陜西省五校2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

陜西省五校2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示四棱錐的底面為正方形，平面則下列結論中不正確的是（）A． B．平面C．直線與平面所成的角等于30° D．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角2．中國古代數(shù)學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．3．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球4．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則A．B．C．D．5．如右圖所示，直線的斜率分別為則A． B．C． D．6．矩形中，，若在該矩形內隨機投一點，那么使得的面積不大于3的概率是（）A． B． C． D．7．已知的三個頂點都在一個球面上，，且該球的球心到平面的距離為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．8．設有直線和平面，則下列四個命題中，正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，l∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α9．如圖所示，在正方體中，側面對角線，上分別有一點E，F(xiàn)，且，則直線EF與平面ABCD所成的角的大小為（）A．0° B．60° C．45° D．30°10．長方體中的8個頂點都在同一球面上，，，，則該球的表面積為（）．A． B． C．50 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在圓心角為，半徑為2的扇形AOB中任取一點P，則的概率為________.12．中，內角、、所對的邊分別是、、，已知，且，，則的面積為_____.13．等差數(shù)列中，，，設為數(shù)列的前項和，則_________.14．直線的傾斜角為_____________15．若，則________.16．在正數(shù)數(shù)列an中，a1=1，且點an,an-1三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，試判斷△ABC的形狀.18．本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時相應數(shù)列的公差.19．已知數(shù)列滿足，.(Ⅰ)求，的值，并證明：0<≤1；(Ⅱ)證明：；(Ⅲ)證明：.20．某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產量（單位：百千克）與肥料費用（單位：百元）滿足如下關系：，且投入的肥料費用不超過5百元.此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費等）百元.已知這種水蜜桃的市場售價為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤為（單位：百元）.（1）求利潤函數(shù)的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（2）當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？21．在中，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)空間中垂直關系的判定和性質，平行關系的判定和性質，以及線面角的相關知識，對選項進行逐一判斷即可.【詳解】對A：因為底面ABCD為正方形，故ACBD，又SD底面ABCD，AC平面ABCD，故SDAC，又BD平面SBD，SD平面SBD，故AC平面SBD，又SB平面SBD，故AC.故A正確；對B：因為底面ABCD為正方形，故AB//CD，又CD平面SCD，故AB//平面SCD.故B正確.對C：由A中推導可知AC平面SBD，故取AC與BD交點為O，連接SO，如圖所示：則即為所求線面角，但該三角形中邊長關系不確定，故線面角的大小不定，故C錯誤；對D：由AC平面SBD，故取AC與BD交點為O，連接SO，則即為SA和SC與平面SBD所成的角，因為，故，故D正確.綜上所述，不正確的是C.故選：C.【點睛】本題綜合考查線面垂直的性質和判定，線面平行的判定，線面角的求解，屬綜合基礎題.2、C【解析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.3、C【解析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.4、A【解析】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點】三角函數(shù)的圖像與性質【名師點睛】根據(jù)圖像求解析式問題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖像的最高點、最低點確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖像上的一個特殊點確定φ值．5、C【解析】試題分析：由圖可知，，所以，故選C．考點：直線的斜率．6、C【解析】

先求出的點的軌跡（一條直線），然后由面積公式可知時點所在區(qū)域，計算其面積，利用幾何概型概率公式計算概率．【詳解】設到的距離為，，則，如圖，設，則點在矩形內，，，∴所求概率為．故選C．【點睛】本題考查幾何概型概率．解題關鍵是確定符合條件點所在區(qū)域及其面積．7、C【解析】

先算出的外接圓的半徑，然后根據(jù)勾股定理可得球的半徑，由此即可得到本題答案.【詳解】設點O為球心，因為，所以的外接圓的圓心為AC的中點M，且半徑，又因為該球的球心到平面的距離為2，即，在中，，所以該球的半徑為，則該球的表面積為.故選：C【點睛】本題主要考查球的表面積的相關問題.8、D【解析】

