第06講 超幾何分布（教師版）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）

第06講超幾何分布

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，理

解超幾何分布與古典概型之間的關(guān)

系；

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能解決數(shù)學(xué)中的超幾何概率的相關(guān)

2.根據(jù)超幾何分布概率模型的特點(diǎn)，會(huì)

問(wèn)題，能建立超幾何概型解決實(shí)際問(wèn)題.

求超凡何概型的分布列、期望、方差；

3.在實(shí)際問(wèn)題中能用超幾何概型解決實(shí)

際問(wèn)題.

冤知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)

超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則尸(X=A)

「k「n-k

=..M一,上=o,1,2,m,其中機(jī)=min{M,n],且“WMM<N,n,M,NGN*,

CN

即如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表形式

X01m

廠(chǎng)0y^n—0z^?lz~?w—1

P

品Ga

則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

【微點(diǎn)撥】1.若X服從參數(shù)為MM,〃的超幾何分布，則E(X)=節(jié).

2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)，超幾發(fā)布的特

征是：

(1)考察對(duì)象分兩類(lèi)；

(2)已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；

（3）從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的概率分布.，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品，

摸不同類(lèi)別的小球概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.

3.超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別：

Q）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；

（2）超幾何分布是“不放回”抽取，而二項(xiàng)分布是“有放回''抽?。í?dú)立重復(fù)）；

（3）當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.

【即學(xué)即練1】下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（）

A.將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為X

B.從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為X

C.某射手的射擊命中率為0.8,現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為X

D.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取

的次數(shù)為X

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)超幾何分布的定義可判斷得選項(xiàng).

【詳解】

解：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

故選：B.

【即學(xué)即練2】從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，則取得次品

數(shù)為1的概率為（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.

【答案】荽12

【解析】

【分析】

設(shè)隨機(jī)變量X表示取出次品的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其中N=15.M=2.〃=3,根據(jù)

超幾何分布的概率計(jì)算公式直接求解即可.

【詳解】

設(shè)隨機(jī)變量X表示取出次品的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其中N=15.例=2.〃=3,

C'C212

它的可能的取值為0，1,2,相應(yīng)的概率為P（X=1）=三*=蓑

故答案為：浮12.

【即學(xué)即練3】下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有.（填序號(hào)）

①在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；

②從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)

數(shù)；

③一名學(xué)生騎自行車(chē)上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈數(shù)為隨機(jī)變量X.

【答案】①②

【解析】

【分析】

根據(jù)超幾何分布模型定義逐個(gè)分析即可求出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)超幾何分布模型定義可知①中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.②中隨機(jī)變量X服從超幾

何分布.而③中顯然不能看作?個(gè)不放回抽樣問(wèn)題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.

故答案為：①②.

【即學(xué)即練4】袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球，這些球除顏色不同外其余完全相同，從中無(wú)放

回地任取5個(gè)，取出幾個(gè)紅球就得幾分，則平均得分.

【答案】1.5或士

2

【解析】

【分析】

由X服從超幾何分布可得.

【詳解】

用X表示所得分?jǐn)?shù)，則X也是取得的紅球數(shù)，X服從超幾何分布，

于是E（X）=〃?絲=5x2=1.5.

、）N10

故答案為：1.5

【即學(xué)即練5】一個(gè)箱子里裝有大小相同、質(zhì)地均勻的紅球3個(gè)、白球2個(gè)，從中隨機(jī)摸出

3個(gè)球，設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為則E（?=,.

【答案】?95Q

【解析】

【分析】

分析可得《的所有可能取值為123,根據(jù)超幾何分布的概率公式分別解得

P（4=1）,P仁=2）,P（J=3）,再由期望公式和方差公式求解即可.

【詳解】

由題意知的所有可能取值為1,2,3,且

2

所以E⑹=1*+2*|+3，奈29=(11)x^+(2-目919

33.2x—=—,

551025

99

故答案為:g;—

【點(diǎn)睛】

本題考查超幾何分布的應(yīng)用，考查求離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【即學(xué)即練6】盒子中裝有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中紅球5個(gè)，黑球3個(gè)，若取

到紅球記2分，取到黑球記1分，現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)，記總分為g,P4=4)=,

E?=.

15273

【答案】石文

【解析】

歲的所有可能取值為3,4,5,6,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出產(chǎn)(4=4),EC).

