江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

南京師大附中2023屆高二年級期末考試數(shù)學(xué)（總分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)即可作答.【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D2.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合，再根據(jù)并集的定義即可得解.【詳解】，，所以.故選：C.3.設(shè)某中學(xué)的女生體重（單位：）與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為.若該中學(xué)女生的平均身高為，則該中學(xué)女生的平均體重的估計值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將代入回歸直線方程，可得出該中學(xué)女生的平均體重的估計值.【詳解】將代入回歸直線方程得，因此，該中學(xué)女生的平均體重的估計值是.故選：A.4.設(shè)與均為單位向量，它們的夾角為.若，則的范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】運用數(shù)量積求模的方法求解.【詳解】依題意有：，即，又，；故選：B.5.設(shè)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分別寫成以5,8為底的對數(shù)，再由指數(shù)性質(zhì)比較真數(shù)大小即可.【詳解】因為，所以，故，即，因為，而，所以，故，綜上，故選：D6.現(xiàn)有5名同學(xué)去3個養(yǎng)老院參加公益活動，每名同學(xué)只去1個養(yǎng)老院，每個養(yǎng)老院至少安排1名同學(xué)，則不同安排方案的種數(shù)為（）A.25B.40C.150D.240【答案】C【解析】【分析】按照和二種方法分組，再排列即可.【詳解】依題意，可以按照和2,2,1二種方法分組：按照3,1,1分組有種方法；按照2,2,1分組有種方法，一共有種方法；故選：C.7.設(shè)函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出利用奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，從而利用奇偶性、單調(diào)性解不等式即可得解.【詳解】因為，其定義域為，所以，故為奇函數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以在上單調(diào)遞增，故由得，即，所以，解得.故選：D.8.設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為是與軸的交點，.過此拋物線上一點作直線的垂線，垂足記為點與相交于點，若，則點到軸的距離為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系確定，并確定相似比，再根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】作圖如下由得，又因為為，的中點，所以為的三等分點，且，又因為，所以，且，所以，不妨設(shè)，且在第一象限，，，所以，因為點在拋物線上，所以，所以根據(jù)相似關(guān)系，即點到軸的距離為.故選：B.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.甲?乙兩地四月7日至14日的最高氣溫如圖所示，下列說法中正確的是（）A.乙地在這8日內(nèi)最高氣溫的極差為B甲?乙兩地12日溫差最大C.甲地這8日平均氣溫為D.甲地的75百分位數(shù)是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)所給氣溫折線圖，計算極差，平均值，百分位數(shù)即可得解.【詳解】由折線圖可知，乙地在這8日內(nèi)最高氣溫的極差為，故A錯誤；由圖可知，甲?乙兩地12日溫度分別達到最高、最低，溫差最大，故B正確；甲地這8日平均氣溫為，故C正確；因為，所以數(shù)據(jù)由小到大排列的第6與第7位的平均值即為75百分位數(shù)，故D正確.故選：BCD10.已知為各項為正數(shù)的等比數(shù)列，，.記是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列的公比為2B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項和為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算得公比，即可求解等比數(shù)列的通項公式，即可判斷AC,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可判斷BD．【詳解】對于A：已知數(shù)列為各項為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，解得；故A正確；對于B：由條件得：，所以，故也為等比數(shù)列，且公比為4，故，，所以，故B正確；對于C：由于（常數(shù)），故C正確；對于D:，故，故D錯誤．故選：ABC．11.若函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)可能（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有最小值，無最大值D.有最大值，無最小值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷.【詳解】因為，則，當(dāng)時，因為在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，無最值；當(dāng)時，令，解得，因在上單調(diào)遞減，則所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，有最小值，無最大值；綜上所述：在區(qū)間內(nèi)可能單調(diào)遞減，有最小值，無最大值.故選：BC.12.如圖，圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，球與母線，分別切于點，.若是邊長為2的等邊三角形，為圓錐底面圓的中心，為圓的一條直徑（與不重合），則下列說法正確的是（）A.球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為2：3B.平面截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線C.四面體的體積的取值范圍是D.若為球面和圓錐側(cè)面的交線上一點，則最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)球的表面積公式以及圓錐側(cè)面積公式即可判斷A，根據(jù)平面，結(jié)合圓錐曲線的性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)錐體的體積公式即可判斷C，根據(jù)垂直關(guān)系，結(jié)合勾股定理以及基本不等式即可判斷D.【詳解】連接，正內(nèi)切圓即為球的截面大圓，球心在線段上，為邊長為2的等邊三角形，所以，則球的半徑，所以球的表面積，圓錐的側(cè)面積，球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為，故A正確；,所以，是邊，的中點，，平面，平面，平面，平面截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線，故B正確；由題意可得四面體被平面截成體積相等的兩部分，設(shè)到平面的距離為，即,，故C錯誤；依題意，動點的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，由，是邊，的中點，可得，，，則有，即，因此，由均值不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，故D正確．故選：ABD．第II卷（非選擇題共90分）三、填空題（本共大題共4小題，每小顧5分，共20分）13.若，則的值等于______.【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正切公式可求出的值.【詳解】因為，，故答案為：【點睛】本題考查兩角差的正切公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，求得參數(shù)r的值，即可求得答案.【詳解】由題意的展開式的通項為，令，故展開式中的常數(shù)項為，故答案為：6015.