直線與方程（難點）-2021-2022學年高二數(shù)學期中考試好題匯編（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題01直線與方程（難點）

經(jīng)典基礎題

一、單選題

1.（2020?洪洞縣新英學校（理））直線,經(jīng)過A（2,l）,兩點，那么直線’的傾斜角的取值范圍

為（）

0,—7tuA冗，兀

A.［。,P）B.

444

C」吟71

D.

_4_4

【答案】D

【分析】

根據(jù)直線過兩點，求出直線的斜率，再根據(jù)斜率求出傾斜角的取值范圍.

【解析】

解：直線/的斜率為左=&q=與==1-根2,因為“eR,所以左所以直線的傾斜角的取值范

玉_%22-1

圍是［吟］

故選：D.

【點睛】

本題考查了利用兩點求直線的斜率以及傾斜角的應用問題，屬于基礎題.

2.（2020?山西大附中（文））已知々>0,Z?>0,直線4：（。一1）%+'-1=0,l2：x+2Z?y+l=0,>^14,

則女2+；1的最小值為（）

ab

A.2B.4C.8D.9

【答案】C

【分析】

由4，可求得a+2Z?=l,再由一+；=（—+7］（“+2Z?）=4+—+:，利用基本不等式求出最小值即可.

ab\abJab

【解析】

因為/]_L/2，所以（4一l）xl+lx2b=0,即a+2Z?=l,

因為a>0,b>0,所以2+_L=(2+“g+26)=2+2+絲+色24+2)竺￡=8,當且僅當竺=f,即

ab\ab)ab\abab

a*時等號成立，

24

所以士2+；1的最小值為8.

ab

故選：C.

【點睛】

本題考查垂直直線的性質，考查利用基本不等式求最值，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.

3.(2020?新疆昌吉回族自治州第二中學(理))已知P與。分別為函數(shù)2尤-y-6=0與函數(shù)y=d+i的圖象

上一點，則線段IPQI的最小值為

A.|B.乖C.D.6

【答案】C

【分析】

利用導數(shù)法和兩直線平行性質，將線段IP。I的最小值轉化成切點到直線距離.

【解析】

已知尸與。分別為函數(shù)2x-y-6=0與函數(shù)y=f+i的圖象上一點，

可知拋物線y=f+l存在某條切線與直線2x-y-6=0平行，貝|左=2,

設拋物線y=Y+1的切點為(飛芯+1),則由y'=2尤可得2%=2,

xQ=l,所以切點為(1,2),

則切點(1,2)到直線2x-y-6=0的距離為線段|PQ|的最小值，

則陽小生于=用

故選：C.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，以及點到直線的距離公式的應用，考查轉化思想和計算能力.

4.(2020?永豐縣永豐中學高二期中(理))在下列四個命題中，正確的共有

①坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率；

②直線的傾斜角的取值范圍是；

③若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a；

④若一條直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【分析】

根據(jù)傾斜角與斜率定義與關系進行判斷選擇.

【解析】

由于和x軸垂直的直線的傾斜角為90。，而此直線沒有斜率，故①不正確；

直線的傾斜角的取值范圍是［0』80。），故②不正確；

若一條直線的斜率為tanc,則此直線的傾斜角為左xl80。，keZ,且0°</W180。，故③不正確;

若一條直線的傾斜角為則此直線的斜率不一定為tana,如當。=90。時，tana不存在，故④不正確.

綜上可知，四種說法全部不正確.選A.

【點睛】

本題考查斜率與傾斜角關系，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.

5.（2019-浙江溫州市?高二期中）在平面直角坐標系中，記4為點尸（35%$:1110）到直線〃a+>-2=。的距離,

當a,機變化時，d的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

2

由點到直線的距離表示出d,利用輔助角公式和絕對值的三角不等式化簡得d<l+，即可求出的

y/m2+1d

最大值.

【解析】

由題意，點P到直線〃a+>-2=0的距離為，，

貝ijd|mcoscif+sin?-2[=]而Fin(…)一斗<7^77+2心2

y/m2+1y/m2+1y/m2+1

其中，tm(p=mf

所以當且僅當sin（a+°）=-l,m=0時，d取得最大值,

即"max=3.

