高中數(shù)學熱點題型增分練專題07圓切線與圓最值歸類教師版新人教A版選擇性必修第一冊

專題7圓切線與圓最值歸類【題型一】圓最值1：圓上動點與圓心【典例分析】（2024·全國·高二課時練習）已知圓，圓，點M、N分別是圓、圓上的動點，點P為x軸上的動點，則的最大值是（

）A． B．9 C．7 D．【答案】B【分析】分析可知，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，可得出，求出的最大值，即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為．，又，，．點關(guān)于軸的對稱點為，，所以，，故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律一般狀況下，圓上的動點有關(guān)的最值，可以轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)，通過加減半徑解決。解題時要留意幾何法的合理利用，同時還要留意轉(zhuǎn)化方法的運用【變式訓練】1.（2024·全國·高二課時練習）點在曲線上運動，，且的最大值為，若，，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由題意曲線為圓，，且表示曲線上的點到點的距離的平方，結(jié)合圓的特征可得點，由此可得，于是，故，以此為基礎(chǔ)并由基本不等式可得所求的最小值．【詳解】曲線可化為，表示圓心為，半徑為的圓．，可以看作點到點的距離的平方，圓上一點到的距離的最大值為，即點是直線與圓的離點最遠的交點，所以直線的方程為，由，解得或（舍去），∴當時，取得最大值，且，∴，∴，∴，當且僅當，且，即時等號成立．故選A．2.（2024·全國·高二專題練習）已知點，，，動點P滿意，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)分析知的軌跡為(不與重合)，要求的取值范圍，只需求出到圓上點的距離范圍即可.【詳解】由題設(shè)，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選：C3.（2024·福建·福州三中高二期中）已知點，且點在圓上，為圓心，則下列說法錯誤的是（

）A．的最小值為 B．當最大時，的面積為2C．的最大值為 D．的最大值為【答案】B【分析】依據(jù)題意，可知當為線段與圓的交點時，可求出取得最小值，可推斷A選項；當與圓相切時，最大，此時與重合，可求出的面積，即可推斷B選項；由于，當最大時，也最大，可知當，，三點共線，且在，之間時，求出的最大值，即可推斷C選項；當為射線與圓的交點時，求得取得最大值，即可推斷D選項.【詳解】解：如圖，當為線段與圓的交點時，即時，此時取得最小值為，故A正確；由題可知點在圓內(nèi)，當與圓相切時，最大，此時與重合，此時，故B錯誤；因為點在圓上，為圓心，則，所以當最大時，也最大，當，，三點共線，且在，之間時，其最大值為，故C正確；當為射線與圓的交點時，取得最大值，故D正確．故選：B.【題型二】圓最值2：直線動點與圓【典例分析】（2024·江蘇·高郵市第一中學高二期末）已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律一般狀況下，直線動點與圓上點的最值關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離?！咀兪接柧殹?.（2024·廣東深圳·高二階段練習）已知點是圓上的動點，直線與軸?軸分別交于兩點，當最小時，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓心、半徑，依據(jù)直線與圓的位置可知，當最小時，與圓相切，最終用勾股定理求即可【詳解】圓化成標準形式為，故圓心為，半徑為2，直線與坐標軸交于點，點，如下圖所示：則當最小時，與圓相切，連接，可知，由勾股定理可得，故選：A2.（2024·河南·高二開學考試（文））若直線與圓交于A，B兩點，則當周長最小時，k＝（

）A． B． C．1 D．－1【答案】C【分析】由直線方程可得直線恒過定點，由圓的幾何性質(zhì)可得當時，周長最小，由此可求的值.【詳解】直線的方程可化為。所以直線恒過定點，因為。所以點在圓內(nèi)，由圓的性質(zhì)可得當時，最小，周長最小，又，所以，此時．故選：C．3.（2024·安徽·高二開學考試）已知直線與圓交于兩點，則當弦最短時，圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．相交【答案】B【分析】由直線過定點且定點在圓內(nèi)，當弦最短時直線垂直，依據(jù)斜率乘積為求出，進而求出圓的方程，再依據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定答案.【詳解】易知直線即過定點，因為，故在圓內(nèi).故弦最短時直線垂直，又，所以，解得，此時圓的方程是.兩圓圓心之間的距離，半徑分別為5，3又，所以這兩圓外離.故選：B.【題型三】圓最值3：阿波羅尼斯圓【典例分析】（2024·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中）已知點，動點滿意，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意，求出點和的軌跡，結(jié)合平面對量的加法以及模長的計算，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，因，所以，即，因此點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，同理可得點也在以原點為圓心，2為半徑的圓上.又因，所以當和重合，且、、三點共線時，取得最值，因此，.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律解題時，往往會遇到“隱形圓問題”，常規(guī)的處理方法是找出動點所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）到定點的距離為定長的動點的軌跡；（2）假如為定點，且動點滿意，則動點的軌跡為圓（阿波羅尼斯圓）（3）假如中，為定長，為定值，則動點的軌跡為一段圓?。咀兪接柧殹?.（2024·全國·高二課時練習）已知邊長為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點，且滿意，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐標系，設(shè)，寫出的坐標，利用列式得關(guān)于的等式，可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，寫出直線的方程，計算和點距離直線的最小距離，代入三角形面積公式計算.【詳解】以的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系，則，，，設(shè)，因為，所以，得，所以點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，當點距離直線距離最大時，面積最大，已知直線的方程為：，，點距離直線的最小距離為：，所以面積的最小值為.故選：A2.（2024·全國·高二期末）阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討，阿波羅尼斯圓就是他的探討成果之一，指的是：已知動點與兩個定點，的距離之比為（，且），那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為，動點滿意，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由，可得點P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，又，其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，從而依據(jù)圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因為，所以，即，所以點P的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，因為，其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，所以，所以，即的最大值為，故選：A3.