兩名運(yùn)動員在羽毛球場進(jìn)行羽毛球競賽，已知每局競賽甲勝的概率為P，乙勝的概率為1-p，且各局競賽結(jié)果相互獨(dú)立.當(dāng)競賽實(shí)行5局3勝制時，甲用4局贏得競賽的概率為.現(xiàn)甲、乙進(jìn)行7局競賽，實(shí)行7局4勝制，則甲獲勝時競賽局?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望為_____________【答案】【分析】依據(jù)當(dāng)競賽實(shí)行5局3勝制時，甲用4局贏得競賽的概率為，求得每局競賽甲勝的概率P，再由實(shí)行7局4勝制得到X的可能取值為：4，5，6，7，分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列求解.【解析】因?yàn)楫?dāng)競賽實(shí)行5局3勝制時，甲用4局贏得競賽的概率為，且每局競賽甲勝的概率為p，乙勝的概率為1-p，所以，解得，X的可能取值為：4，5，6，7，則，，X的分布列為：X4567p所以實(shí)行7局4勝制，則甲獲勝時競賽局?jǐn)?shù)x的數(shù)學(xué)期望為：故答案為：16．2024年5月，修訂后的《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式實(shí)施，某校為宣揚(yáng)垃圾分類學(xué)問，組織中學(xué)三個年級的學(xué)生進(jìn)行垃圾分類學(xué)問測試．如表記錄了各年級同學(xué)參與測試的優(yōu)秀率（即測試達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)占該年級總?cè)藬?shù)的比例）．年級高一高二高三垃圾分類學(xué)問測試優(yōu)秀率55%75%65%假設(shè)從高年級中各隨機(jī)選取一名同學(xué)分別進(jìn)行考察，用“”表示該同學(xué)的測試成果達(dá)到優(yōu)秀，“”表示該同學(xué)的測試成果沒有達(dá)到優(yōu)秀．表示測試成果的方差，則、、的大小關(guān)系為______．【答案】【分析】分別寫出三個年級隨機(jī)選取一名同學(xué)測試成果優(yōu)秀和沒有達(dá)到優(yōu)秀的概率，算出各自的方差，即可比較，得到答案.【解析】當(dāng)時，在高一年級中隨機(jī)抽取一名同學(xué)進(jìn)行考察，則，，則，當(dāng)時，在高二年級中隨機(jī)抽取一名同學(xué)進(jìn)行考察，則，，則，當(dāng)時，在高三年級中隨機(jī)抽取一名同學(xué)進(jìn)行考察，則，，則，故．故答案為：四、解答題17．某批規(guī)格相同的產(chǎn)品由甲、乙、丙三個工廠共同生產(chǎn)，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為2%，乙廠和丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率均為4%，三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品混放在一起，已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的40%，40%，20%.(1)任選一件產(chǎn)品，計(jì)算它是次品的概率；(2)假如取到的產(chǎn)品是次品，分別計(jì)算此次品出自甲廠、乙廠和丙廠的概率.【答案】(1)(2)，，.【分析】(1)依據(jù)獨(dú)立事務(wù)同時發(fā)生的概率計(jì)算公式求解；(2)利用條件概率公式求解.【解析】（1）設(shè)表示“取到的產(chǎn)品是次品”，表示“產(chǎn)品由甲工廠生產(chǎn)”，表示“產(chǎn)品由乙工廠生產(chǎn)”，表示“產(chǎn)品由丙工廠生產(chǎn)”，易知，，兩兩互斥，依據(jù)題意得，，，依據(jù)全概率公式可得，故取到次品的概率為.（2）“假如取到的產(chǎn)品是次品，計(jì)算分別出自三個工廠的概率”，就是計(jì)算在發(fā)生的條件下，事務(wù)發(fā)生的概率.同理可得，所以假如取到的產(chǎn)品是次品，此次品出自甲廠、乙廠和丙廠的概率分別是，，.18．在某校舉辦“青春獻(xiàn)禮二十大，強(qiáng)國有我新征程”的學(xué)問實(shí)力測評中，隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，其中共有4名女生和3名男生的成果在90分以上，從這7名同學(xué)中每次隨機(jī)抽1人在全校作閱歷共享，每位同學(xué)最多共享一次，記第一次抽到女生為事務(wù)A，其次次抽到男生為事務(wù)B．(1)求，，(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為：從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行閱歷共享，記被抽取的3人中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）法一：依據(jù)古典概型結(jié)合條件概率運(yùn)算求解；法二：依據(jù)獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式結(jié)合條件概率運(yùn)算求解；（2）依據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【解析】（1）方法一：由題意可得：，“第一次抽到女生且其次次抽到男生”就是事務(wù)AB：“第一次抽到男生且其次次抽到男生”就是事務(wù)，從7個同學(xué)中每次不放回地隨機(jī)抽取2人，試驗(yàn)的樣本空間Ω包含個等可能的樣本點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，故．方法二：，“在第一次抽到女生的條件下，其次次抽到男生”的概率就是事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率，則，，故．（2）被抽取的3人中女生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列：X0123PX的數(shù)學(xué)期望.19．