故選：c

【點睛】

本題主要考查點到直線的距離公式、三角函數(shù)性質、輔助角公式和絕對值的三角不等式的應用，考查學生

的轉化和計算能力，屬于中檔題.

6.（2019?浙江省柯橋中學高二期中）已知動直線/：依+勿+。-2=0（。＞0,。＞0）恒過點尸（1,〃。且。（4,0）至|動

12

直線/的最大距離為3,則丁+-的最小值為（）

2ac

99

A.-B.-C.1D.9

24

【答案】B

【分析】

由題意可得:可得a+Zwi+c-2=0.又2（4,0）到動直線I的最大距離為3,可得7（4-l）2+m2=3,解得m=0,

從而得至Ua+c=2.再利用"乘1法”與基本不等式的性質即可得出.

【解析】

動直線/:辦+勿+。一2=0（〃＞0,。＞0）恒過點尸（1,相）,:.a+bm-}-c-2=0.

又。（4,0）到動直線I的最大距離為3,

J（4-l）2+/-3,解得m=0.

:.a+c=2.

1211215c2a15以爭】，當且僅當然2〃4時取等號.

貝lllN1］丁+—=彳(。+。)(丁+—)=彳(彳+丁+—+2.

2。c22ac222ac22

故選：B.

【點睛】

本題考查直線方程、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質，考查推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

7.（2019-江蘇徐州市?）直線/1：辰-，-2k+4=0與％軸交于點“，直線/2：》+仔-4k-2=0與，軸交于點汽，

線段的中點為夕，則點P的坐標（x,y）滿足的方程為

A.(x+2y-5)(2%-y)=0B.x+2y-5=0

C.(2x+y+4)(2%+y)=0D.2%+y-4=0

【答案】B

【分析】

先求M,N坐標，再得P點坐標，最后代入選項驗證.

【解析】

4221

由題意得/（2—■-,0）,A^（0,4+—）,因此尸（1—7,2+7）,滿足x+2y—5=0,選B.

kkkk

【點睛】

本題考查中點坐標公式以及動點軌跡，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

8.（2020?上海浦東新?華師大二附中高二月考）唐代詩人李頒的詩《古從軍行》開頭兩句說："白日登山望

烽火，黃昏飲馬傍交河"，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一一"將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從

山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營

所在的位置為3（-2,0）,若將軍從山腳下的點A，；,。1處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+2y=3,則"將軍

飲馬”的最短總路程為（）

AV145rV135n16

333

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，求得點8（-2,0）關于直線x+2y=3的對稱點為C（0,4）,結合兩點間的距離公式，求得忸。長，即

可求解.

【解析】

如圖所示，設點以-2,0）關于直線x+2y=3的對稱點為C（x「3）,

=-1

可得,解得％=。，％=4,即C(0,4)

—+2x&=3

22

則忸C|=，0-3+（4-0）2=警,即"將軍飲馬"的最短總路程為當1.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了直線方程的實際應用問題，其中解答中合理轉化，求得點關于直線的對稱點，結合兩點間

的距離公式求解是解答的關鍵，著重考查轉化思想，以及推理與運算能力.

9.（2020?浙江瑞安中學高二期中）在平面直角坐標系中，定義d（A3）=max｛歸-尤』,回一%|｝為兩點

A（4yJ、B（x2,y2）的"切比雪夫距離"，又設點尸及/上任意一點。，稱"（P，。）的最小值為點P到直線/的“切

比雪夫距離”記作4（尸,/），給出下列四個命題：

①對任意三點A8,C,都有d（C,A）+d（C,3）2d（A,3）；

②已知點P（3,1）和直線/:2x—y-1=。,則"（尸，Z）=|；

③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形；

其中真命題的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【分析】

①討論A,B,C三點共線，以及不共線的情況，結合圖象和新定義，即可判斷；

②設點。是直線y=2%-1上一點,且。（x,2x-l）,可得成20）=?。鹼*一3|,|2-2刈｝,討論|x—3|,|2-2x|的

大小，可得距離d,再由函數(shù)的性質，可得最小值；

③根據(jù)“切比雪夫距離"的定義可判斷出命題的真假.

