2025屆江西省南昌市新建縣第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆江西省南昌市新建縣第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線：，：，：，若且，則的值為A． B．10 C． D．22．已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），則△ABC的面積為A．3 B．2 C．1 D．3．向量，則（）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為30°4．某校高二理（1）班學(xué)習(xí)興趣小組為了調(diào)查學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例，設(shè)計(jì)了如下調(diào)查方法：（1）在本校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，并編號1，2，3，…，100；（2）在箱內(nèi)放置了兩個(gè)黃球和三個(gè)紅球，讓抽取到的100名學(xué)生分別從箱中隨機(jī)摸出一球，記住其顏色并放回；（3）請下列兩類學(xué)生站出來，一是摸到黃球且編號數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生，二是摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生。若共有32名學(xué)生站出來，那么請用統(tǒng)計(jì)的知識估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是（）A．80% B．85% C．90% D．92%5．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．6．若函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則的值為A． B． C． D．7．已知分別是的邊的中點(diǎn)，則①；②；③中正確等式的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和用表示，若滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（）A．16 B．15 C．14 D．139．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，則等于（）A． B． C． D．10．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B．“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C．“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D．“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，的最大值為_____.12．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面的距離等于________.13．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若正項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列_________也是等比數(shù)列.14．設(shè)為，的反函數(shù)，則的值域?yàn)開_____.15．已知斜率為的直線的傾斜角為，則________．16．關(guān)于的不等式，對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，函數(shù)，.（1）若在上單調(diào)遞增，求正數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線與射線，過點(diǎn)作直線l分別交兩射線于點(diǎn)A、B（不同于原點(diǎn)O）.（1）當(dāng)取得最小值時(shí)，直線l的方程；（2）求的最小值；19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點(diǎn)A為圓心,r=2為半徑作一個(gè)圓,設(shè)PQ為圓A的一條直徑.(1)請用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.21．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，，求和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．【詳解】由題意，直線：，：，：，因?yàn)榍?，所以，且，解得，，所以．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線的位置關(guān)系，列出方程求解的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

由兩點(diǎn)式求得直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求得三角形的高，由兩點(diǎn)間距離公式求得的長，從而根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】∵點(diǎn)A（1，0），B（0，1），∴直線AB的方程為x+y–1=0，，又∵點(diǎn)C（–2，–3）到直線AB的距離為，∴△ABC的面積為S=．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式以及直線方程的應(yīng)用，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.3、B【解析】試題分析：由，可得，所以，故選B．考點(diǎn)：向量的運(yùn)算．4、A【解析】

先分別計(jì)算號數(shù)為奇數(shù)的概率、摸到黃球的概率、摸到紅球的概率，從而可得摸到黃球且號數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生，進(jìn)而可得摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生人數(shù)，由此可得估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例．【詳解】解：由題意，號數(shù)為奇數(shù)的概率為0.5，摸到黃球的概率為，摸到紅球的概率為那么按概率計(jì)算摸到黃球且號數(shù)為奇數(shù)的學(xué)生有個(gè)共有32名學(xué)生站出來，則有12個(gè)摸到紅球且不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生，不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生有：，喜歡數(shù)學(xué)課的有80個(gè)，估計(jì)該校學(xué)生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例大約是：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5、B【解析】

分別令，求得不等式，由此證得成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系判斷項(xiàng)的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

先由題意求出平移后的函數(shù)解析式，再由對稱中心，即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后,可得函數(shù)的圖像，又函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，，，故，又，時(shí)，.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查由平移后的函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)的問題，熟記正弦函數(shù)的對稱性，以及函數(shù)的平移原則即可，屬于常考題型.7、C【解析】分別是的邊的中點(diǎn)；故①錯(cuò)誤，②正確故③正確；所以選C.8、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得到，推出，判斷出當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；再根據(jù)，判斷出對取正負(fù)的影響，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，因此，所以，所以，，因此，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，取得最大值.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)，及其函數(shù)特征即可，屬于常考題型.9、C【解析】