【詳解】

盒子中裝有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中紅球5個(gè)，黑球3個(gè)，

取到紅球記2分，取到黑球記1分，現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)，記總分為九

則4的所有可能取值為3,4,5,6,

G=_L

%=3)=

Cl56

胭=4)=等吟，

2

P(J=5)=*C'C=J30

C；56

P("6)哈q,

C8JO

砥=3」+44+5盤(pán)+62=2

5656565656

故答案為：三15，告273

5656

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查超兒何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練7】袋中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球.從中無(wú)放回地任取5個(gè)，取到幾個(gè)紅球就得幾

分.問(wèn)平均得幾分？

【答案】15

【解析】

【分析】

由題可得X服從超幾何分布，進(jìn)而可得分布列，然后利用期望的公式即得.

【詳解】

用X表示得分?jǐn)?shù)，則X也是取到的紅球個(gè)數(shù)，X服從超幾何分布，X可取0.123,

...P（X=0）=萼$，P（x=l）=等$，P（x=2）=等后，

C101乙C10CIOIN

所以E（X）=0x-t+lx3+2x』+3x-L=更=1.5,

V'1212121212

，平均得L5分.

【即學(xué)即練8】從4名男生和3名女生中任選3人參加辯論比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3

人中女生的人數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）求X的均值.

【答案】⑴分布列見(jiàn)解析；⑵*

【分析】

（1）根據(jù)題意，求得X的取值，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求得對(duì)應(yīng)取值的概率，

即可求得分布列；

（2）根據(jù)所求分布列，即可求得X的均值.

【解析】（1）根據(jù)題意，X=0,1,2,3,又尸（X=0）=*=祗，

唳=1）=華=更，P（X=2）=-^$=—,P（X=3）=零」，

I7C,351'C,3517C,35

故X的分布列如卜所示：

X0123

418121

P

35353535

4181219

（2）根據(jù)（1）中所求分布列可知，X的均值為：°、玉+以玉+2x玉+3x玉=亍

Q能力拓展

考法01

1.隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷

若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿(mǎn)足如下條件：（1）該試驗(yàn)是不放回地抽取〃次；（2）

隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)（或類(lèi)似事件），反之亦然.

【典例1】一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為123,4,5,6,還有4個(gè)同樣大小的白球,

編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：

①X表示取出的最大號(hào)碼；

②X表示取出的最小號(hào)碼；

③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記I分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；

④X表示取出的黑球個(gè)數(shù).

這四種變量中服從超幾何分布的是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)超幾何分布的定義逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于①，當(dāng)X表示最大號(hào)碼，比如X=6表示從黑球編號(hào)為L(zhǎng)2,3,4,5中取3個(gè)黑球，

而X=8及不從6個(gè)黑球和編號(hào)為7的白球共7個(gè)球中取3個(gè)球，

故該隨機(jī)變量不服從超幾何分布，同理②中的隨機(jī)變量不服從超幾何分布.

對(duì)于③，X的可能取值為4,5,6,7,8,

X=4表示取出4個(gè)白球；

X=5表示取出3個(gè)白球1個(gè)黑球；

X=6表示取出2個(gè)白球2個(gè)黑球；

X=7表示取出1個(gè)白球3個(gè)黑球；

X=8表示取出4個(gè)黑球：

因此X服從超幾何分布.

由超幾何分布的概念知④符合，

故選：B.

【典例2】下列問(wèn)題中，哪些屬于超幾何分布問(wèn)題，說(shuō)明理由.

（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X,求X的概率分布；

（2）有一批種子的發(fā)芽率為70%,任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，把試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)

數(shù)記為X,求X的概率分布；

（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只.任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為

X,求X的概率分布；

(4)某班級(jí)有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，

其中女生人數(shù)記為X,求X的概率分布；

(5)現(xiàn)有100臺(tái)MP3播放器未經(jīng)檢測(cè)，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的MP3播放

器的個(gè)數(shù)記為X,求X的概率分布.

【答案】答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

根據(jù)超幾何分布的概念逐一判斷即可.

【詳解】

(1)(2)中樣本沒(méi)有分類(lèi)，不是超幾何分布問(wèn)題，是重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題.

(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類(lèi).隨機(jī)變量X表示抽取〃件樣本中某類(lèi)樣本

被抽取的件數(shù)，是超幾何分布.

(5)中沒(méi)有給出不合格品數(shù)，無(wú)法計(jì)算X的概率分布，所以不屬于超幾何分布問(wèn)題.

