2023屆北京市西城區(qū)第三十九中學數(shù)學高三第一學期期末統(tǒng)考試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營造良好的學習氛圍,向班內(nèi)同學征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的,班主任對三人進行了問話,得到回復如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李2.若復數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.3.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.4.在中,已知,,,為線段上的一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.6.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個元素,則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.7.點為的三條中線的交點,且,,則的值為()A. B. C. D.8.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.29.已知復數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.310.若復數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復數(shù)為 D.為純虛數(shù)11.已知△ABC中,.點P為BC邊上的動點,則的最小值為()A.2 B. C. D.12.已知點P不在直線l、m上,則“過點P可以作無數(shù)個平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.利用等面積法可以推導出在邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為定值,類比上述結(jié)論,利用等體積法進行推導,在棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和也為定值,則這個定值是______14.在直角坐標系中,某等腰直角三角形的兩個頂點坐標分別為,函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點,則的解析式為___________.15.給出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,結(jié)果為的式子的序號是_____.16.正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當弦的長度最大時,的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(mR)的導函數(shù)為.(1)若函數(shù)存在極值,求m的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),對任意mR,若關(guān)于x的不等式在(0,)上恒成立,求正整數(shù)k的取值集合.18.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點F的直線l交橢圓C于D,E兩點(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標準方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.19.(12分)已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,證明:20.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點,點在第一象限,為左頂點,為下頂點,交軸于點,交軸于點.(1)求橢圓的標準方程;(2)若,求點的坐標.21.(12分)在三角形中,角,,的對邊分別為,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.22.(10分)如圖,四棱錐中,底面,,點在線段上,且.(1)求證:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意,分別假設(shè)一個正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對應(yīng)“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對應(yīng)“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對應(yīng)“細節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對應(yīng)“入班即靜”,但與小王的錯誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,所以得出“細節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【點睛】本題考查推理證明的實際應(yīng)用.2、A【解析】

由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)可得復數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運算.3、A【解析】

求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標準方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.【點睛】本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標運算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,則、、,為線段上的一點,則存在實數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當且僅當時,等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個關(guān)鍵點在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計算能力,屬于難題.5、A【解析】

化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解?!驹斀狻亢瘮?shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。6、B【解析】

由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

可畫出圖形,根據(jù)條件可得,從而可解出,然后根據(jù),進行數(shù)量積的運算即可求出.【詳解】如圖:點為的三條中線的交點,由可得:,又因,,.故選:B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質(zhì),向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運算及向量的數(shù)量積的運算,考查運算求解能力,屬于中檔題.8、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】,故,故選A.10、D【解析】

將復數(shù)整理為的形式,分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯誤;,錯誤;,錯誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項:【點睛】本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的分類的知識,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

以BC的中點為坐標原點,建立直角坐標系,可得,設(shè),運用向量的坐標表示,求得點A的軌跡,進而得到關(guān)于a的二次函數(shù),可得最小值.【詳解】以BC的中點為坐標原點,建立如圖的直角坐標系,可得,設(shè),由,可得,即,則,當時,的最小值為.故選D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標表示,考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法,考查運算能力,屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】點不在直線、上,若直線、互相平行,則過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過點可以作無數(shù)個平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

計算正四面體的高,并計算該正四面體的體積,利用等體積法,可得結(jié)果.【詳解】作平面,為的重心如圖則,所以設(shè)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為則故答案為:【點睛】本題考查類比推理的應(yīng)用,還考查等體積法,考驗理解能力以及計算能力,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

結(jié)合題意先畫出直角坐標系,點出所有可能組成等腰直角三角形的點,采用排除法最終可確定為點,再由函數(shù)性質(zhì)進一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點,其中點與已有的兩個頂點橫坐標重復,舍去;若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標必然大于或小于,不可能為,因此點也舍去,只有點滿足題意.此時點為最大值點,所以,又,則,所以點,之間的圖像單調(diào),將,代入的表達式有由知,因此.故答案為:【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題15、①②③【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進行化簡即可求解.【詳解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案為:①②③【點睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用,屬于中檔試題.16、【解析】

由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出,即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接,如下圖所示:設(shè)球心為,則當弦的長度最大時,為球的直徑,由向量線性運算可知正方體的棱長為2,則球的半徑為1,,所以,而所以,即故答案為:.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算,正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2){1,2}.【解析】

(1)求解導數(shù),表示出,再利用的導數(shù)可求m的取值范圍;(2)表示出,結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值,再結(jié)合導數(shù)及基本不等式求出的最值,從而可求正整數(shù)k的取值集合.【詳解】(1)因為,所以,所以,則,由題意可知,解得;(2)由(1)可知,,所以因為整理得,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,又因為,所以存在,使得,設(shè),是關(guān)于開口向上的二次函數(shù),則,設(shè),則,令,則,所以單調(diào)遞增,因為,所以存在,使得,即,當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,因為,所以,又由題意可知,所以,解得,所以正整數(shù)k的取值集合為{1,2}.【點睛】本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用,利用導數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導數(shù)的零點問題,恒成立問題要逐步消去參數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題求解,適當構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵,本題綜合性較強,難度較大,側(cè)重考查數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).18、(1)(2).【解析】

(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標之間的關(guān)系,聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可求.【詳解】解:(1)設(shè)焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設(shè)l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進行求解,面積問題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).19、(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(2)見解析【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導函數(shù),由是函數(shù)的極值點可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域,并根據(jù)導函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.(2)當時,.代入函數(shù)解析式放縮為,代入證明的不等式可化為,構(gòu)造函數(shù),并求得,由函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函數(shù)的最小值,由對數(shù)式變形化簡可證明,即成立,原不等式得證.【詳解】(1)函數(shù)可求得,則解得所以,定義域為,在單調(diào)遞增,而,∴當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,此時是函數(shù)的極小值點,的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為(2)證明:當時,,因此要證當時,,只需證明,即令,則,在是單調(diào)遞增,而,∴存在唯一的,使得,當,單調(diào)遞減,當,單調(diào)遞增,因此當時,函數(shù)取得最小值,,,故,從而,即,結(jié)論成立.【點睛】本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù),并根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用導數(shù)證明不等式恒成立,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,屬于難題.20、(1);(2)【解析】

(1)由題意得,求出,進而可得到橢圓的方程;(2)由(1)知點,坐標,設(shè)直線的方程為,易知,可得點的坐標為,聯(lián)立方程,得到關(guān)于的一元二次方程,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,可用表示的坐標,進而由三點共線,即,可用表示的坐標,再結(jié)合,可建立方程,從而求出的值,即可求得點的坐標.【詳解】(1)由題意得

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