在A中，m與n相交、平行或異面；在B中，α與β相交或平行；在C中，m⊥β或m∥β或m與β相交；在D中，由直線與平面垂直的性質與判定定理可得m∥α．【詳解】由直線m、n，和平面α、β，知：對于A，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交，故B錯誤；對于中，若α⊥β，α⊥β，m?α，則m⊥β或m∥β或m與β相交，故C錯誤；對于D，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由直線與平面垂直的性質與判定定理得m∥α，故D正確．故選D．【點睛】本題考查了命題真假的判斷問題，考查了空間線線、線面、面面的位置關系的判定定理及推論的應用，體現(xiàn)符號語言與圖形語言的相互轉化，是中檔題．9、A【解析】

證明一條直線與一個平面平行，除了可以根據(jù)直線與平面平行的判定定理以外，通常還可以通過平面與平面平行進行轉化，比如過E作EG∥AB交BB1于點G，連接GF，根據(jù)三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以證得：EF∥平面ABCD．【詳解】解：過E作EG∥AB交BB1于點G，連接GF，則，∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴．∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，∴EF∥平面ABCD．故答案為A【點睛】本題主要考查空間直線和平面平行的判定，根據(jù)面面平行的性質是解決本題的關鍵．10、C【解析】

根據(jù)長方體的外接球性質及球的表面積公式，化簡即可得解.【詳解】根據(jù)長方體的外接球直徑為體對角線長，則，所以，則由球的表面積公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了長方體外接球的性質及球表面積公式應用，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意，建立坐標系，求出圓心角扇形區(qū)域的面積，進而設，由數(shù)量積的計算公式可得滿足的區(qū)域，求出其面積，代入幾何概率的計算公式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖的坐標系，則則扇形的面積為設若，則有，即；則滿足的區(qū)域為如圖的陰影區(qū)域，直線與弧的交點為，易得的坐標為，則陰影區(qū)域的面積為故的概率故答案為：【點睛】本題考查幾何概型，涉及數(shù)量積的計算，屬于綜合題．12、【解析】

由正弦定理邊角互化思想結合兩角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】，由邊角互化思想得，即，，由余弦定理得，，所以，，因此，，故答案為.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積公式的應用，解題時要結合三角形已知元素類型合理選擇正弦、余弦定理解三角形，考查運算求解能力，屬于中等題.13、【解析】

由等差數(shù)列的性質可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的基本性質可得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時也考查了等差數(shù)列基本性質的應用，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

先求得直線的斜率，由此求得對應的傾斜角.【詳解】依題意可知，直線的斜率為，故傾斜角為.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線斜率和傾斜角的計算，屬于基礎題.15、【解析】

直接利用倍角公式展開，即可得答案.【詳解】由，得，即，．故答案為：．【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式的應用，屬于基礎題．16、2【解析】

在正數(shù)數(shù)列an中，由點an,an-1在直線x-2y=0上，知a【詳解】由題意，在正數(shù)數(shù)列an中，a1=1，且a可得an-2即an因為a1=1，所以數(shù)列所以Sn故答案為2n【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的前n項和公式的應用，同時涉及到數(shù)列與解析幾何的綜合運用，是一道好題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式的靈活運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）60°【解析】

（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根據(jù)正弦定理化簡已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化簡后求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（2）由A為60°，利用三角形的內角和定理得到B+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=3中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍，求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B為60°，可得出三角形ABC三個角相等，都為60°，則三角形ABC為等邊三角形．【詳解】(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2+c(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3，∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°，∴B＋30°＝90°，B＝60°，∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形.【點睛】此題考查了三角形形狀的判斷，正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等邊三角形的判定，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．18、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a1，a2，…ak的公差．【詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當q＝1時，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當1＜q≤3時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當n＝1時，d≤2；當n＝2，3，…，k﹣1時，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時，a1，a2，…ak的公差為．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和的求法；考查不等式組的解法；找好分類討論的起點是解決本題的關鍵，屬于一道難題．19、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)見證明；(Ⅲ)見證明【解析】