考法02

2.超幾何分布的計(jì)算公式：

【典例3】12人的興趣小組中有5人是“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任選6人參加競(jìng)賽.若隨機(jī)變量X

A.P(X=6)B.P(X=5)C.P(X=3)D.P(X=7)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)X服從超幾何分布直接得到答案.

【詳解】

由題意可知：隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N=12,M=5,〃=6的超幾何分布.

由公式尸(X=&)=*產(chǎn),易知資2表示的是丫=3的取值概率.

故選：C

【點(diǎn)睛】隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,〃的超幾何分布，則P(X=&尸一9:f

CN

【典例4】某手機(jī)經(jīng)銷(xiāo)商從已購(gòu)買(mǎi)某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動(dòng)，這20人中

年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部手機(jī)，記X為選取的年

齡低于30歲的人數(shù)，則尸(X=l)=.

【答案】II

【解析】

【分析】

由于X=1是指選取的人中年齡低于30歲的有1人，進(jìn)而結(jié)合超幾何分布的概率計(jì)算公式

即可求出結(jié)果.

【詳解】

X=1是指選取的人中年齡低于30歲的有1人，

所以P(X=1)=警=［故答案為：1|,

【典例5】若一個(gè)隨機(jī)變量的分布列為尸(。=其中/?=0,1,2,=min(/7,M)

5

則稱(chēng)4服從超幾何分布，記為&?并將P("r)=入匕…記為H(E,M,N),

CN

則H(l;3,2,10)=.

【答案】尚7

【解析】

【分析】根據(jù)題中的計(jì)算公式代入數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】

根據(jù)題意，r—\,〃=3,M—2,N=10

???〃(1;3,2,1。)=尸("1)=等='

故答案為：—.

【典例6】有9張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中任取3張，設(shè)4表

示抽出的3張卡片標(biāo)有的數(shù)字是偶數(shù)的個(gè)數(shù)，則尸&=1)=,E《)=.

104

【答案】五?

【解析】

【分析】

結(jié)合超幾何分布計(jì)算公式進(jìn)行求解.

【詳解】

1,2.3,且P("0)=詈弓,

由題意知自的可能取值分別為0,

P(J=1)=華=3,尸(4=2)=華=』，尸(4=3)=華=-L

v'Cg21v'C,14/c；21

則E(f)=0xW+lxW+2x9+3xJ-=3.

v7422114213

in4

故答案為：—:—

213

考法02

3.求超幾何分布的分布列的步驟

第一步，驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N,M,”的值；

第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列.

【典例7】己知某批產(chǎn)品共100件，其中二等品有20件.從中任意抽取2件，4表示取出的

2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，試填寫(xiě)下列關(guān)于4的分布列.

012

19

P（『）

—495

【解析】

【分析】利用超幾何分布可求題設(shè)中的概率.

【詳解】

由題設(shè)可得%=。）=筍=費(fèi)，尸（空1）=咎=1|?故答案為：券菽

~00^100?一“,”

【典例8】已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)

的數(shù)學(xué)期望為.

【答案】（）.3

【解析】

【分析】設(shè)任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,列出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而可計(jì)算出

E（X）的值.

【詳解】設(shè)任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,則X的可能取值有0、1、2、3,

z"?3z*v202「1z"?3

尸（X=0）=處,P（x=l）=普，尸（x=2）=普，P（X=3）=處，

L[00。100。100（100

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X0123

?；C；)

PC0%

^1100k

GoodJoo

因此E"(X)=°xC；)+1xGoQo+2*Cd+3x需a

故答案為：0.3.

【典例9】某班有30名男生和10名女生，現(xiàn)從中隨機(jī)選取5名學(xué)生，計(jì)算所選學(xué)生中女生

的人數(shù)X的分布列和均值.

【答案】分布列見(jiàn)解析，均值為;.

【解析】

【分析】

由題意分析出服從超幾何分布，直接求出概率，寫(xiě)出分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

由題意可得：X的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5.

所有P"=。）=裊=器;「5=1）=等=霰|；

JQZo12。物303250

一2）：一5075（）―品名.725

（）一以一18278，（）一C「9139'

p（X-4]=C="5-尸（x=5）==7

（）C工18278,玳）C*18278,

所有X的分布列為：

X012345

6091522550757251757

P

2812365561827891391827818278

口”L/v'八609,15225c5075?725,17575

X的數(shù)字期望為：E（X）=0x------+lx---------+2x--------+3x-------+4x--------+5x--------=—

,728123655618278913918278182784

【典例10】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量4表示所選3人

中女生的人數(shù).