【解析】

①對任意三點A、8、C,若它們共線，設A（%，%）、B（X2,%）,C（%,%），如圖，結合三角形的相似

可得〃(C,A),d(C,B),d(AB)為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,則d(C,A)+d(C,B)..磯A,8)；

若B,C或A,C對調，可得d(C,A)+d(C,B)..d(A,3)；

若A,B,C不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，如圖,

由矩形CMNK或矩形BMNK,d(C,A)+d(C,B)..d(A,B)；

則對任意的三點A,B,C,都有任意A)+點C,B)..d(A,B),故①正確；

②設點Q是直線y=2x-l上一點，且Q(X,2X-I),

可得d(p,2)="x{|x-3|,\2-2x\},

由|x-3]…|2-2幻，解得-1熟即有或P,Q)，x-3],

當％5時，取得最小值4;；

33

由|x-3|<|2-2x|,解得或x<_l,即有d(P,Q)42x-2|,

4

d(P,。)的范圍是(耳,+8),無最值；

4

綜上可得，P,。兩點的〃切比雪夫距離〃的最小值為殷故②正確；

③由題，到原點。的"切比雪夫距離"的距離為1的點尸(x,y)滿足d(O,P)=max{|x|，M}=l,即J或

x<|y|,

I,顯然點尸的軌跡為正方形，故③正確；

[y=1，

故選：D

【點睛】

本題考查新定義的理解和運用，考查數(shù)形結合思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題.

10.(2021?全國高二課時練習)已知機eR,過定點A的動直線〃a+y=0和過定點8的動直線

x-陽-機+3=。交于點尸，貝!)|PA|+g|P周的取值范圍是()

A.(VW,2A/K)]B.(A/10,A/3()]

C.[A/10,V30)D.即,2啊

【答案】D

【分析】

動直線如+y=0過定點A(。,。)，動直線x-my-m+3=0過定點3(-3,-1),且此兩條直線垂直,因此點P

在以AB為直徑的圓上，|AB|=癡,設刖BP=3貝l||PA|=JHJsine,|PB|=Mcos6>,00[0,y],代入

1PA|+由陽中利用正弦函數(shù)的性質可得結果.

【解析】

動直線〃a+y=o過定點A(0,0),動直線尤-〃沙一加+3=0

即x+3(y+1)=0過定點B(-3,-l),且此兩條直線垂直.

團點P在以AB為直徑的圓上，|48|=爐三=廂，，

設EMBP=e,則1PAi=Msine,1PBi=癡8$夕，00[O,y]

.?.|PA|+V3|PB|=ViOsin6?+730cos6?=2Vi()sin^+y^,

7171715萬

團?；豙0,—],00+yl2][y,—],

711

團sin(0+一)回[不，1],

32

回2幅sin(0+1^l3[廂，2麗],

故選：D.

【點睛】

本題考查直線過定點、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查正弦函數(shù)的性質，考查推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

11.(2021?全國高二課前預習)已知直線I經(jīng)過點M一2，1，+力和點N，則

A.斜率為定值，但傾斜角不確定B.傾斜角為定值，但斜率不確定

C.斜率與傾斜角都不確定D.斜率為一1,傾斜角為135。

【答案】D

【分析】

先根據(jù)斜率公式求斜率，再根據(jù)斜率求傾斜角.

【解析】

由已知，直線的斜率一_4，所以直線的傾斜角為135。.選D.

k———

-2-2

【點睛】

本題考查兩點間斜率公式以及傾斜角與斜率關系，考查基本求解能力，屬基礎題.

12.(2021?江蘇)在平面直角坐標系中，定義d(P,Q)=以一X2I+|yi—y?|為兩點P(xi,yi),Q.(X2,

y2)之間的“折線距離在這個定義下，給出下列命題：

①到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個正方形；

②到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個圓；

③到M(-1,0),N(1,0)兩點的“折線距離”相等的點的軌跡方程是x=0；

④到M(-1,0),N(1,0)兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合是兩條平行線.

