綜合訓(xùn)練（2）大題訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（2））1．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且的面積為．（1）求；（2）若，的角平分線與邊相交于點，延長至點，使得，求．2．已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求滿足的正整數(shù)的最小值．3．如圖所示，在四棱錐中，，，，，是邊的中點，異面直線與所成角為．（1）在平面內(nèi)找一點，使得直線平面，并說明理由；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．4．已知橢圓過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，過，作直線的垂線，垂足分別為，，點為線段的中點，為橢圓的左焦點．求證：四邊形為梯形．5．已知函數(shù)，其中（1）當時，若在區(qū)間，上的最小值為，求的取值范圍；（2）若對于任意，恒成立，求的取值范圍．6．某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動，該學(xué)校準備了100個相同的箱子，其中第，2，，個箱子中有個數(shù)學(xué)題，個物理題．每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結(jié)束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．（1）已知學(xué)生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數(shù)學(xué)題，1個物理題，且甲答對每一個數(shù)學(xué)題的概率為，答對每一個物理題的概率為．①求學(xué)生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知，學(xué)生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時，的值．（2）若學(xué)生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（2））1．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且的面積為．（1）求；（2）若，的角平分線與邊相交于點，延長至點，使得，求．【解答】（1）因為的面積為，所以，故，即，由為三角形內(nèi)角得，；（2）設(shè)，則，，因為為的角平分線，由角平分線性質(zhì)得，，所以，，，因為，中，，，，由余弦定理得，，故，中，，，所以，又，在中，由余弦定理可得，．2．已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求滿足的正整數(shù)的最小值．【解答】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，，，解得，，．（2）由（1），可知，則，，兩式相減，可得，，，故，，不等式即為，即，解得，滿足的正整數(shù)的最小值為6．3．如圖所示，在四棱錐中，，，，，是邊的中點，異面直線與所成角為．（1）在平面內(nèi)找一點，使得直線平面，并說明理由；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）延長交直線于點，點為的中點，，，，，即．四邊形為平行四邊形，即．，，，平面，平面，，平面，平面，故在平面內(nèi)可以找到一點，使得直線平面．（2）如圖所示，，異面直線與所成的角為，，平面．，．因此是二面角的平面角，大小為，．不妨設(shè)，則．，0，，，3，，，6，，，3，，，3，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，可得：．令，則，，，2，．設(shè)直線與平面所成角為，則，．4．已知橢圓過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點，過，作直線的垂線，垂足分別為，，點為線段的中點，為橢圓的左焦點．求證：四邊形為梯形．【解答】（1）由題意，，解得，，．橢圓的方程為；（2）證明：直線過定點，設(shè)，，，，聯(lián)立，得．則△，且，，由已知可得，，，則，，若，則，即，，即，也就是，即，即，此時顯然成立．，由圖可知與相交，四邊形為梯形．5．已知函數(shù)，其中（1）當時，若在區(qū)間，上的最小值為，求的取值范圍；（2）若對于任意，恒成立，求的取值范圍．【解答】（1）函數(shù)的定義域為；當時，，；令，解得或；①當，即時，在，上單調(diào)遞增；在，上的最小值是（1），符合題意；②當，即時，在，上的最小值是（1），不合題意；③當，即時，在，上單調(diào)遞減；在，上的最小值是（e）（1），不合題意；綜上所述，的取值范圍是，；（2）令，則；只需在上單調(diào)遞增即可；；當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，只需在上恒成立；只需；；對于函數(shù)，過定點，對稱軸為，只需△，解得；綜上所述，的取值范圍是，．6．某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競賽活動，該學(xué)校準備了100個相同的箱子，其中第，2，，個箱子中有個數(shù)學(xué)題，個物理題．每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結(jié)束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．（1）已知學(xué)生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數(shù)學(xué)題，1個物理題，且甲答對每一個數(shù)學(xué)題的概率為，答對每一個物理題的概率為．①求學(xué)生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知，學(xué)生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時，的值．（2）若學(xué)生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．【解答】（1）①記“學(xué)生甲第一輪活動獲得一個獎品”為事件，則（A）．②學(xué)生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為，令，，，，當時，，當時，，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，，即時，，學(xué)生甲在輪活動中獲得獎品的個數(shù)，由，解得，理論上至少要進行7輪游戲，此時，．（2）設(shè)選出的是第個箱子，連續(xù)三次取出題目的方法數(shù)為，設(shè)數(shù)學(xué)題為，物理題為，第