（1）求4的分布列；

（2）求“所選3人中女生人數(shù)的概率.

4

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）y.

【解析】

【分析】

(1)g可能取的值為0,1,2,服從超幾何分布，P(4=k)=^^(k=0,1,2),然后

分別求出PC=0)，尸(4=1),PC=2)的值，最后寫(xiě)出分布列即可;

(2)由尸償41)=P(「=0)+P信=1)計(jì)算即可.

【詳解】

(1)4可能取的值為0,1,2,服從超幾何分布，pq=k)=^r"=0，I，2),

所以，PC=0)=等=：,PC=1)=攀=],尸修=2)=詈=g

所以J的分布列為:

(2)由(1)知，“所選3人中女生人數(shù)的概率為:

4

P（W）=P（g=0）+尸（&=1）=不

考法03

4.超幾何分布的期望與方差:

【典例11】口袋里有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黃球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球

數(shù)為2則E?=—；。⑶=

49

【答案】

25

【解析】

【分析】

根據(jù)超幾何分布，求出4的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，求期望、方差即可.

【詳解】

取得紅球數(shù)為4可能為0,1,2,

則PC=o)哈得,

“晉

c21

pq=2)=*

C5lo

3314

所以E團(tuán)=0x?+lx±+2x±=2,

I/105105

434341Q

D(^)=(0--)x-+(l--)x-+(2--)x-=-.

49

故答案為：—；—

【典例12】如果一個(gè)數(shù)含有正偶數(shù)個(gè)數(shù)字8,就稱(chēng)它為“優(yōu)選數(shù)”(如188,38888等)，否則就

稱(chēng)它為“非優(yōu)選數(shù)”，從由數(shù)字0」,2,…9,共10個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中任意抽取10個(gè)數(shù)，隨機(jī)

變量X表示抽到的“優(yōu)選數(shù)”的個(gè)數(shù)，則E(X)=.

23

【答案】77

45

【解析】

【分析】

分四位數(shù)中含兩個(gè)8和四個(gè)8,根據(jù)排列組合知識(shí)求出“優(yōu)選數(shù)”的個(gè)數(shù)，然后由超幾何分布

可得期望.

【詳解】

當(dāng)四位數(shù)中含有兩個(gè)8時(shí)，若8不在首位共有C；x8x9=216個(gè)，若8在首位，共有

C；x9x9=243個(gè)；當(dāng)四位數(shù)中含有四個(gè)8時(shí)，只有一種結(jié)果，所以從由數(shù)字01,2,...9,組成

的四位數(shù)中，“優(yōu)選數(shù)”共有460個(gè)，X可能取的值為0』,2,…9,10,已知隨機(jī)變量X服從超兒

,1■八*FEW、10x46023

何分布，故E(X)=——=------=一

N900045

23

故答案為：—.

45

【典例13】已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品

數(shù)的數(shù)學(xué)期望為—，方差為一,

【答案】0.3,0.2645

【解析】

【詳解】

試題分析：取出的三件產(chǎn)品中次品件數(shù)X服從參數(shù)N=100,M=10,〃=3的超幾何分布，由

超兒何分布的期望方差公式可得點(diǎn)")=等=鬻=0.3,方差為

D(XA〃M(3x10123x2x10x9

V'N{N)N(N-l)1001100J100x99

考點(diǎn)：超幾何分布的期望和方差.

【典例14】某公司有日生產(chǎn)件數(shù)為95件的“生產(chǎn)能手”3人，有日生產(chǎn)件數(shù)為55件的“新手”2

人，從這5人中任意抽取2人，則2人的日生產(chǎn)件數(shù)之和X的標(biāo)準(zhǔn)差為.

【答案】24

【解析】

【分析】

依題意可知X的所有可能取值為190,150,110,根據(jù)超幾何分布的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的

概率，從而求出數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差；

【詳解】由題意，可得X的所有可能取值為190,15(),110,且P(X=190)=

10

C'C13C2C01

P(X=150)=-^=-,P(X=110)=-^=-,則

33I

￡(X)=190x—+150x-+110x—=158,標(biāo)準(zhǔn)差

10510

2

7v(X)=MxA+(-8)x|+(-48)2xA=24.