其中真命題有

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

試題分析：點尸(X/)到原點的“折線距離"W+N=l,由數(shù)形結合可知點尸(x,y)的集合為邊長為JI的

正方形，所以①正確，②不正確；

設點?(蒼y)到拉(-L0),N(L0)兩點的"折線距離"相等,即|x+l|+M=k-l|+|M，則有卜+1|=卜一1|,

兩邊平方并整理可得x=0,所以③正確；

設點尸(％y)到M(-LO),N(LO)兩點的"折線距離"差的絕對值為1.Ep|(|x+l|+|v|)-(|x-l|+|v|)|=l,

整理可得卜+1|一卜一1|=1,可解得x=±1,為兩條平行線，所以④正確.

綜上可得正確的有①③④共3個，故C正確.

考點：新概念.

二、多選題

13.(2021?全國高二課時練習)(多選)下列說法中正確的是()

A.平面上任一條直線都可以用一個關于羽y的二元一次方程—+By+C=0(A,8不同時為0)表示

B.當C=0時，方程及+By+C=0(A8不同時為0)表示的直線過原點

C.當A=0,3w0,Cw0時，方程Av+By+C=0表示的直線與x軸平行

D.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化

【答案】ABC

【分析】

對于選項A,分aw90°和々=90。兩種情況，將直線方程化為關于羽丫的二元一次方程念+W+C=。(A,B

不同時為0),可知A正確；

對于選項B,將原點。(0,0)代入方程Ar+gy+C=0,可知8正確；

C

對于選項C,將方程及+By+C=o化為y=-有，可知C正確；

對于選項D,當8=0時，方程A+3y+C=0不能化為斜截式，可知。錯誤.

【解析】

對于選項A,在平面直角坐標系中，每一條直線都有傾斜角a,

當aw90°時，直線的斜率％存在，其方程可寫成了=依+"

它可變形為依一丁+人=0，與Ar+3y+C=°比較，

可得A=￡3=—l,C=b,顯然A,3不同時為0,

當&=90。時，直線方程為尤-西=。，與Ax+gy+C=0比較，

可得A=1,B=O,C=-X1,顯然A,8不同時為0,所以此說法是正確的.

對于選項B,當C=0時，方程Ax+8y+C=0(A,B不同時為0),

即樂+為=0,顯然有Ax0+3x0=0,即直線過原點。(0,0).故此說法正確.

c

對于選項C,當A=0,3H0,CN0時，方程Av+3y+C=0可化為y=-工，

B

它表示的直線與X軸平行，故此說法正確.

對于選項D,當8=0時，方程4+3y+C=0不能化為斜截式，故此說法錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

本題考查了直線方程一般式的概念，考查了直線方程的一般式與其它四種形式的互化，屬于基礎題.

14.（2021?江蘇高二專題練習）已知點P是直線3x-4y+5=0上的動點，定點。（1,1）,則下列說法正確的是

()

4

A.線段PQ的長度的最小值為

B.當PQ最短時，直線PQ的方程是3x+4y-7=0

C.當PQ最短時P的坐標為

2

D.線段PQ的長度可能是:

【答案】AC

【分析】

當PQ垂直直線3x-4y+5=0時，PQ最短，即可判斷A、D,設出P坐標，根據(jù)最短使PQ與直線垂直求解

P坐標，即可判斷C,由兩點式求出直線方程，即可判斷B.

【解析】

解：當PQ垂直直線3x-4y+5=。時，PQ最短,

|3-4+5|4

Q到直線的距離為故A正確;

存+425

4\24

故PQ的長度范圍為不+8,故D錯誤；

_DJJD

設P1m，2詈］,則1一即盧4,解得加=《，

I4）kpQ=------=一125

1-m3

故。為故C1E確；

y—1_x—1

此時直線PQ的方程是丁二二丁;，即4x+3y-7=0,故B錯誤,

------1------1

故選：AC.

15.（2021?全國高二課時練習）（多選）定義點「（為,%）到直線/：-+3y+C=0（42+JB、0）的有向距離為

d=Ay劭。:C.已知點片，8到直線［的有向距離分別是4,么，給出以下命題,其中是假命題的是()

VA'+B'.