在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，則可得CD.【詳解】在中，由余弦定理可得.又，故為直角三角形，故.因?yàn)?，且為銳角，故.由利用正弦定理可得，代值可得，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，屬于綜合基礎(chǔ)題.10、C【解析】

結(jié)合互斥事件與對立事件的概念,對選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對立事件,不符合題意;對于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對立的兩個(gè)事件,符合題意;對于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對知識的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

化簡，再利用基本不等式以及輔助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【詳解】由題可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的最值問題，涉及二倍角公式、基本不等式、輔助角公式等知識點(diǎn)，屬于中檔題。12、【解析】

利用等體法即可求解.【詳解】如圖，由ABCD是菱形，，，E是BC的中點(diǎn)，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，則平面，由平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，由即，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等體法求點(diǎn)到面的距離，同時(shí)考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

利用類比推理分析，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列．故答案為：【點(diǎn)睛】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．14、【解析】

求出原函數(shù)的值域可得出其反函數(shù)的定義域，取交集可得出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?，函?shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)與函數(shù)單調(diào)性相同，可知，函數(shù)在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域的求解，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，明確兩個(gè)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、【解析】

由直線的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線的傾斜角為，其斜率為，則有＝，則，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案為﹣【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．16、或【解析】

利用換元法令，則對任意的恒成立，再對分兩種情況討論，令求出函數(shù)的最小值，即可得答案.【詳解】令，則對任意的恒成立，（1）當(dāng)，即時(shí)，上式顯然成立；（2）當(dāng)，即時(shí)，令①當(dāng)時(shí)，，顯然不成立，故不成立；②當(dāng)時(shí)，，∴解得：綜上所述：或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意分段函數(shù)的最值求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）求出的單調(diào)遞增區(qū)間，令，得，可知區(qū)間，即可求出正數(shù)的最大值；（2）令，當(dāng)時(shí)，，可將問題轉(zhuǎn)化為在的零點(diǎn)問題，分類討論即可求出答案.【詳解】解：（1）由，得，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，令，得時(shí)單調(diào)遞增，所以解得，可得正數(shù)的最大值為.（2），設(shè)，當(dāng)時(shí)，.它的圖形如圖所示.又，則，，令，則函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，可知在內(nèi)最多一個(gè)零點(diǎn).①當(dāng)0為的零點(diǎn)時(shí)，顯然不成立；②當(dāng)為的零點(diǎn)時(shí)，由，得，把代入中，得，解得，，不符合題意.③當(dāng)零點(diǎn)在區(qū)間時(shí)，若，得，此時(shí)零點(diǎn)為1，即，由的圖象可知不符合題意；若，即，設(shè)的兩根分別為，，由，且拋物線的對稱軸為，則兩根同時(shí)為正，要使在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，所以解得.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點(diǎn)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能力，屬于難題.18、（1）；（2）6.【解析】

（1）設(shè)，，利用三點(diǎn)共線可得的關(guān)系，計(jì)算出后由基本不等式求得最小值．從而得直線方程；（2）由（1）中所設(shè)坐標(biāo)計(jì)算出，利用基本不等式由（1）中所得關(guān)系可得的最小值，從而得的最小值．【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)锳，B，M三點(diǎn)共線，所以與共線，因?yàn)?，，所以，得，即，，等號?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)直線l的方程為.（2）因?yàn)橛?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，所以當(dāng)時(shí)，取最小值6.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的應(yīng)用，考查三點(diǎn)共線的向量表示，考查用基本不等式求最值．用基本不等式求最值時(shí)要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特征采取不同的方法，如（1）中用“1”的代換配湊出基本不等式的條件求得最值，（2）直接由已知應(yīng)用基本不等式求最值．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）利用當(dāng)時(shí)，求證即可；（2）先結(jié)合（1）求得，再由，然后累加求和即可.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，②?②得：，即，又，即，則，即數(shù)列是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，則，即，則，即，故.【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義法證明等比數(shù)列，重點(diǎn)考查了公式法求和及裂項(xiàng)求和法求和，屬中檔題.20、（1）；（2）22.【解析】

利用向量的三角形法則即可求得答案由，，可得，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的表達(dá)式，利用三角函