故答案為：24

【典例15】一批產(chǎn)品共10件，其中3件是不合格品，用下列兩種不同方法從中隨機(jī)抽取2

件產(chǎn)品檢驗(yàn)：方法一：先隨機(jī)抽取1件，放回后再隨機(jī)抽取1件；方法二：一次性隨機(jī)抽取

2件.記方法一抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為。，方法二抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為

(I)求。，乙的分布列；

(2)比較兩種抽取方法抽到的不合格產(chǎn)品數(shù)的均值的大小，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)均值相等，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意，各分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布，利用對(duì)應(yīng)的概率公式計(jì)算概率，列

出分布列即可；

(2)利用二項(xiàng)分布和超幾何分布的期望公式計(jì)算對(duì)應(yīng)的期望，即得解

【詳解】

(I)隨機(jī)變量芻的可能取值為0,1,2,

且叫啕，

*=。)=43母/*=1)=喉)圖嗡

因此。的分布列為

012

49219

P

10050100

隨機(jī)變量乙的可能取值為0,I,2,且$服從參數(shù)為10,3,2的超幾何分布,

二（）「2rz^l7z,^2z^O-I

尸值=°）=管噌唯力箸=/皈=2）=等$

因此第的分布列為

012

771

P

"15L515

（2）由（1）知，方法一中％=2乂得=|,方法二中臉=等=],因此玷=%,

所以?xún)煞N方法抽到的不合格產(chǎn)品數(shù)的均值相等.

考法04

5.超幾何分布的實(shí)際問(wèn)題：

【典例16】某校從學(xué)生會(huì)中的10名女生干部與5名男生干部中隨機(jī)選取6名學(xué)生干部組成

“文明校園督察隊(duì)”，則組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為（）

GK

A.

4

c區(qū)

'點(diǎn)

【答案】c

【解析】

【分析】

利用超幾何概率計(jì)算公式即可求解.

【詳解】

組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為P=4

故選：C

【典例17】為了貫徹落實(shí)黨中央對(duì)新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅(jiān)決防范疫情向

校園蔓延，切實(shí)保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門(mén)決定通過(guò)電視頻道、網(wǎng)

絡(luò)平臺(tái)等多種方式實(shí)施線(xiàn)上教育教學(xué)工作.為了了解學(xué)生和家長(zhǎng)對(duì)網(wǎng)課授課方式的滿(mǎn)意度，

從經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)的4城市和經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶(hù)，得到了一個(gè)用戶(hù)滿(mǎn)

意度評(píng)分的樣本：

A城市:46,48,51,53,54,56,62,64,65,65,73,73,74,76,79,81,82,83,

91,93

5城市:53,62,64,66,73,74,76,76,78,78,81,82,85,86,88,89,92,95,

95,97

若評(píng)分不低于80分，則認(rèn)為該用戶(hù)對(duì)此授課方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶(hù)對(duì)此授課方式“不

認(rèn)可”，以該樣本中A,B城市的用戶(hù)對(duì)此授課方式“認(rèn)可”的頻率分別作為A,8城市用戶(hù)對(duì)

此授課方式“認(rèn)可”的概率.現(xiàn)從A城市和B城市的所有用戶(hù)中分別隨機(jī)抽取2個(gè)用戶(hù)，用X

表示這4個(gè)用戶(hù)中對(duì)此授課方式“認(rèn)可”的用戶(hù)個(gè)數(shù)，則P(X=3)=；用丫表示從A

城市隨機(jī)抽取2個(gè)用戶(hù)中對(duì)此授課方式“認(rèn)可”的用戶(hù)個(gè)數(shù)，則V的數(shù)學(xué)期望為.

【解析】

設(shè)隨機(jī)抽取的4個(gè)用戶(hù)中，對(duì)此授課方式“認(rèn)可”的4、8城市的戶(hù)數(shù)分別為,“戶(hù)和”戶(hù)，由

超幾何分布分別計(jì)算P(加=1,〃=2)和尸(機(jī)=2,n=1),再將兩者相加即可得P(X=3)；

隨機(jī)變量y的所有可能取值為o,1,2,再根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算每個(gè)丫的取值所

對(duì)應(yīng)的概率，然后由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法即可得解.

【詳解】

A城市中，對(duì)此授課方式“認(rèn)可”的戶(hù)數(shù)有5戶(hù)，

8城市中，對(duì)此授課方式“認(rèn)可”的戶(hù)數(shù)有10戶(hù).