A.若4-4=0,則直線《丹與直線/平行

B.若4+4=0,則直線耳心與直線/平行

C.若4+4=。，則直線46與直線/垂直

D.若4%<0,則直線4G與直線/相交

【答案】ABC

【分析】

由題意，利用4=%=0,此時4，4都在直線/上，可判斷A,B,C為假命題;

當44<0時，片，尸2在直線的兩側，則直線6舄與直線/相交，可判斷D

【解析】

/\/\7A%]+By,+Cj+C

設點K，￡的坐標分別為(”)，("2)，則4=JA2：B2，豆=.若4-%=0,貝

Ax1+By+CAX+By+C

即x22，所以

^+B-

+By[+C=71^2+By2+C.

若4=4=o,即A^+BM+C=42+B%+C=O,則片，6都在直線/上，此時直線勺鳥與直線/重合，故

選項A,B,C均為假命題.

當44<0時，:，鳥在直線的兩側，則直線耳心與直線/相交，故選項D為真命題.

故選：ABC

16.(2021?全國)平面上三條直線x-2y+l=0,x-l=0,x+6=0,若這三條直線將平面劃分為六個部分，

則實數(shù)k的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

【分析】

三條直線》-2'+1=0/-1=0/+份=0將平面劃分為六個部分轉化為直線工+份=0與直線“2〉+1=0平行

或直線工+矽=。與直線％-1=0平行或者直線》+份=0經(jīng)過直線x-2y+l=0與直線X—1=。的交點(1,1),分

別根據(jù)三種情況可求得結果.

【解析】

因為平面上三條直線X-2y+l=0,x-l=0,x+@=0將平面劃分為六個部分，

所以直線工+0=。與直線x-2y+l=0平行或直線》+0=。與直線％—1=0平行或者直線彳+0=。經(jīng)過直線

x-2y+l=0與直線％—1=0的交點(1,1),

當直線》+外=0與直線x-2y+l=0平行時，

7=4*7*解得左=-2,

1-21

當直線工+分=0與直線尤―1=0平行時，可得左=0,

當直線x+0=0經(jīng)過直線x-2y+l=0與直線x—1=0的交點(LD時，1+左=0,解得k=—1.

所以々=—2或％=0或%=—1.

故選：ABC

藜1優(yōu)選提升題

三、填空題

17.(2021?全國高二單元測試)已知直線y=2x是中NC的平分線所在的直線，若點A8的坐標分別

是(<2),(3,1),則點C的坐標為.

【答案】(2,4)

【分析】

分別求出點A,8關于直線y=2x的對稱點，從而求出BC和AC所在直線方程,聯(lián)立直線方程即可求出點C的

坐標.

【解析】

^^x2=-l

設A(T,2)關于直線y=2x的對稱點為(x,y),貝”*十；，

?--2.一+工

I22

fX=4

解得"C，即對稱點為(4,-2).

[y=-2

回直線BC所在直線方程為y-l=F^x(x-3),化為一般式為3x+y-10=0.

同理可得點8(3,1)關于直線y=2尤的對稱點為(-1,3),

回直線AC所在直線方程為。-2=_]：：勺x(x+",化為一般式為x-3y+10=0.

f3x+y-10=0[x=2/、

由/mn-解得/即。(2,4).

[x-3y+10=0[y=4''

故答案為：（2,4）,

18.（2021?江蘇高二專題練習）已知在矩形A8C。中，A（T,4）,D（5,7）,其對角線的交點E在第一象限內

且到y(tǒng)軸的距離為1,動點尸（X，V）沿矩形的一邊BC運動，則上的取值范圍是.

X

【答案】1―0°'—§口+

【分析】

設E（l,a）,根據(jù)點E是線段AC的中點可得C,再由ADLOC求出a,進而可求出8,由］=人”，且滿足

kOPNkoc^kop<kOB即可得出.

【解析】

解：如圖所示，設E（l,a）.

lJ+.

???點E是線段AC的中點，，4：,則C（6,2a—4）.

a=-----

I2

■.ADYDC,AD-DC=（9,3）?（L2a-11）=9+3（2a-11）=0,解得。=4,/.C（6,4）.