黨的二十大是全黨全國各族人民邁上全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程、向其次個百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的關(guān)鍵時刻召開的一次特殊重要的大會.細(xì)致學(xué)習(xí)宣揚(yáng)和全面實(shí)行黨的二十大精神，是當(dāng)前和今后一個時期的首要政治任務(wù)和頭等大事.某校支配實(shí)行黨的二十高校問競賽，對前來報(bào)名者進(jìn)行初試，初試合格者進(jìn)入正賽.初試有備選題6道，從備選題中隨機(jī)選擇出4道題進(jìn)行測試，至少答對3道題者視為合格.已知甲、乙兩人報(bào)名參與，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對每道題的概率均為，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨(dú)立.(1)分別求甲、乙兩人進(jìn)入正賽的概率；(2)記甲、乙兩人中進(jìn)入正賽的人數(shù)為，求的分布列及.【答案】(1)甲、乙兩人進(jìn)入正賽的概率分別為(2)分布列見詳解，【分析】（1）依據(jù)超幾何分布和二項(xiàng)分布運(yùn)算求解；（2）依據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)，求分布列和期望，再依據(jù)期望性質(zhì)求.【解析】（1）設(shè)甲、乙兩人答對的題目數(shù)分別為，則，可得甲進(jìn)入正賽的概率，乙進(jìn)入正賽的概率，故甲、乙兩人進(jìn)入正賽的概率分別為.（2）由題意可得：的可能取值為，則有：，，，則的分布列為：012則，故.20．我們認(rèn)為燈泡壽命的總體密度曲線是正態(tài)分布曲線，其中為總體平均數(shù)，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，某品牌燈泡的總體壽命平均數(shù)小時．(1)隨機(jī)取三個該品牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2600小時的概率；(2)該品牌燈泡壽命超過2800小時的概率為．我們通過設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法解決“隨機(jī)取三個該品牌燈泡，求三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率”問題．利用計(jì)算器可以產(chǎn)生0到9十個隨機(jī)數(shù)，我們用1，2，3，4表示壽命超過2800小時，用5，6，7，8，9，0表示壽命沒有超過2800小時．因?yàn)槭侨齻€燈泡，所以每三個隨機(jī)數(shù)一組．例如，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989就相當(dāng)于做了20次試驗(yàn)．估計(jì)三個燈泡中恰有兩個壽命超過2800小時的概率．【答案】(1)；(2).【分析】（1）依據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)隨機(jī)數(shù)，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可（1）由題知平均數(shù)，所以每個燈泡壽命超過2600小時的概率都是，這個隨機(jī)試驗(yàn)滿意古典概型條件：有限性，等可能性．設(shè)三個燈泡壽命超過2600小時分別為A，B，C；沒有超過2600小時分別為，，．則樣本空間，三個燈泡中恰有兩個壽命超過2600小時的事務(wù)，所以；（2）20組隨機(jī)數(shù)中滿意恰有兩燈泡壽命超過2800小時的有191，271，932，812，393共計(jì)5組，所以三個燈泡中恰有兩個燈泡壽命超過2800小時的概率估計(jì)值．21．已知兩個投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量和，依據(jù)市場分析，和的分布列如下：(1)在兩個項(xiàng)目上各投資200萬元，和（單位：萬元）表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤，求和；(2)將萬元投資項(xiàng)目，萬元投資項(xiàng)目，表示投資項(xiàng)目所得利潤的方差與投資項(xiàng)目所得利潤的方差之和.則當(dāng)為何值時，取得最小值？【答案】(1)=24，=36；(2).【分析】（1）由已知寫出和對應(yīng)分布列，并求出它們的期望，進(jìn)而由方差公式求和；（2）由題設(shè)、項(xiàng)目所獲利潤分別為、，應(yīng)用方差的性質(zhì)求出關(guān)于x的表達(dá)式，即可知結(jié)果.（1）依題意得：102041624，.（2）設(shè)投資項(xiàng)目所獲利潤為，投資項(xiàng)目所獲利潤為.，故當(dāng)時，取得最小值.22．燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的平安運(yùn)用壽命為5年，燈帶上照明的燈珠為易損配件，該燈珠的零售價為4元/只，但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠，該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)約裝飾及后期維護(hù)的支出，供應(yīng)了150條這款燈帶在平安運(yùn)用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在平安運(yùn)用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在平安運(yùn)用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，n表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數(shù)量.(1)求的分布列；(2)若滿意的n的最小值為，求；(3)在燈帶平安運(yùn)用