設(shè)隨機(jī)抽取的4個(gè)用戶(hù)中，對(duì)此授課方式“認(rèn)可”的4、8城市的戶(hù)數(shù)分別為"?戶(hù)和〃戶(hù)，

則于(X=3)=尸(加=1,”=2)+尸(加=2,〃=1)

/C5MI175

第成總舄1444-

隨機(jī)變量y的所有可能取值為o,1,2,

尸(丫=。)=警埸，w=i)=魯琮，叩=2)=警q,

V-^2QDCSX.^2Qo1v

???數(shù)學(xué)期望E")=0x5+lx4+2x，；.故答案為:鑒".

【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、超幾何分布，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理

能力，屬于基礎(chǔ)題.

【典例18】在1,2,3,…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù).

(1)求這2個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的概率；

(2)設(shè)X為所取的2個(gè)數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布及均值.

【答案】⑴焉

⑵分布列見(jiàn)解析，均值為4.

【分析】(1)由9個(gè)數(shù)中5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，可得出取出的2個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是奇數(shù)的方

法數(shù)，從而計(jì)算出概率；

(2)X的可能值依次為0,1,2,分別計(jì)算出概率得分布列，由均值公式計(jì)算出均值.

r'r15

【解析】(1)9個(gè)數(shù)中5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，因此所求概率為P=*=?：

⑵X的可能值依次為。［2P(X=0)=|=l'32)啥亮,

X的分布列為

X012

]_55

P

69

均值為E(X)=0X4+1X￡+2X9=W.

69189

【典例19］在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，北京市開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，此活動(dòng)為學(xué)

生提供了多種網(wǎng)絡(luò)課程資源.活動(dòng)開(kāi)展一個(gè)月后，某學(xué)校隨機(jī)抽取了高三年級(jí)的甲、乙兩個(gè)

班級(jí)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：h),將樣本數(shù)據(jù)分成［3,4),［4,

5),［5,6),［6,7),17,8］五個(gè)組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

甲班

頻率

Ml

0.300

0.250

0.200

0.150

0.100

0^3~4~5~6~7~［時(shí)商/拉

乙班

(1)已知該校高三年級(jí)共有600名學(xué)生，根據(jù)甲班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該校高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)

時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)；

(2)已知這兩個(gè)班級(jí)各有40名學(xué)生，從甲、乙兩個(gè)班級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的學(xué)生中隨

機(jī)抽取3人，記抽到的甲班學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和均值；

(3)記甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差分別為s：,s)試比較s：與s；的大小.(只需

寫(xiě)出結(jié)論)

【答案】⑴480；

⑵X的分布列為

X012

3J

P

555

均值為1;(3)s；＜s；

【分析】

(1)從頻率分布直方圖中求出甲班每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的頻率，進(jìn)而求出該校

高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)約為多少；(2)利用超幾何分布求分布

列和均值；(3)從甲、乙兩個(gè)班學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間的頻率分布直方圖上看兩個(gè)班的數(shù)據(jù)集

中情況，進(jìn)行判斷方差的大小.

【解析】(1)由甲班頻率分布直方圖知，甲班每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的頻率為

(0.500+0.250+0.050)x1=0.8.

故該校高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)約為0.8x600=480.

(2)甲班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)約為40x0.050x1=2,乙班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小

時(shí)的人數(shù)約為40x0.100x1=4,

所以?xún)蓚€(gè)班每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的學(xué)生共6人.從中隨機(jī)抽取3人.則抽到的甲班學(xué)生

人數(shù)X的可能取值為0,I,2,且X服從超幾何分布，

“=。)=罟j尸(X=D=詈=|,^=2)=^4'

所以X的分布列為

X012

3

P

555

13I

方法■：E(X)=0x-+lx|+2x-=l.

方法二：E(X)=^=1.

6

(3)從甲、乙兩個(gè)班學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間的頻率分布直方圖上來(lái)看，甲班的數(shù)據(jù)比較集中，

乙班的數(shù)據(jù)相比甲班較為分散，故s；＜s；.

【典例20】為慶祝建軍節(jié)的到來(lái)，某校舉行“強(qiáng)國(guó)強(qiáng)軍”知識(shí)競(jìng)賽.該校某班經(jīng)過(guò)層層篩選，

還有最后一個(gè)參賽名額要在A,B兩名學(xué)生中產(chǎn)生，該班委設(shè)計(jì)了一個(gè)選拔方案：A,B兩

名學(xué)生各自從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答.已知這6個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生A能正確回答其

中的4個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生B能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為A,8兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答

正確與否都是相互獨(dú)立的.