??,?CD為矩形，.?.通=配，即（/+4,%—4）=（6—5,4-7）=（1,-3）,

fx?=—3

?,所以B點坐標為（-3,1）,

1%=1

因為點P在邊BC上運動，所以』=上位，

X

由題圖可知，k°pNk°c或kopWk°B,則'2=彳或'4.

x3x3

故答案為：［-00，_3U+

19.（2021?江蘇高二專題練習）已知點P,Q的坐標分別為（T」），（2,2）,直線/：x+畋+機=。與線段PQ

的延長線相交，則實數(shù)m的取值范圍是.

9

【答案】-3<m<-j

【分析】

先求出PQ的斜率，再利用數(shù)形結合思想，分情況討論出直線的幾種特殊情況，綜合即可得到答案.

【解析】

直線X+,沖+機=0過點

當機=0時，直線化為x=0,一定與PQ相交，所以加工0,

當加片0時，k=--,考慮直線/的兩個極限位置.

tm

。）/經(jīng)過Q,即直線4,則8=彳弁1=9；

⑵/與直線PQ平行，即直線I貝心

因為直線/與PQ的延長線相交，

1132

所以一＜——〈一，即一3＜根＜一一,

3m23

2

故答案為：—3＜m＜——.

20.（2021?全國）如圖，射線OA,OB分別與x軸正半軸成45。和30。角，過點尸（1,0）作直線A8分別交OA,

08于A,8兩點，當?shù)闹悬cC恰好落在直線y=gx上時，則直線的方程是.

【答案】（3+V3）x-2y-3-V3=0

【分析】

先求出射線OA,的方程，喉耳,〃），可得點C的坐標，利用點C在直線y=gx以及心°%

列方程組可得m的值，再求出心.，由點斜式可得直線方程.

【解析】

由題意可得kOA=tan45°=1,k0B=tan（1800-30。）=tan150°=,

所以直線OA的方程：y=x,直線03的方程：y=-2x,

-3

設A（m,機），網(wǎng)一所以A3的中點C絲彳包,與21

由點C在直線y尤上，且ARB三點共線得:

m+n1m-V3n

222

解得:,〃=e，所以

m-0_n-0

iti—1_—1

又尸（1,。）,所以=卜"=忑_、=―2—,

所以直線A3的方程是：、=言叵-1）,即（3+@x-2y-3-6=0,

故答案為：（3+石卜-2了-3-相=0.

21.（2021?江蘇高二課時練習）直線/經(jīng)過點尸（1,2⑹，且分另I］與直線八^x—y+l=。和小底-y—3=0相

交于A,3兩點，若|AB|=4,則直線/的方程為.

【答案】x=l或x-"y+5=0

【分析】

求出直線4和k之間的距離，由|AB|=4可得/與4的夾角為30。，分直線/的斜率存在和直不存在兩種情況,

利用直線間的夾角公式可得答案.

【解析】

直線l:y+1=0和/2：y—3=0之間的距離為d=卜|=2，

x

由A做于C,所以|4。=2,因為|AB|=4,

所以/與乙的夾角為30。，

當直線/的斜率存在時，設為上,貝卜的直線方程為y-26=Mx-l）,

所以tan30。=|卜需解得上=程，則/的直線方程為x-gy+5=0；

當直線/的斜率不存在時，則/的直線方程為x=l,

與直線小后-y+l=0和&：岳-〉-3=0的交點為卜,6+1）和（1,有-3）,

因為兩點間的距離為Jo+（l+3『=4=|A@,符合題意，

所以/的直線方程為工_石,+5=0或］=］.

故答案為：x-"y+5=0或尤=1.

22.（2021?全國高二課時練習）如圖所示，在平面直角坐標中，已知矩形ABCD的長為2,寬為1,邊AB、

AD分別在x軸、丁軸的正半軸上，點A與坐標原點重合，將矩形折疊，使點A落在線段。C上，若折痕所在

直線的斜率為上,則折痕所在的直線方程為.

【答案】2kx-2y+k2+l=0（-2<k<0）

【分析】

因為折疊的過程中，點A落在線段DC上，特別的如果折疊后AD重合，這時折痕所在的直線斜率為0,然

后根據(jù)A點和對折后的對應點關于直線折痕對稱，即可求出折痕所在的直線的方程.