（2024·內(nèi)蒙古·寧城縣蒙古族中學高二階段練習（理））已知兩定點，假如平面內(nèi)動點滿意條件，則的最大值是_____【答案】【解析】設(shè)動點坐標，再由幾何條件，可得軌跡方程，進一步可得所求解.【詳解】設(shè)，由，可得，整理得:，即所以（表示中邊上的高），明顯，所以最大值為.故答案為:.【題型四】圓最值:4：將軍飲馬型【典例分析】（2024·全國·高二課時練習）已知圓上的動點和定點，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【分析】取點，連接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值為的長.【詳解】如圖，取點，連接，，，，，，，因為,當且僅當三點共線時等號成立,的最小值為的長，，，故選D.【提分秘籍】基本規(guī)律滿意已知圓上點M與兩定點A,B，則型距離，可以借助特別點借助三角形相像來轉(zhuǎn)為為兩點之間的距離求解?！咀兪接柧殹?..（2024·河北省曲陽縣第一高級中學高二階段練習）已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可知圓：，在坐標系中找到，應用三角線相像將轉(zhuǎn)化到，再利用三角形的三邊關(guān)系確定目標式的最大值即可.【詳解】由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標系中則，∴，即△△，故，∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長度.∴.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先求出圓方程，找到定點使，進而將轉(zhuǎn)化到其它線段，結(jié)合三角形三邊關(guān)系求目標式的最值.2.（2024·湖南省臨澧縣第一中學高二開學考試）阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學家，他對圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的探討，主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的探討成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來探討與此相關(guān)的一個問題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】探討點M在x軸上與不在x軸上兩種狀況，若點M不在x軸上，構(gòu)造點K(－2，0)，可以依據(jù)三角形的相像性得到，進而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最終依據(jù)三點共線求出答案.【詳解】①當點M在x軸上時，點M的坐標為(－1，0)或(1，0)．若點M的坐標為(－1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋；若點M的坐標為(1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋．②當點M不在x軸上時，取點K(－2，0)，如圖，連接OM，MK，因為|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．因為∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，則，所以|MK|＝2|MA|，則2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋|MK|的最小值為|BK|．因為B(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝．又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值為．故選：C3.（2024·浙江省杭州學軍中學高二期中）已知動點在圓上，若點，點，則的最小值為________.【答案】【解析】中兩系數(shù)不相同，須要轉(zhuǎn)化為，可作出圖形，取點，利用相像三角形性質(zhì)得，這樣有，結(jié)合圖形得出結(jié)論．【詳解】當在軸上時，有，，，，當不在軸上時，在軸上取點，連接，則，又，所以，所以，即，所以，三點共線時等號成立．綜上的最小值為．故答案為：．【題型五】圓最值5：定角范圍【典例分析】（2024·全國·高二專題練習）已知圓為圓上兩個動點，且為弦AB的中點，，，當A，B在圓上運動時，始終有為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】先確定點是在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，依據(jù)當A，B在圓上運動時，始終有為銳角，可知點應在以的中點為圓心，2為半徑的圓外，由此可列出關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求得答案.【詳解】連接,則,所以點M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)的中點為，則，且,因為當A，B在圓上運動時，始終有為銳角，所以以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相離，故，解得或，即，故選:A.【提分秘籍】基本規(guī)律和圓的切線有關(guān)的角度問題，難度較難大。圓有關(guān)的角度恒成立求參數(shù)范圍問題，可通過數(shù)形結(jié)合的方式將角度問題轉(zhuǎn)化為長度問題，尋求恒成立的臨界條件，由此構(gòu)建不等式求解出參數(shù)范圍.【變式訓練】1.（2024·浙江·高二期中）設(shè)點，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為一邊作正方形，然后把問題轉(zhuǎn)化為正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，從而求出的取值范圍.【詳解】以為一邊作正方形，若對角線與圓有交點，則滿意條件的存在，此時正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，即，所以，所以，所以.故選：D.2.（2024·全國·高二專題練習）已知圓和兩點，，．若圓上存在點，使得，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由，知動點的軌跡是以為直徑的圓，又點在圓上，故點是圓與圓的交點，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交.由兩圓的位置關(guān)系可以得到代數(shù)關(guān)系，從而求出的取值范圍，進而找到的最小值.【詳解】解：，點的軌跡是以為直徑的圓，又點在圓上，故點是圓與圓的交點，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交，即，解得：．的最小值為4．故選：D．3.