吉林省東遼市2025屆高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

吉林省東遼市2025屆高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．102．某學(xué)生四次模擬考試時(shí)，其英語(yǔ)作文的減分情況如下表：考試次數(shù)x

1

2

3

4

所減分?jǐn)?shù)y

4.5

4

3

2.5

顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.253．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.則的圖象，可由函數(shù)的圖象怎樣變換而來(lái)（縱坐標(biāo)不變）（）A．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位B．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向右平移個(gè)單位C．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位D．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位4．化為弧度是A． B． C． D．5．已知函數(shù)（其中），對(duì)任意實(shí)數(shù)a，在區(qū)間上要使函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，則k值為（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或76．設(shè)是復(fù)數(shù)，從，，，，，，中選取若干對(duì)象組成集合，則這樣的集合最多有（）A．3個(gè)元素 B．4個(gè)元素 C．5個(gè)元素 D．6個(gè)元素7．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上是單調(diào)遞減的是（）A．y=-cosx B．y=lgx8．與直線平行，且到的距離為的直線方程為A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序語(yǔ)句，輸出的結(jié)果為()A． B．C． D．10．若圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，,則與間的距離為（）A．1 B．2 C． D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則________.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為_(kāi)_________.13．已知平行四邊形的周長(zhǎng)為，，則平行四邊形的面積是_______14．我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書(shū)九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術(shù)”，即的，其中分別為內(nèi)角的對(duì)邊.若，且則的面積的最大值為_(kāi)___．15．已知向量，且，則___________．16．若，，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某校舉行漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽，為了了解本次比賽成績(jī)情況，從得分不低于50分的試卷中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿(mǎn)分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計(jì)1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績(jī)較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽(tīng)寫(xiě)比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．18．（1）證明：；（2）證明：對(duì)任何正整數(shù)n，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？19．已知是公差不為0的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.20．使用支付寶和微信支付已經(jīng)成為廣大消費(fèi)者最主要的消費(fèi)支付方式，某超市通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)一周內(nèi)超市每天的凈利潤(rùn)(萬(wàn)元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(shù)(千人)具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到最近一周的7組數(shù)據(jù)如下表，并依此作為決策依據(jù).(1)作出散點(diǎn)圖，并求出回歸方程(，精確到)；(2)超市為了刺激周一消費(fèi)，擬在周一開(kāi)展使用支付寶和微信支付隨機(jī)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，總獎(jiǎng)金7萬(wàn)元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，抽獎(jiǎng)活動(dòng)能使使用支付寶和微信支付消費(fèi)人數(shù)增加7千人，試決策超市是否有必要開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)？(3)超市管理層決定:從周一到周日，若第二天的凈利潤(rùn)比前一天增長(zhǎng)超過(guò)兩成，則對(duì)全體員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，在(Ⅱ)的決策下，求全體員工連續(xù)兩天獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率.參考數(shù)據(jù):，，，.參考公式：，，.21．某運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者對(duì)自己的步行運(yùn)動(dòng)距離（單位：千米）和步行運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的統(tǒng)計(jì)資料：如果與存在線性相關(guān)關(guān)系，（1）求線性回歸方程（精確到0.01）；（2）將分鐘的時(shí)間數(shù)據(jù)稱(chēng)為有效運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，求抽取的3個(gè)數(shù)據(jù)恰有兩個(gè)為有效運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)的概率．參考數(shù)據(jù)：，參考公式：，．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用．2、D【解析】試題分析：先求樣本中心點(diǎn)，利用線性回歸方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，代入驗(yàn)證，可得結(jié)論．解：先求樣本中心點(diǎn)，，由于線性回歸方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，代入驗(yàn)證可知y=﹣0.7x+5.25，滿(mǎn)足題意故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

根據(jù)圖象可知，根據(jù)周期為知，過(guò)點(diǎn)求得，函數(shù)解析式，比較解析式，根據(jù)圖像變換規(guī)律即可求解.【詳解】由在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得,，解得，圖象過(guò)點(diǎn)，代入解析式得，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，將函?shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得，再向右平移個(gè)單位得的圖象，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由部分圖像求解析式，圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.4、D【解析】

由于，則.【詳解】因?yàn)?，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查角度制與弧度制的互化.5、A【解析】

根據(jù)題意先表示出函數(shù)的周期，然后根據(jù)函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，得到周期的范圍，從而得到關(guān)于的不等式，從而得到的范圍，結(jié)合，得到答案.【詳解】函數(shù)，所以可得，因?yàn)樵趨^(qū)間上，函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，所以得即與的圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于等于4，小于等于8，而與的圖像在一個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)，所以，即解得，又因，所以得或者，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)周期性求參數(shù)的值，函數(shù)與方程，屬于中檔題.6、A【解析】

設(shè)復(fù)數(shù)分別計(jì)算出以上式子，根據(jù)集合的元素互異性，可判斷答案.【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)，，，，故由以上的數(shù)組成的集合最多有，，這個(gè)元素，故選：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相關(guān)概念，屬于中檔題.7、C【解析】