【解析】

當左=0時，此時A點和。點重合，折痕所在的直線的方程y=g,

當上W0時，將矩形折疊后點A落在線段。C上的點為G（a,l）,（0<a<2）,

所以A與G關于折痕所在的直線對稱，由后”左=-1,即\%=一1,解得：

a

故折痕所在的直線的方程.

G（-左,1）（-2（人<0）,從而折痕所在的直線與OG的交點坐標為

折痕所在的直線方程為y-g=火[+3],

1

即y=kx+-+—（<-2<k<0）,

綜上所述：折痕所在的直線的方程為：2kx-2y-k2+l=0（-2<k<0）.

故答案為：2fct-2y-/+l=0（-2（左<0）.

【點睛】

本題主要考查了點關于線段對稱問題，考查了直線方程的求法，考查了兩直線垂直關系的應用，屬于中檔

題

23.（2021?江蘇高二月考）數(shù)學家華羅庚曾說："數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微."事實上，很多代數(shù)問題

可以轉化為幾何問題加以解決.例如，與，（尤”）2+0-勿2相關的代數(shù)問題,可以轉化為點A（x,y）與點

8（。力）之間的距離的幾何問題.結合上述觀點，函數(shù)"》）=隨=,的值域為_____.

COSX+1V4_

【答案】即

【分析】

將函數(shù)/。）=陋ciny已+1的值域轉化為求直線斜率取值范圍，數(shù)形結合即可求解.

COSX+1

【解析】

如圖所示：設單位圓。上的一點為尸（cosx,sinx）,點A（-L,—l）,3（1,0）,c[cosjsin￡|

則〃尤）=也二表示直線Bl的斜率，因為

COSX+1V4_

故當尸與B重合時，的斜率為了（0）=；

當尸與C重合時，上4的斜率最大值為=1

所以Ax）的值域為1:,1.

故答案為：[pl

22

24.（2021?全國高三專題練習）已知實數(shù)元1、元2、%、為滿足：玉2+yJ=i,x2+y^=1,XyX2+yxy2=—,

則區(qū)分二1+其胃臼的最大值為

V2V2

【答案】V2+V3

【分析】

設A(xi,yi),B(X2,y2),0A=(xi,yi),0B=(x2,y2),由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標表示,

|尤1+%-1||無2+%-1

可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1,的幾何意義為點A,B兩點到直線x+y-1=0

00

的距離山與ch之和，由兩平行線的距離可得所求最大值.

【解析】

設A(xi,yi),B(X2,yz),

OA=(xi,yi),OB=(X2,y2),

由xF+yaui,X22+y22=1；xix2+yiy2=,

可得A,B兩點在圓x2+y2=l上，

口一一1

且OA?08=lxlxcos0AOB=—,

即有13AoB=60°,

即三角形OAB為等邊三角形,

AB=1,

匠+習+邑的幾何意義為點A,B兩點

V2V2

到直線x+y-1=0的距離出與ch之和，

顯然A,B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=l平行,

可設AB：x+y+t=O,(t>0),

\t\

由圓心。到直線AB的距離d=[,

可得解得t=1,

V22

即有兩平行線的距離為1+*=3+6,

收2

即+民+/T.的最大值為母

故答案為血+g.

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標表示和定義，以及圓的方程和運用，考查點與圓的位置關系，運用點到直線的

距離公式是解題的關鍵，屬于難題.

四、解答題

25.(2020?江蘇省漣水中學)已知直線。kx~y+l+2k=O(kSR).

(1)證明：直線/過定點；

(2)若直線/不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍;

(3)若直線/交x軸負半軸于點4交y軸正半軸于點B,MOB的面積為S(。為坐標原點)，求S的最小值,

并求此時直線/的方程.

【答案】(1)證明見解析；(2)k>0；(3)SmM=4,此時直線/的方程為x—2y+4=0.

【分析】

分析：(1)直線I的方程可化為y=k(x+2)+1,直線1過定點(-2,1)；(2)要使直線I不經(jīng)過第四象限,

則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負數(shù)，解出k的取值范圍;

(3)先求出直線在兩個坐標軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值.