現(xiàn)有兩個罐子，1號罐子中裝有2個紅球?1個黑球，2號罐子中裝有3個紅球?1個黑球.現(xiàn)先從1號罐子中隨機取出一個球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解作答.【詳解】記1號罐子中取出紅球的事件為，取出黑球的事件為，從2號罐子中取出紅球的事件為，顯然互斥，，所以.故答案為：16.若存在實數(shù)使得，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】由已知得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)等號成立的條件可得答案.【詳解】由已知得，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，可得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，此時的值為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.已知各項不為零的數(shù)列滿足：.（1）求，并求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由，兩邊同除以，得，從而可知數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，可求數(shù)列的通項公式，進而可得答案；（2）根據(jù)，結(jié)合（1），將通項裂項可得，求和后可得結(jié)論．【小問1詳解】因為，所以，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以，；【小問2詳解】，所以所以.18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）求周長的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用正弦定理結(jié)合條件求解即得；（2）運用余弦定理和基本不等式求解.小問1詳解】由正弦定理，可知，整理得，因為，所以，因為，所以，所以，又因為，所以，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理，得，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時取得等號，所以周長的最大值為；綜上，，周長的最大值為.19.“總要來趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多萬，居全省第一.南京的旅游資源十分豐富，既有中山陵?夫子廟?玄武湖?南京博物院等傳統(tǒng)景區(qū)，又有科巷?三七八巷?德基廣場等新晉網(wǎng)紅景點.（1）如果隨機訪問了50名外地游客，所得結(jié)果如下表所示：首選傳統(tǒng)景區(qū)首選網(wǎng)紅景點總計男性2030女性1220試判斷是否有的把握認(rèn)為是否首選網(wǎng)紅景點與性別有關(guān)；（2）根據(jù)互聯(lián)網(wǎng)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，外地游客來南京旅游首選傳統(tǒng)景區(qū)的概率是0.6，首選網(wǎng)紅景點的概率是0.4.如果隨機訪問3名外地游客，他們中首選網(wǎng)紅景點的人數(shù)記為，求的分布列和期望.附：（其中.0.050.100.0013.8412.70610.828【答案】（1）有（2）分布列見解析，1.2【解析】【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，再按照公式計算；（2）隨機變量X服從二項分布，根據(jù)二項分布求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】提出假設(shè)：是否選擇網(wǎng)紅景點與性別沒有關(guān)系.由題意，補全列聯(lián)表得首選傳統(tǒng)景區(qū)首選網(wǎng)紅景區(qū)合計男性201030女性81220合計282250根據(jù)公式求得，因為當(dāng)成立時，的概率約為0.1，所以有的把握認(rèn)為，是否首選網(wǎng)紅景點與性別有關(guān)；【小問2詳解】由題意知，隨機變量服從二項分布，則的分布列為：，，，，，的分布表為：01230.0640.2880.4320.216所以的期望值；綜上，是否首選網(wǎng)紅景點與性別有關(guān)；的期望值.20.如圖，在四棱臺中，平面，四邊形為菱形，.（1）證明：；（2）點是棱上靠近點的三等分點，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，結(jié)合菱形對角線互相垂直，得到線面垂直，證明出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的大小.【小問1詳解】四棱臺中，延長后交于一點，故共面，因為平面平面，故，連接，因底面四邊形為菱形，故，因為平面，故平面，因為平面，所以；【小問2詳解】過點作的垂線交與點，以作為軸，以分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，由于，故，由于點是棱上靠近點的三等分點，故，則，則，記平面的法向量為，則，令，則，即..平面的法向量可取為，則由圖知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.21.已知雙曲線經(jīng)過點，且離心率為2.（1）求的方程；（2）過點作軸的垂線，交直線于點，交軸于點.設(shè)點為雙曲線上的兩個動點，直線的斜率分別為，若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；（2）設(shè)，方法一：分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求得，再根據(jù)求出的關(guān)系，從而可得直線過定點，進而可得出答案.方法二：可設(shè)直線方程為，由可得，再根據(jù)求出，從而可得直線過定點，進而可得出答案.【小問1詳解】由題意得，解得，所以的方程為；【小問2詳解】由題意，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，設(shè)，方法一：①若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，消去可得，且，且，，整理可得，，化簡得，即，因為直線不過點，所以，所以，即，所以直線的方程為，恒過定點，②若直線斜率不存在，則，，解得，所以直線的方程為，過定點，綜上，直線恒過定點，設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，.方法二：因為直線不過點，所以可設(shè)直線方程為，由可得，即，，得，等式左右兩邊同時除以，得，，，解得，所以直線方程為，即，恒過定點，下同法一.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.22.已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，存在滿足，且，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后直接根據(jù)b的臨界情況分類討論即可；（2）方法一：通過條件轉(zhuǎn)化后構(gòu)造，求導(dǎo)后分類討論，舍去，時，二次求導(dǎo)，取，，通過放縮證明必有，從而存在，從而求出范圍；方法二：通過條件轉(zhuǎn)化得到，然后換元令，轉(zhuǎn)化為在上有解，通過求導(dǎo)與分類討論進而求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，①當(dāng)時，對任意恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；②當(dāng)時，令，得，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；綜上，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.【小問2詳解】方法一：當(dāng)時，，因為，所以，又因為，不妨設(shè)，所以.令，則問題轉(zhuǎn)化為在上有解.注意到，①當(dāng)，即時，對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，在上無解，不符題意，舍去..②當(dāng)，即時，設(shè)，則，即上單調(diào)遞增，所以，從而在上單調(diào)遞減.因為，所以存在.從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.取，令，設(shè)恒成立，所以，從而，即，因為，所以，所以.此時因