(1)分別求A,8兩名學(xué)生恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率.

(2)設(shè)A答對(duì)的題數(shù)為X,B答對(duì)的題數(shù)為y,若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名

學(xué)生？請(qǐng)說(shuō)明理由.

34

【答案】(D(2)選擇學(xué)生A,理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)由古典概型概率公式求得A的概率，由獨(dú)立用復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算出B的概率；

(2)X的可能取值為1,2,3,計(jì)算出概率后得概率分布列，求出期望與方差，而丫?,

也計(jì)算出均值與方差，比較可得.

【詳解】

C2C'3

(1)由題意，知A恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率為?=中=三，B恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率

(2)X的可能取值為1,2,3,

則尸（X=l）=冷J1;尸（X=2）=c*2cl3尸（x=3）=巖1

所以￡'（*）=匕+2、|+3乂!=2,D（X）=（1-2）2X1+（2-2）2X|+（3-2）2X1=|.

易知

2712

所以E（y）=3x]=2,D（r）=3x-x-=-.

因?yàn)镋（x）=￡（y）,D（X）＜D（y）,

所以A與B答題的平均水平相當(dāng)，但A比B更穩(wěn)定.所以選擇學(xué)生A.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不方便，若用隨機(jī)變量X表示任選10個(gè)村莊中交通不

方便的村莊的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為（）

A.N=15,M=7,n=10

B.N=15,M=10,n=7

C,N=22,M=10,n=l

D.N=22,M=7,n=\0

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)超幾何分布概率模型可得選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)超幾何分布概率模型得N=15,M=7,〃=10,

故選：A.

2.盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則恰好取出2個(gè)紅球的概率是（）

37石*〃10、17

A.—B.—C.—D.—

42422121

【答案】C

【解析】

【分析】

由超幾何分布概率公式可直接求得結(jié)果.

【詳解】

c2c'10

設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為X,則X?"（9,5,3）,.?.2（*=2）=肯=3.

故選：C.

3.袋中有3個(gè)白球，1個(gè)紅球，從中任取2個(gè)，取得1個(gè)白球得0分，取得1個(gè)紅球得2

分，則所得分?jǐn)?shù)X的均值E（X）為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

依題意X的可能取值為?；?,再根據(jù)超幾何分布的概率公式求出概率，再求出數(shù)學(xué)期望;

【詳解】

解：由題意，得X的可能取值為0或2,其中X=0表示取得2個(gè)白球，X=2表示取得1

所以P（x=o）=等c'c11

個(gè)白球,1個(gè)紅球,P（X=2）=碧=：,故X的均值

故選：B

4.在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中隨機(jī)抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率

為（）

D

A.iB--A

【答案】A

【解析】

【分析】

抽取的正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：抽取到0個(gè)正品和4個(gè)次品；抽取到1個(gè)正品和3

個(gè)次品.分別求概率再相加即可.

【詳解】

抽取的正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：抽取到0個(gè)正品和4個(gè)次品；抽取到1個(gè)正品和3

個(gè)次品.

C41

當(dāng)抽取到。個(gè)正品和4個(gè)次品時(shí)，：

C!c3244

當(dāng)抽取到1個(gè)正品和3個(gè)次品時(shí)，^=-^=-=—

145

所以抽取的正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為4+6=土+盤(pán)=總

故選：A.

3

5.盒中有10個(gè)螺絲釘，其中3個(gè)是壞的.現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個(gè)，則概率是示的事件為（）

A.恰有1個(gè)是壞的B.4個(gè)全是好的

C.恰有2個(gè)是好的D.至多有2個(gè)是壞的

【答案】C

【解析】

【分析】

利用超幾何分布的概率公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)--求概率，進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】

3

事件的概率為r'C*=:1

對(duì)于A,

Go2

事件的概率為導(dǎo)=；；

對(duì)于B,

J。o

C2C23

對(duì)于C,事件的概率為皆=2

do1U

C；+C；C；+C；C；29

對(duì)于D,事件的概率為

C，30

故選C.

6.袋中有80個(gè)球，其中40個(gè)紅球、40個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.從中任取兩球,

則所取的兩球同色的