專題66 遞推法求解概率-2023年高考數(shù)學(xué)優(yōu)拔尖核心壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題66遞推法求解概率【方法點(diǎn)撥】在概率的背景下，得到遞推關(guān)系，綜合運(yùn)用數(shù)列中的方法，諸如待定系數(shù)法、疊加法等求解通項公式進(jìn)一步求解問題.【典型題示例】例1（2022·江蘇徐州期末·22改編）為搶占市場，某品牌電動汽車近期進(jìn)行了一系列優(yōu)惠促銷方案．銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，贏大獎，送汽車模型”活動，客戶可根據(jù)拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)，遙控汽車模型在方格圖上行進(jìn)，若汽車模型最終停在“幸運(yùn)之神”方格，則可獲得購車優(yōu)惠券2萬元；若最終停在“贈送汽車模型”方格，則可獲得汽車模型一個．方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格．汽車模型開始在第0格，客戶每擲一次骰子，汽車模型向前移動一次．若擲出1，2，3，4點(diǎn)，汽車模型向前移動一格（從第k格到第格），若擲出5，6點(diǎn)，汽車模型向前移動兩格（從第k格到第格），直到移到第19格（幸運(yùn)之神）或第20格（贈送汽車模型）時游戲結(jié)束．設(shè)汽車模型移到第格的概率為．則=；若有6人玩該游戲，每人一局，則這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望為（結(jié)果精確到1萬元）．【分析】根據(jù)規(guī)則得到遞推關(guān)系，使用待定系數(shù)法求得，即是以為首項，公比為的等比數(shù)列，求出，再使用疊加法求出通項公式.【解析】由題意知，，．汽車模型移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：①汽車模型先到第格，又?jǐn)S出5，6點(diǎn)，其概率為；②汽車模型先到第格，又?jǐn)S出1，2，3，4點(diǎn)，其概率為．所以，則，且所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，．所以，．所以．設(shè)玩游戲的6人中有X人獲得優(yōu)惠券，則，所以這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值為（萬元）．【鞏固訓(xùn)練】1.從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)，按向量移動的概率為，按向量移動的概率為，設(shè)可到達(dá)點(diǎn)的概率為，則的表達(dá)式為.2.某人玩硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是，棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站(從到)；若擲出反面，棋子向前跳兩站(從到)，直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第站的概率為=，玩該游戲獲勝的概率為.3.一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時，游戲結(jié)束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)．則玩該游戲獲勝的概率為．【答案或提示】1.【解析】易得到達(dá)點(diǎn)有兩種情況：從點(diǎn)按向量移動，即；②從點(diǎn)按向量移動，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.又2.【答案】，【解析】棋子開始在第0站為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，.棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為..棋子跳到第站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第站，又?jǐn)S出反面，其概率為；②棋子先到第站，又?jǐn)S出正面，其概率為..故當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列..以上各式相加，得，獲勝的概率為，失敗的概率.3.【答案】eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2100)))【解析】棋子開始在第0站是必然事件，所以P0＝1.棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為eq\f(1,2)，所以P1＝eq\f(1,2).棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為eq\f(1,2)；②前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為eq\f(1,4)，所以P2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).棋子跳到第n(2≤n≤99)站，包括兩種情形，①棋子先跳到第n－2站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，其概率為eq\f(1,2)Pn－2；棋子先跳到第n－1站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，其概率為eq\f(1,2)Pn－1.故Pn＝eq\f(1,2)Pn－2＋eq\f(1,2)Pn－1(2≤n≤99，n∈N*)．所以Pn－Pn－1＝－eq\f(1,2)(Pn－1－Pn－2)．又因為P1－P0＝－eq\f(1,2)，所以{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)是首項為－eq\f(1,2)，公比為－eq\f(1,2)的等比數(shù)列．Pn－Pn－1＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n.所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))99＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))98＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))99)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))