（2024·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系中，為直線：上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點.若，則點的橫坐標的取值范圍為______________.【答案】．【解析】由直徑所對的圓周角為可求得直線的方程，進而解得點的坐標，設(shè)出點的坐標，再利用向量的數(shù)量積即可求出點的橫坐標的取值范圍.【詳解】解：如圖所示：點在以為直徑的圓上，，即，，又均在直線，，，又，：，聯(lián)立：，解得：，；設(shè)，則，，，又，，即，解得：或（舍去），故點的橫坐標取值范圍為：.故答案為：.【題型六】圓最值6：最短距離【典例分析】（2024·黑龍江·哈爾濱三中高二學業(yè)考試）已知點，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為A． B． C． D．【答案】D【分析】由于兩圓不在直線的同側(cè)，先做出圓關(guān)于直線對稱的圓，把轉(zhuǎn)化為，若最大，必需最大，最小.【詳解】如圖：依題意得點在直線上，點關(guān)于直線對稱的點,點在圓關(guān)于直線對稱的圓上，則，設(shè)圓的圓心為，因為，，所以，當五點共線，在線段上，在線段上時“=”成立.因此，的最大值為4.【提分秘籍】基本規(guī)律最短距離，可以轉(zhuǎn)化為：1.三角形兩邊之差小于第三邊，共線，則可以取等號。2.利用光學性質(zhì)，借助對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間距離?！咀兪接柧殹?.（2024·江蘇·星海試驗中學高二階段練習）一束光線，從點A(-2，2)動身，經(jīng)x軸反射到圓C：上的最短路徑的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出點A關(guān)于x軸對稱點，再求點與圓C上的點距離最小值即可.【詳解】依題意，圓C的圓心，半徑，點A(-2，2)關(guān)于x軸對稱點，連交x軸于點O，交圓C于點B，如圖，圓外一點與圓上的點距離最小值是圓外這點到圓心距離減去圓的半徑，于是得點與圓C上的點距離最小值為，在x軸上任取點P，連，PC交圓C于點，而，，當且僅當點P與O重合時取“=”，所以最短路徑的長度是.故選：A2.（2024·全國·高二課時練習）已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】作出關(guān)于直線的對稱圓，把轉(zhuǎn)化到與直線同側(cè)的，數(shù)形結(jié)合找到取最大值的位置，求出的最大值.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為3，圓關(guān)于直線的對稱圓為圓B，其中設(shè)圓心B坐標為，則，解得：，故圓B的圓心為，半徑為1，由于此時圓心A與圓心B的距離為4，等于兩圓的半徑之和，所以兩圓外切，此時點的對稱點為，且，所以，在P點運動過程中，當P，B，A，，F(xiàn)五點共線時，且在圓B左側(cè)，點F在圓A右側(cè)時，最大，最大值為故選：C【題型七】切線1:入射與反射光線【典例分析】（2024·重慶南開中學高二階段練習）自點發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，其反射光線所在直線正好與圓相切，則反射光線所在直線的全部斜率之和為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】求出圓心與半徑，點A關(guān)于軸的對稱點的坐標，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得結(jié)論.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為．點關(guān)于軸對稱的點為，所以設(shè)反射光線所在直線的方程為，即．由反射光線正好與圓相切，得，即，解得，于是．故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律入射光線與反射光線，可以分別找對應光線上點關(guān)于“鏡面”對稱點來求解?！咀兪接柧殹?.．（2024·甘肅·白銀市第十中學高二期末（理））已知圓：，從點發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，光線恰好平分圓的周長，則入射光線所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)光路可逆，易知圓心關(guān)于直線的對稱點，在入射光線上，由此可求得結(jié)果.【詳解】圓：，圓心為，由已知，反射光線經(jīng)過，故C點關(guān)于直線的對稱點M在入射光線上．設(shè)，則，解得，即，且光.源，所以入射光線的斜率，故選：C.2.（2024·江蘇·高二專題練習）一條光線從點射出，經(jīng)直線反射后與圓相切，則反射光線所在直線的方程的斜率為（

）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】先求得關(guān)于直線的對稱點，由此設(shè)出反射光線所在直線的方程，利用圓心到反射光線所在直線的距離等于半徑列方程，由此求得反射光線所在直線的斜率.【詳解】設(shè)，，直線的斜率為，所以直線和直線垂直；的中點坐標為即，在直線上，所以點關(guān)于直線的對稱點為，由題可知反射光線所在直線的斜率存在，點在反射光線所在直線上．設(shè)反射光線所在直線方程為，即．∵圓的方程可化為，圓心為，半徑為1，，解得，即．故選：C3.（2024·全國·高二專題練習）過點的直線經(jīng)x軸反射后與圓相切，則切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為，由點斜式得切線，再依據(jù)直線與圓相切，圓心到的距離為代入計算．【詳解】圓的圓心，半徑點關(guān)于軸對稱的點為，則過點與圓相切的直線即為所求．由題意可知切線的斜率存在，可設(shè)切線的斜率為則的方程為即圓心到的距離為，解得，【題型八】切線2：切點弦方程【典例分析】（2024·天津市第一中學濱海學校高二開學考試）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出以、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦的方程．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，以、為直徑的圓的方程為，因為過點圓的兩條切線切點分別為A，B，所以，是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦的方程，故選：A．【提分秘籍】基本規(guī)律切點弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點作圓的切線，則切點與四點共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級結(jié)論法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點P(x0，y0)做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【變式訓練】1.（2024·廣東·佛山一中高二期中）過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為、，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個圓的方程，兩方程作差后計算可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.2.（2024·全國·高二課時練習）過直線上任一點P作圓O：的兩條切線，切點分別為A，B，若直線AB與圓M：恒有公共點，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出切線方程，然后求出直線AB方程，依據(jù)直線和圓有公共點解出t的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，，，過直線上隨意一點P作圓O：的兩條切線分別為，，則，，結(jié)合，可得切線，切線，又，從而直線AB的方程為，且過定點，因為直線AB與圓M：恒有公共點，故有定點在圓M上或是圓內(nèi)，故可得，解得，則t的取值范圍是.故選：B3.．（2024·全國·高二專題練習）過直線上一動點M，向圓引兩條切線，A、B為切點，則圓的動點P到直線AB距離的最大值為（