【解析】

⑴證明:直線/的方程可化為k(x+2)+(l—y)=0,

x+2=0,

令解得

所以無論k取何值，直線/總過定點(一2,1).

⑵直線方程可化為y=kx+l+2k,

當上0時，要使直線不經(jīng)過第四象限,

k>0,

則有解得k>0；

l+2k>0,

當k=0時，直線為y=l,符合題意.

綜上，k的取值范圍是k20.

⑶依題意得A(一片4,0),8(0,l+2k),且1k1

k1+2Q0,

解得k>o.所以

22k2k

=-[4Z:+-+4|>-x(2x2+4)=4,

21k)2

"="成立的條件是4/=；此時左=g,所以SmM=4,此時直線/的方程為x—2y+4=0.

K2

【點睛】

關鍵點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意"拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中"正"（即

條件要求中字母為正數(shù)）、"定"（不等式的另一邊必須為定值）、"等"（等號取得的條件）的條件才能應用，否則

會出現(xiàn)錯誤.

26.（2020,浙江高二期中）已知兩條直線4：3x-y-2=O,:x+5y-22=。相交于點A.

（1）求點A的坐標;

（2）在6上取點。（7,3）,過點C作直線,交直線4于點B（8在A的下方），若AABC的面積為8,求直線/的

方程.

【答案】⑴（2,4）；（2）x-3y+2=0.

【分析】

（1）聯(lián)立直線4與4的方程，解方程組即可求解;

（2）設點8坐標為O,3t-2）,利用三角形面積可求出點3到直線'的距離d,再利用點到直線的距離公式

列方程可得f的值，由點3,C的坐標即可得直線/的方程.

（1）將兩直線方程聯(lián)立得,

3x—y—2=0x=2

,解得

x+5y—22=0y=4

所以點A的坐標為（2,4）；

（2）由題意可知點3在直線4上，設點8坐標為3,-2）,

根據(jù)兩點間的距離公式可得，|AC|=J（7一2）?+（3一4）2=屈,

設點8到直線4的距離為d，

貝,l2:x+5y-22=0,

所以"端，

根據(jù)點到直線的距離公式可得：力+5（3展）一22|,即|16?2|二母,

V26126V26

所以/=1或，=3,

因為點3在A的下方，所以，=1,點3坐標為（U）,

所以直線/的斜率為：左=3-若1=；1，

所以直線/的方程為>一1=；（》一1）即x-3y+2=0.

27.（2020?福建省南安市柳城中學高二月考）過點P（3,2）的直線/與x軸和y軸正半軸分別交于4B.

（1）若P為AB的中點時，求/的方程；

（2）若|E4H最小時,求/的方程;

（3）若AAOB的面積S最小時，求/的方程.

【答案】（1）2x+3y—12=0；（2）x+y-5=0：（3）2x+3_y—12=0.

【分析】

（1）根據(jù)中點坐標求出A,8坐標，直接寫出直線的截距式方程，再轉化為一般式方程；

（2）設出直線的點斜式方程，表示出A,2坐標，利用兩點間距離公式先求解出|尸山」尸同，結合基本不等式

求解出4Hp用取最小值時斜率的取值，由此可求/的方程；

（3）設出直線的截距式方程，根據(jù)點尸（3,2）在直線上得到截距0,6滿足的關系式，再根據(jù)基本不等式可求必

的取值范圍，由此可求S取最小值時“力的值，則直線/的方程可求.

【解析】

⑴設A（a,0）,B（O,b）,

?.■尸（3,2）為AB的中點,

.?.4（6,0）,8（0,4）,

二由截距式得/的方程為：g+V=l，即2x+3y-12=。；

64

（2）設所求直線的方程為y-2=耳彳-3）,由題意知k<0,

2

令I=0,可得y=2—3左，令y=0,可得％=3——,

k

即?3一號,0）,3（0,2—3人），

=圖2+2?=拒』PB[=^32+（3k）2=49嚴+9，

=Jg+4）（9+9.2）=（2+36.2+g）>12，

當且僅當左2=1,即％=-1時取等號，I刑忖同取最小值為12,

即直線/的方程為x+y-5=o；

（3）由題意設直線的截距式方程為5=l（a,b>0）,

???直線過尸（3