先判斷各函數(shù)奇偶性，再找單調(diào)性符合題意的即可?！驹斀狻渴紫瓤梢耘袛噙x項(xiàng)D，y=e然后，由圖像可知，y=-cosx在(0,+∞)上不單調(diào)，y=lg只有選項(xiàng)C：y=1-x【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性和單調(diào)性。8、B【解析】試題分析：與直線平行的直線設(shè)為與的距離為考點(diǎn)：兩直線間的距離點(diǎn)評(píng)：兩平行直線間的距離9、B【解析】

通過(guò)解讀算法框圖功能發(fā)現(xiàn)是為了求數(shù)列的和，采用裂項(xiàng)相消法即可得到答案.【詳解】由已知中的程序語(yǔ)句可知:該程序的功能是求的值，輸出的結(jié)果為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查算法框圖基本功能，裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力.10、D【解析】

根據(jù)圓上有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，得到圓心到直線的距離為，由此列方程求得的值，再利用兩平行直線間的距離公式，求得與間的距離.【詳解】由于圓的圓心為，半徑為，且圓上有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故到圓心到直線的距離為，即，由于，故上式解得.所以.由兩平行直線間的距離公式有，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查兩平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7500【解析】

討論的奇偶性，分別化簡(jiǎn)遞推公式，根據(jù)等差數(shù)列的定義得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求.【詳解】當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，＝1，由，得，所以，，，…，…是首項(xiàng)為，以4為公差的等差數(shù)列，則，所以.故答案為：7500【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的化簡(jiǎn)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，也考查了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．12、1【解析】

由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算S的值并輸出變量i的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得

S=1，i=1

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=3，i=2

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=7，i=3

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=15，i=4

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=31，i=5

滿(mǎn)足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=13，i=1

此時(shí)，不滿(mǎn)足條件S<40，退出循環(huán)，輸出i的值為1．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可．13、【解析】

設(shè)，根據(jù)條件可以求出，兩邊平方可以得到關(guān)系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的關(guān)系式，聯(lián)立求出的值，過(guò)作垂直于，設(shè)，則可以表示，利用勾股定理，求出的值，確定長(zhǎng)，即求出平行四邊形的面積【詳解】設(shè)又，由余弦定理將代入，得到將（2）代入（1）得到可以解得：(另一種情況不影響結(jié)果)，過(guò)作垂直于，設(shè),則，所以填寫(xiě)【點(diǎn)睛】幾何題如果關(guān)系量理清不了，可以嘗試作圖，引入相鄰邊的參數(shù)，通過(guò)方程把參數(shù)求出，平行四邊形問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)槿切螁?wèn)題，進(jìn)而把問(wèn)題簡(jiǎn)單化.14、【解析】

由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求積”公式即可求得答案．【詳解】因?yàn)?，所以整理可得，由正弦定理得因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，的面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題用到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式，正弦定理等，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和計(jì)算整理能力．15、【解析】

把平方，將代入，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，故答案?【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.16、【解析】

由等比數(shù)列前n項(xiàng)公式求出已知等式左邊的和，再求解．【詳解】易知不合題意，∴，若，則，不合題意，∴，，∴，，又，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題時(shí)需分類(lèi)討論，首先對(duì)的情形進(jìn)行說(shuō)明，然后按是否為1分類(lèi)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學(xué)生數(shù)，利用列舉法寫(xiě)出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來(lái)自第四組的事件個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應(yīng)分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1、A2、A3，第4組的2位同學(xué)為B1、B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學(xué)至少有1位同學(xué)入選的概率為＝點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.18、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）不是【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進(jìn)行證明；（2）對(duì)分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來(lái)，然后判斷其每一項(xiàng)都為無(wú)理數(shù)，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立時(shí)，，其中，成立，則當(dāng)時(shí)，所以得到因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，，其中，時(shí)，，其中，成立，時(shí)，，其中，成立，則當(dāng)時(shí)，所以得到其中，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；綜上可得：對(duì)任何正整數(shù)，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；（3）由（2）可得其中均為有理數(shù)，因?yàn)闉闊o(wú)理數(shù)，所以均為無(wú)理數(shù)，故為無(wú)理數(shù)，所以不是有理數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于難題.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意列式求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案.

（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和得答案．【詳解】（1）差數(shù)列中，，成等比數(shù)列有：即，得所以又，即，.所以.（2）所以.所以所以【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，是中檔題．20、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】

(1)通過(guò)表格描點(diǎn)即可，先計(jì)算和，然后通過(guò)公式計(jì)算出線性回歸方程；（2）先計(jì)算活動(dòng)開(kāi)展后使用支付寶和微信支付的人數(shù)為(千人)，代入（1）問(wèn)得到結(jié)果；（3）先判斷周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎(jiǎng)勵(lì)，從而確定基本事件，再找出連續(xù)兩天獲得獎(jiǎng)勵(lì)的基本事件，故可計(jì)算出全體員工連續(xù)兩天獲得獎(jiǎng)勵(lì)的