）A． B．6C．8 D．【答案】A【分析】依據(jù)題意設(shè)點在直線上，可得點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，聯(lián)立圓O的方程得出直線AB的方程，進而可得直線AB恒過定點，將問題轉(zhuǎn)化為求點C、N之間的距離，結(jié)合圓C的方程和兩點坐標求距離公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，設(shè)點在直線上，則，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則，所以點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，且該圓的方程為：，又圓O的方程為，這兩個圓的方程相減，得公共弦AB的方程為，即，因為，所以，所以，當且即時該方程恒成立，所以直線AB恒過定點，所以點M到直線AB距離的最大值即為點C、N之間的距離加上圓C的半徑，又，，所以，即點M到直線AB距離的最大值為.故選：A【題型九】切線3：切點弦過定點【典例分析】（2024·河南·睢縣高級中學高二階段練習（理））已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過定點.A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)可得以為直徑的圓的方程，兩圓方程相減，可得其公共弦，化為，由可得結(jié)果.【詳解】設(shè)是圓的切線，是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，可得以為直徑的圓的方程為，

①又，②

①-②得，化為，由，可得總滿意直線方程，即過定點，故選B.【提分秘籍】基本規(guī)律把圓的切線問題轉(zhuǎn)化為求兩圓的公共弦問題，然后就能得到直線的方程，再利用含參直線過定點的解題策略求定點坐標即可.【變式訓練】1.（2024·安徽·安慶市其次中學高二期中）圓：，點為直線上的一個動點，過點向圓作切線，切點分別為、，則直線過定點A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)，畫出圖象如下圖所示，依據(jù)直角三角形射影定理可知，即直線方程為，四個選項中，只有選項符合，故選.2.（2024·山東·高青縣第一中學高二期中）已知圓，直線，P為直線l上的動點，過點P作圓C的切線，切點分別為A，B，則直線過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，圓心C的坐標為，可得以線段為直徑的圓N的方程，兩圓方程作差，得兩圓公共弦的方程可得答案．【詳解】因為P為直線l上的動點，所以可設(shè)，由題意可得圓心C的坐標為，以線段為直徑的圓N的圓心為，半徑為，所以方程為，兩圓方程作差，即得兩圓公共弦的方程為，，所以直線過定點．故選：A.3.（2024·黑龍江·大慶中學高二階段練習）已知圓的圓心在坐標原點，且與直線相切，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，、為切點，則直線經(jīng)過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意設(shè)的坐標為，由切線的性質(zhì)得點A、在以為直徑的圓上，求出圓的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦所在的直線方程，再求出直線過的定點坐標.【詳解】由點是直線上的任一點，所以設(shè)，因為圓的兩條切線、，切點分別為A、，所以，，則點A、在以為直徑的圓上，即是圓和圓的公共弦，則圓心的坐標是，且半徑的平方是，所以圓的方程是，又由，兩式相減，可得，即公共弦所在的直線方程是，即，由，解得，所以直線恒過定點.故選：A.【題型十】切線4：切線長最值范圍【典例分析】（2024·安徽·舒城育才學校高二階段練習）已知是直線上一點，是圓的一條切線，是切點，若長度的最小值為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由切線的性質(zhì)可得，利用勾股定理可知當長度取最小值時，的長度取得最小值，即圓心到直線的距離為，利用點到直線的距離公式可求得正實數(shù)的值.【詳解】圓的標準方程為，該圓的圓心為，半徑為，由圓的切線的性質(zhì)可知，由勾股定理可得，因為，則，即圓心到直線的距離為，所以，，，解得.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律圓的切線(1)過圓上一點作圓的切線有且只有一條；(2)過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的狀況，以防漏解．（3）求圓外定點的切線長，多轉(zhuǎn)化為定點、切點、圓心所在三角形。【變式訓練】1.（2024·全國·高二課時練習）若過直線上一點向圓：作一條切線切于點，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，求出圓的圓心與半徑，由切線長公式可得，當取得最小值時，的值最小，由點到直線的距離分析的最小值，進而計算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑，過點向圓作一條切線切于點，則，當取得最小值時，的值最小，而的最小值為點到直線的距離，則，則的最小值為，故選：D2.（2024·江西·高二期中（理））已知圓，點在直線上，過直線上的任一點引圓的兩條切線，若切線長的最小值為2，則直線的斜率（

）A．2 B． C．或 D．2或【答案】C【解析】依據(jù)勾股定理由切線長最小值求出的最小值為，即圓心到直線的距離為，設(shè)出直線的方程，依據(jù)點到直線的距離列式可解得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為切線長的最小值為2，所以，所以圓心到直線的距離為，所以直線必有斜率，設(shè)，即，所以圓心到直線的距離為，所以，整理得，解得或.故選：C3.（2024·山西·運城市景勝中學高二階段練習（理））已知圓，直線，點在直線上運動，直線，分別與圓相切于點，，當切線長最小時，弦的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，當取得最小值時，切線長有最小值，即時，再由得到答案.【詳解】由條件得圓，圓心，半徑，因為，所以當取得最小值時，切線長有最小值，易知當時，有最小值為，所以的最小值為，所以.故選：.【題型十一】切線5：切線三角形與四邊形面積最值【典例分析】（2024·浙江·高二專題練習）已知定直線l的方程為，點Q是直線l上的動點，過點Q作圓的一條切線，是切點，C是圓心，若面積的最小值為，則此時直線l上的動點E與圓C上動點F的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由題意可得直線l的方程為，再求出圓C的圓心坐標與半徑，由面積的最小值為求得，再由點到直線的距離公式求解k，可得直線l的方程，進一步求得直線l上的動點E與圓C上動點F的距離的最小值．