2025屆邵陽市重點中學高一數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2025屆邵陽市重點中學高一數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，其中是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則（）A． B． C． D．2．已知銳角△ABC的面積為，BC=4，CA=3，則角C的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°3．已知點，則P在平面直角坐標系中位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知向量，，則（）A．-1 B．-2 C．1 D．05．下列賦值語句正確的是()A．S＝S＋i2 B．A＝－AC．x＝2x＋1 D．P＝6．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角=（）A． B． C． D．7．過點的圓的切線方程是（）A． B．或C．或 D．或8．從1，2，3，…，9這個9個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，則這5個數(shù)的中位數(shù)是5的概率等于（）A．57 B．59 C．29．若曲線表示橢圓，則的取值范圍是()A． B． C． D．或10．若則所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的通項公式，則____________．12．如圖，在直角梯形中，//是線段上一動點，是線段上一動點，則的最大值為________．13．已知求______________.14．在等差數(shù)列中，若，則的前13項之和等于______.15．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，，，則此數(shù)列前20項和等于______.16．若，則函數(shù)的值域為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知（1）求的值；（2）求的值.18．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點.（1）求證：平面PCD；（2）求證：.19．已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值.20．如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.21．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角、、所對邊的長分別是，若，，，求的面積的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】函數(shù)的周期為，四分之一周期為，而函數(shù)的最大值為，故，由余弦定理得，故.2、B【解析】試題分析：由三角形的面積公式，得，即，解得，又因為三角形為銳角三角形，所以.考點：三角形的面積公式.3、B【解析】

利用特殊角的三角函數(shù)值的符號得到點的坐標，直接判斷點所在象限即可．【詳解】，．在平面直角坐標系中位于第二象限．故選B．【點睛】本題考查了三角函數(shù)值的符號，考查了三角函數(shù)的誘導公式的應用，是基礎(chǔ)題．4、C【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，得到答案.【詳解】向量，，所以.故選：C.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標運算，屬于簡單題.5、B【解析】在程序語句中乘方要用“^”表示，所以A項不正確；乘號“*”不能省略，所以C項不正確；D項中應用SQR(x)表示，所以D項不正確；B選項是將變量A的相反數(shù)賦給變量A，則B項正確．選B.6、A【解析】

由正弦定理可解得，利用大邊對大角可得范圍，從而解得A的值．【詳解】，由正弦定理可得：，，由大邊對大角可得：，解得：．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識的應用，解題時要注意分析角的范圍．7、D【解析】

先由題意得到圓的圓心坐標，與半徑，設(shè)所求直線方程為，根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點到直線距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為1，由題意，易知所求切線斜率存在，設(shè)過點與圓相切的直線方程為，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直線方程分別為：或，整理得或.故選D【點睛】本題主要考查求過圓外一點的切線方程，根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點到直線距離公式即可求解，屬于?？碱}型.8、C【解析】試題分析：設(shè)事件為“從1，2，3，…，9這9個數(shù)中5個數(shù)的中位數(shù)是5”，則基本事件總數(shù)為種，事件所包含的基本事件的總數(shù)為：，所以由古典概型的計算公式知，，故應選.考點：1.古典概型；9、D【解析】

根據(jù)橢圓標準方程可得，解不等式組可得結(jié)果.【詳解】曲線表示橢圓，，解得，且，的取值范圍是或，故選D．【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程以及不等式的解法，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于簡單題.10、C【解析】

根據(jù)已知不等式可得，；根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號可確定角所處的象限.【詳解】由知：，在第三象限故選：【點睛】本題考查三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將代入即可求解【詳解】令，可得.故答案為：【點睛】本題考查求數(shù)列的項，是基礎(chǔ)題12、2【解析】

建立平面直角坐標系，得到相應點的坐標及向量的坐標，把，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，，所以,因為，，所以,因為，所以當時，取得最大值，最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及向量的數(shù)量積的運算的應用，其中解答中建立平面直角坐標系，結(jié)合向量的線性運算和數(shù)量積的運算，得到的函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．13、23【解析】

直接利用數(shù)量積的坐標表示求解.【詳解】由題得.故答案為23【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，先得到，再由等差數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為是等差數(shù)列，，所以，即，記前項和為，則.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列前項和的基本量的運算，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、180【解析】

根據(jù)條件解得公差與首項，再代入等差數(shù)列求和公式得結(jié)果【詳解】因為，，所以，【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題16、【解析】

令，結(jié)合可得，本題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在的值域，求解即可.【詳解】，.令，，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，；當時，.故所求值域為.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域，利用換元法是解決本題的一個方法.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)20，（2）【解析】

（1）先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos和tan的值，進而利用二倍角公式把sin2展開，把sin和cos的值代入即可．（2）先利用誘導公式使=tan（﹣），再利用正切的兩角和公式展開后，把tanα的值代入即可求得答案．【詳解】(1)由，得，所以＝（2）∵，∴【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值的問題．要求學生能靈活運用三角函數(shù)的基本公式．18、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）取的中點，證出，再利用線面平行的判定定理即可證出.（2）利用線面垂直的判定定理可證出平面，再根據(jù)線面垂直的定義即可證出.【詳解】如圖，取的中點，連接，E為PB中點，，且，又，，，,為平行四邊形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因為，，所以，，平面，又平面，.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，要證線面平行，需先證線線平行；要證異面直線垂直，可先證線面垂直，此題屬于基礎(chǔ)題.19、（1）①當時，不等式的解集為；②當時，由，則不等式的解集為；③當時，由，則不等式的解集為；（2）【解析】

（1）不等式，可化為，分三種情況討論，分別利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）不等可化為，根據(jù)1和4是方程的兩根，利用韋達定理列方程求解即可.【詳解】（1）不等式，可化為：.①當時，不等式的解集為；②當時，由，則不等式的解集為；③當時，由，則不等式的解集為；（2）不等可化為：.由不等式的解集為可知，1和4是方程的兩根.故有，解得.由時方程為的根為1或4，則實數(shù)的值為1.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法以及分類討論思想的應用，屬于中檔題..分類討論思想的常見類型

,⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進行分類討論的；

⑵問題中的條件是分類給出的；

⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；

⑷涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.20、（1）或；（2）.【解析】

（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.【詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線方程為或．（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．所以點應該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．考點：1、圓的標準方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應用.【方法點睛】本題主要考查圓的標準方程及切線的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.本題（2）巧妙地將圓上存在點，使問題轉(zhuǎn)化為，兩圓有公共點問題是解決問題的關(guān)鍵所在.21