【詳解】解：由題意可得直線l的方程為，圓C的圓心，半徑為1，如圖：，又，當取最小值時，取最小值，此時，可得，，則，解得，則直線l的方程為，則直線l上的動點E與圓C上動點F的距離的最小值為．故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律切點四邊形可以轉(zhuǎn)化為圓外定點、切點、圓心所在三角形?！咀兪接柧殹?.（2024·江蘇·高二專題練習）過直線上一點P作圓M：的兩條切線，切點分別為A，B，若使得四邊形PAMB的面積為的點P有兩個，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用圓的性質(zhì)可得，進而可得，結(jié)合題意可得，即得.【詳解】由圓M：可知，圓心，半徑為1，∴，∴四邊形PAMB的面積為，∴，要使四邊形PAMB的面積為的點P有兩個，則，解得.故選：A.2.（2024·全國·高二課時練習）過圓：上一點作圓：的切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】由于，進而可知求出的最小值即可，而最小即為求的最小值，從而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知點，，，四點共圓，，因為，當?shù)闹底钚r，最小，，，故四邊形的最小值為．故選：C.3.（2012·青海西寧·一模（理））已知圓O：，點P是橢圓C：上一點，過點P作圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點，直線AB分別交軸、軸于點M、N，則的面積的最小值是A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】令,由切線公式可得直線PA:,直線PB:,所以P滿意和,所以可得直線AB的方程為①.由①式得,所以O(shè)MN面積②另帶入②得則,所以當sin2β=1時面積最小,此時Smin=.【題型十二】切線6：切點弦最值【典例分析】.（2024·江蘇·高二專題練習）已知是半徑為1的動圓上一點，為圓上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，，則當取最大值時，△的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)，確定的軌跡方程，結(jié)合已知可得，再依據(jù)切線的性質(zhì)、勾股定理及面積法得到關(guān)于的關(guān)系式且△的外接圓以線段為直徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系及其動點距離最值狀況，寫出外接圓的方程.【詳解】由，則動圓心的軌跡方程為.為圓上的動點，又，∴，∵，，，∴，∴當最小時，最小，當最大時，最大.當時，取最大值，△的外接圓以線段為直徑，而中點，即中點為，∴外接圓方程為，即.故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律求切點弦長度（范圍）：1.抓化為定點、切點、圓心三點三角形，可以借助勾股定理（或者三角函數(shù)正余弦）求解。2.轉(zhuǎn)化為圓心到切點弦距離最值求解【變式訓練】1.（2024·江蘇·高二專題練習）若為直線上一個動點，從點引圓的兩條切線，（切點為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)圓，圓心，，依據(jù)題意得到當最小時，最小，利用余弦定理即可得到，再依據(jù)點在直線無限遠取值時，，直徑，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓，，圓心，，要使的長度最小，則最小，即最小.因為，所以當最小時，最小.又因為，所以當最小時，最小.因為，所以，.則.當點在直線無限遠取值時，，直徑，所以.故選：C2.（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點滿意，過作單位圓的兩條切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍是______.【答案】.【分析】設(shè)，由圓的切點弦所在直線方程可知的方程為，進而可求圓心到距離，從而求出弦長，結(jié)合已知可求出弦長的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，當時，此時過點與圓相切直線的斜率，則過點與圓相切直線方程為，即，當時，，此時切線方程或滿意.綜上所述，過點與圓相切直線方程為；同理，過點與圓相切直線方程為，設(shè)，則直線的方程為，此時圓心到距離.所以.由可知，，則，所以.故答案為:.3.（2024·四川省南充高級中學高二開學考試（理））已知圓與直線，過l上隨意一點P向圓C引切線，切點為A，B，若線段長度的最小值為，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，則由題意可求得，從而可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實數(shù)m的值【詳解】圓，設(shè)，則，因為，所以，又，所以，又，所以，即，又，所以．故選：D．【題型十三】切線7：向量范圍【典例分析】（2024·浙江省杭州其次中學高二期中）已知P是函數(shù)圖象上的一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】結(jié)合圖示，將轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的函數(shù)形式，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性以及的取值范圍，可求解出的最小值.【詳解】設(shè)即的圓心為，所以圓心坐標為，半徑為，如圖所示：因為，所以，所以，設(shè)，所以，取等號時，又由對勾函數(shù)單調(diào)性可知其在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律圓切線求向量，屬于有難度的題型，借助于定（動）點、切點和圓心所構(gòu)成的直角三角形來轉(zhuǎn)化求解。涉及到長度，夾角等較多因素。【變式訓練】1.（2024·全國·高二課時練習）已知圓，，過圓上一點P作圓的兩條切線，切點分別是E、F，則的最小值是A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題首先可以通過圓的方程得出圓的圓心軌跡，然后畫出圓的圓心軌跡圖像以及圓的圖像，通過圖像可以得出線段的取值范圍以及的解析式，最終通過函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】由可得：圓的圓心在圓的圓周上運動，設(shè)，則，由圖可知：，，由在上為增函數(shù)可知，當時，取最小值6，故選A．2.（2024·四川·北大附中成都為明學校高二期中（理））過點作圓C：的切線，切點分別為A，B，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】圓C：的圓心坐標為，半徑為1，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，則，∴恒成立，∴在單調(diào)遞增，∴，∴的最小值為故選C.3.（2024·湖北·武漢外國語學校（武漢試驗外國語學校）高二期末）過點P向圓C:作切線，切點分別為A，B.則的最小值為（

）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】將圓的方程配成標準式，畫出草圖，設(shè)，則，又，所以，利用平面直角坐標系下隨意兩點的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)得到，再依據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：圓C:，即圓C:，圓心為，半徑如圖，設(shè)，由對稱性且，所以因為，所以因為，所以令，則，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因為，所以故選：B【題型十四】切線轉(zhuǎn)化綜合【典例分析】（2024·江蘇·高二專題練習）已知圓,直線,若直線上存在點，過點引圓的兩條切線,使得,則實數(shù)的取值范圍是A． B．[,]C． D．）【答案】D【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點P的軌跡方程為，則原問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實數(shù)k的取值范圍.【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），因為兩切線，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，則：，即點P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓.直線過定點（0，－2），直線方程即，只要直線與P點的軌跡（圓）有交點即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即：，解得：，即實數(shù)的取值范圍是）.本題選擇D選項.【變式訓練】1.（2024·安徽省宣城中學高二開學考試）已知點P是直線l：上的動點，過點P引圓C：的兩條切線PM，PN，M，N為切點，當?shù)淖畲笾禐闀r，則r的值為A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】結(jié)合題意，找出該角取最大值的時候PC的長度，建立方程，計算結(jié)果，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像，可知當取到最大值的時候，則也取到最大值，而，當PC取到最小值的時候，取到最大值，故PC的最小值為點C到該直線的最短距離，故，故，解得，故選D．2.（2024·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個點滿意：過點作圓C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實數(shù)m的值為（

）A．1 B． C．3 D．7【答案】C【解析】依據(jù)四邊形PMCN為正方形可得，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為可求得結(jié)果.【詳解】由可知圓心，半徑為，因為四邊形PMCN為正方形，且邊長為圓的半徑，所以，所以直線：上有且只有一個點，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或（舍）.故選：C3.（2024·全國·高二階段練習）在平面直角坐標系中，已知圓，，動點在直線上，過點分別作圓的切線，切點分別為，若滿意的點有且只有兩個，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】.【分析】設(shè)出點的坐標，將原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的問題，求解關(guān)于b的不等式即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意O(0,0),O1(4,0).設(shè)P(x,y)，則∵PB=2PA，，∴(x?4)2+y2=4(x2+y2)，∴x2+y2+=0，圓心坐標為,半徑為，∵動點P在直線x+y?b=0上，滿意PB=2PA的點P有且只有兩個，∴直線與圓x2+y2+=0相交，∴圓心到直線的距離，∴，即實數(shù)的取值范圍是.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1.（2024·全國·高二單元測試）若x，y滿意，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．無法確定【答案】C【分析】由為圓上的點與原點距離的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)即得.【詳解】由，可得，表示以為圓心，以為半徑的圓，設(shè)原點，，則（為圓上的點與原點距離的平方）的最小值是．故選：C．2.（2024·全國·高二專題練習）過點的直線與圓：交于，兩點，當弦取最大值時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心，然后依據(jù)直線的兩點式方程寫出答案即可【詳解】圓：化為所以圓心坐標要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心由直線方程的兩點式得：，即故選：A3.（2024·四川成都·高二開學考試（理））若兩定點，，動點M滿意，則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)給定條件求出動點M的軌跡方程，再確定軌跡即可計算作答.【詳解】設(shè)，依題意，，化簡整理得：，因此，動點M的軌跡是以原點為圓心，2為半徑的圓，所以動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D4.（2024·福建福州·高二期末）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個好玩的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動身，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處動身，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為___________．【答案】##【分析】先求出點關(guān)于直線的對稱點，點到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則的中點為，,故解得，由知軍營所在區(qū)域中心為，要使從點到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離為，“將軍飲馬”的最短總路程為，故答案為：5.（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸的正半軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面幾何學問可知，當過、兩點的圓與軸相切時，切點即為所求點，再由切割線定理可求得點的橫坐標.【詳解】當過、兩點的圓與軸相切時，切點即為所求點.易得過、兩點的直線方程為，其與軸交點為，易得，，由切割線定理得，所以，進而可得，點的橫坐標為3.故選：C.6.（2024·重慶·高二階段練習）一束光線，從點動身，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作點關(guān)于軸對稱點，連接交軸于點，交圓于點，依據(jù)三角形三邊關(guān)系可確定為所求的最短距離，由可求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程可得：圓心坐標，半徑，設(shè)點關(guān)于軸對稱點為，則，連接交軸于點，交圓于點，則為所求的最短距離，證明如下：任取軸上一點，則（當且僅當三點共線時取等號），，即最短路徑的長度為.故選：A.7.（2024·江蘇·高二課時練習）已知從點發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)反射性質(zhì)，結(jié)合圓的性質(zhì)、直線斜率公式進行求解即可.【詳解】設(shè)點的坐標為，圓的圓心坐標為，設(shè)是x軸上一點，因為反射光線恰好平分圓的圓周，所以反射光線經(jīng)過點，由反射的性質(zhì)可知：，于是，所以反射光線所在的直線方程為：，故選：A8.（2024·全國·高二專題練習（文））過點D(1,－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線的方程為（

）A．2y－1＝0 B．2y＋1＝0C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0【答案】B【分析】由題設(shè)寫出CD為直徑的圓的方程，將其與圓C作差即可得弦AB所在直線的方程.【詳解】由圓C：(x－1)2＋y2＝1知：其圓心為C(1,0)，半徑為1.連接CD，以線段CD為直徑的圓的方程為(x－1)(x－1)＋(y＋2)(y－0)＝0，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝1.將兩圓的方程相減，可得公共弦AB所在直線的方程為2y＋1＝0.故選：B.9.（2024·江蘇·高二單元測試）已知圓：，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線?，?為切點，則直線過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點坐標，由切線性質(zhì)得四點共圓，是其直徑，可得圓方程，是此圓與圓的公共弦，因此只要兩圓方程相減可得直線方程，由方程可得定點坐標．【詳解】由題意，設(shè)，則以為直徑的圓方程為，即，由得，這就是直線的方程，直線方程整理為，由，得，所以直線過定點．10.（2024·江蘇·高二課時練習）若圓上總存在兩點關(guān)于直線對稱，則過圓外一點向圓所作的切線長的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】依題意可知動點在直線：上移動，當與直線垂直時，最小，從而切線長最小.由點到直線距離公式求得的最小值，進而可得結(jié)果.【詳解】圓：，圓心為，半徑.依題意知，直線過圓心，所以，即動點在直線：上移動.所以，當與直線垂直時，最小，從而切線長最小，.此時，切線長的最小值為.故選：D.11.（2024·全國·高二專題練習）已知直線：與圓：()相離，過直線上的動點做圓的一條切線，切點為，若面積的最小值是，則（

）A．1 B． C．1或 D．2【答案】C【分析】求出圓心到直線的距離，即可得切線長的最小值，從而得面積最小值，由此可得半徑．【詳解】因為，所以，當最小時，最?。淖钚≈禐?，所以，解得或，又直線與圓相離，所以，所以或．故選：C．12.（2024·江蘇·高二專題練習）若為直線上一個動點，從點引圓的兩條切線，（切點為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設(shè)圓，圓心，，依據(jù)題意得到當最小時，最小，利用余弦定理即可得到，再依據(jù)點在直線無限遠取值時，，直徑，即可得到答案.【詳解】設(shè)圓，，圓心，，要使的長度最小，則最小，即最小.因為，所以當最小時，最小.又因為，所以當最小時，最小.因為，所以，.則.當點在直線無限遠取值時，，直徑，所以.故選：C13.（2024·福建·莆田二中高二階段練習）已知圓的圓心為為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為___________．【答案】16【分析】先求得圓心到直線的距離，由轉(zhuǎn)化為，從而得出結(jié)論.【詳解】解：圓心到直線的距離為因為，所以當且僅當時等號成立，故的最小值為16．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點為利用將轉(zhuǎn)化為，然后利用點到直線的距離求解即可.14.（2024·山東德州·高二期末）已知點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，，其中，為切點，若的最大值為120°，則的值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】由切線得四邊形的性質(zhì)，要使得最大，則最小，的最小值即為圓心到直線的距離，再由已知角的大小可求得．【詳解】由題意，，，所以最大時，最小．由題意知，又，所以，．故選：B．培優(yōu)其次階——實力提升練1.（2024·福建·閩江學院附中高二期中）已知圓，點，分別是圓，圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用圓的方程求出圓心坐標和半徑，利用對稱性和三點共線求最值的方法即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題意可知，圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，要使得取最大值，需的值最大，的值最小.其中的最大值為,的最小值為則的最大值為點關(guān)于軸的對稱點，，所以的最大值為.故選：C2.（2024·全國·高二課時練習）直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】底邊為定值，求出點P到距離的范圍即可求出面積的取值范圍.【詳解】圓心到直線距離，所以點P到距離即高的范圍，又可求得，所以面積的取值范圍為.故選：A.3.（2024·浙江·杭州市余杭中學高二期中）阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿意：，當P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】依據(jù)給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構(gòu)成三角形，當點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，明顯，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是．故選：C4.（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，和是圓上的兩點，且，點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】取中點為，延長至，使得，求出，依據(jù)已知求出的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】，取中點為，，且，延長至，使得，所以，因為，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因為，所以.故選：A5.（2024·全國·高二課時練習）已知是圓的一條弦，且，是的中點，當弦在圓上運動時，直線上存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)已知條件先確定出點的軌跡方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓要包括圓”，由此利用圓心到直線的距離結(jié)合點的軌跡所表示圓的半徑可求解出的最小值.【詳解】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點，所以，所以點的軌跡方程，圓心為點，半徑為，若直線上存在兩點，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點到直線的距離為，所以長度的最小值為，故選：B．6.（2024·全國·高二課時練習）已知點，Q為圓上一點，點S在x軸上，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題目是數(shù)形結(jié)合的題目，依據(jù)兩點之間線段最短的原則，可以將轉(zhuǎn)換為，連接，找到點的位置，從而求出線段和的最小值【詳解】將圓方程化為標準方程為：，如下圖所示：作點關(guān)于x軸的對稱點，連接與圓相交于點，與x軸相交于點，此時，的值最小，且，由圓的標準方程得：點坐標為，半徑，所以，，所以最小值為9故選：C7.（2024·福建·廈門一中高二階段練習）已知圓，從點發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過圓心，則入射光線的斜率為（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】化圓的方程為標準方程，求得圓心坐標與半徑，由關(guān)于直線的對稱點在入射光線上，由兩點求斜率公式求解.【詳解】解：由，得，圓心為，由已知，反射光線經(jīng)過，故點關(guān)于直線的對稱點在入射光線上.且光源，入射光線的斜率.故選：.8.（2024·江西·高二階段練習（文））已知圓О的方程為，過圓О外一點作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)平面幾何學問可知點O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，再將兩圓的方程相減，即可得到直線AB的方程．【詳解】由題意知點O，A，P，B在以O(shè)P為直徑的圓上，易求該圓的方程為，AB為圓與圓的公共弦，將這兩圓的方程相減，得，即AB的方程為.故選：B．9.（2024·全國·高二單元測試）已知圓的圓心為原點，且與直線相切.點在直線上，過點引圓的兩條切線，，切點分別為，，如圖所示，則直線恒過定點的坐標為A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓的圓心為原點且與直線相切即得圓的方程，又，是它的切線，可知，確定在以為直徑為圓心的圓上，即為兩圓的公共弦，即可求出直線的方程，進而找到定點【詳解】依題意知，圓的半徑且圓心為∴圓的方程為∵，是圓的兩條切線?！?，，即，在以為直徑的圓上若設(shè)點的坐標為，，則線段的中點坐標為∴以為直徑的圓的方程為，，化簡得，∵為兩圓的公共弦?！嘀本€的方程為，，即∴直線恒過定點。故選：A10.（2024·全國·高二專題練習）已知直線是圓的對稱軸，過點作圓C的一條切線，切點為B，則等于（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】依據(jù)直線是圓的對稱軸，則圓心在直線l上，求得，由過點作圓C的一條切線，切點為B，利用勾股定理即可求得.【詳解】由方程得，圓心為，因為直線l是圓C的對稱軸，所以圓心在直線l上，所以，所以A點坐標為，則，所以.故選：A．11.（2024·全國·高二專題練習）已知點是直線上一動點，是圓的兩條切線，是切點若四邊形的最小面積是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】四邊形面積最小時，即是最小，也就是取最小值，為點到直線的距離，從而得出結(jié)果．【詳解】解：由題意得，圓的方程為：，圓心半徑，直線過定點，，面積最小時，即是最小，也就是取最小值，為點到直線的距離．此時，，解得故選D．12.（2024·江蘇·高二課時練習）過x軸正半軸上一作圓的兩條切線，切點分別為A，B，若，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】連接交于點，先推斷出最小時，最大，最小，再由勾股定理求出，進而求得的最小值.【詳解】如圖，連接交于點，易得，，由，最小時，最大，又，可得，即，最大時，最小，最小；又，則，故的最小值為1.故選：A.13.（2024·江蘇·高二專題練習）已知圓，圓，過圓M上隨意一點P作圓C的兩條切線，切點分別為，則的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【分析】兩圓的圓心距為5，大于兩圓的半徑之和，可以知道兩圓相離，結(jié)合下圖（見解析）的最小值是的值，求出即可．【詳解】由題意，圓的圓心為（1，0），半徑為1，圓的圓心（，），半徑為2，所以，而，所以兩圓相離．，要使取得最小值，須要和越小，且越大才能取到，設(shè)直線和圓交于兩點（如下圖）．則的最小值是.=，，則.所以.故選D.14.（2024·全國·高二專題練習）已知圓：，直線：，若在直線上任取一點作圓的切線，，切點分別為，，則最小時，原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將最小轉(zhuǎn)化為，依據(jù)點到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由得，所以圓心，半徑，在中，，當最小時，最小，最大，最小，此時，的最小值為圓心到直線的距離：，此時，，因為，所以，所以圓心到直線的距離為，所以兩平行直線與之間的距離為，因為原點到直線的距離為，所以原點到直線的距離為.故選：A培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.（2024·湖南·長沙市明德中學高二階段練習）已知點，分別為圓：，：上的動點，為軸上一點，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意，求出關(guān)于x軸的對稱點，結(jié)合，以及兩點之間線段最短，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，易知，因為關(guān)于x軸的對稱點為，所以，因此的最小值為，當且僅當為直線與x的交點時取等號．故選：B．2.（2024·江蘇·高二階段練習）已知直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，動點P在以點A為圓心，2為半徑的圓上，當最大時，△APB的面積為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】先求圓A的方程，當最大時，直線PB是圓的切線，結(jié)合切線方程即可求出結(jié)果．【詳解】由已知，圓A的方程為，當最大時，此時直線PB是圓的切線，即直線PB的方程為：或，當直線PA的方程為時，△APB的面積為，當直線PA的方程為時，△APB的面積為，故選：C．3.（2024·重慶市萬州其次高級中學高二開學考試）古希臘聞名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)覺：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿意.設(shè)點的軌跡為，則下列說法錯誤的是（

）A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于的兩點，使得C．在上存在點，使得D．當三點不共線時，射線是的角平分線【答案】C【分析】依據(jù)題意，設(shè)點坐標，結(jié)合兩點之間的距離公式以及角平分線的性質(zhì)，一一推斷即可.【詳解】對于選項A，設(shè)，由，得，化簡得，因此A正確；對于選項B，假設(shè)在軸上存在異于的兩點，使得，設(shè)，，則，化簡得，因為，所以，因此，解得或（舍），即在軸上存在異于的兩點，使得，故B正確；對于選項C，若在上存在點，使得，設(shè)，則，化簡得，與聯(lián)立，方程組無解，故在上不存在點，使得，因此C錯；對于選項D，當，，三點不共線時，，可知射線是的角平分線，故D正確.故選：C.4.（2024·全國·高二專題練習）阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討，主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的探討成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q、P的距