求離心率的常用方法

授課教案學(xué)員姓名：_____________授課教師：_____________所授科目：_____________學(xué)員年級(jí)：__________上課時(shí)間：____年__月__日____時(shí)___分至___時(shí)___分共___小時(shí)教學(xué)標(biāo)題求離心率的方法教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難點(diǎn)上次作業(yè)檢查授課內(nèi)容：求離心率的方法一、課前檢測(cè)5．安徽卷〔18〕〔本小題總分值12分〕如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)〔Ⅰ〕證明：直線；〔Ⅱ〕求異面直線AB與MD所成角的大小；〔Ⅲ〕求點(diǎn)B到平面OCD的距離?！窘狻孔饔邳c(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,那么即取,解得(2)設(shè)與所成的角為,,與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,那么為在向量上的投影的絕對(duì)值,由,得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為考點(diǎn)五折疊、展開(kāi)問(wèn)題9．〔2006年遼寧高考〕正方形、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如下圖,記二面角的大小為(=1\*ROMANI)證明平面;(=2\*ROMANII)假設(shè)為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點(diǎn)抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.解:(=1\*ROMANI)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點(diǎn),EB//FD,且EB=FD,四邊形EBFD為平行四邊形BF//ED.,平面(=2\*ROMANII)如右圖,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過(guò)點(diǎn)A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GDACD為正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分線上,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過(guò)G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,那么,所以為二面角A-DE-C的平面角即.設(shè)原正方體的邊長(zhǎng)為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形,.在RtADE中,.,點(diǎn)評(píng)：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問(wèn)題中，一般來(lái)說(shuō)，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問(wèn)題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.求離心率的方法橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率．一、直接求出、，求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或、易求時(shí)，可利用率心率公式來(lái)解決。例1：雙曲線〔〕的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，那么該雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.解：拋物線的準(zhǔn)線是，即雙曲線的右準(zhǔn)線，那么，解得，，，應(yīng)選D變式練習(xí)1：假設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為、，那么其離心率為〔〕A.B.C.D.解：由、知，∴，又∵橢圓過(guò)原點(diǎn)，∴，，∴，，所以離心率.應(yīng)選C.變式練習(xí)2：如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D解：由題設(shè)，，那么，，因此選C變式練習(xí)3：點(diǎn)P〔-3，1〕在橢圓〔〕的左準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)且方向?yàn)榈墓饩€，經(jīng)直線反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，那么這個(gè)橢圓的離心率為〔〕ABCD解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線〔對(duì)稱關(guān)系〕為，那么解得，，那么，應(yīng)選A二、構(gòu)造、的齊次式，解出根據(jù)題設(shè)條件，借助、、之間的關(guān)系，構(gòu)造、的關(guān)系〔特別是齊二次式〕，進(jìn)而得到關(guān)于的一元方程，從而解得離心率。例2：、是雙曲線〔〕的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，假設(shè)邊的中點(diǎn)在雙曲線上，那么雙曲線的離心率是〔〕A.B.C.D.解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，那么的橫坐標(biāo)為，由焦半徑公式，即，得，解得〔舍去〕，應(yīng)選D變式練習(xí)1：設(shè)雙曲線〔〕的半焦距為，直線過(guò)，兩點(diǎn).原點(diǎn)到直線的距離為，那么雙曲線的離心率為()A.B.C.D.解：由，直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，又,∴,兩邊平方，得，整理得，得或，又，∴，∴，∴，應(yīng)選A變式練習(xí)2：雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為、，，那么雙曲線的離心率為〔〕ABCD解：如下圖，不妨設(shè)，，，那么，又，在中，由余弦定理，得,即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，應(yīng)選B三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例3：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，假設(shè)為等腰直角三角形，那么橢圓的離心率是________。解：四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解例4：設(shè)橢圓〔〕的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，假設(shè)過(guò)且垂直于軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)到的距離，那么橢圓的離心率是 .解：如下圖，是過(guò)且垂直于軸的弦，∵于，∴為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，變式練習(xí)：在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，那么該橢圓的離心率為〔〕ABCD解：五、構(gòu)建關(guān)于的不等式，求的取值范圍例5：設(shè)，那么二次曲線的離心率的取值范圍為〔〕A.B.C.D.另：由，，得，,∴,∴∵，∴,∴，∴，應(yīng)選D例6：如圖，梯形中，，點(diǎn)分有向線段所成的比為，雙曲線過(guò)、、三點(diǎn)，且以、為焦點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。解：以的垂直平分線為軸，直線為軸，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，那么軸.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且以、為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知、關(guān)于軸對(duì)稱．依題意，記，，，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高．由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，設(shè)雙曲線的方程為，那么離心率，由點(diǎn)、在雙曲線上，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得①將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程得②再將①、②得，∴③④將③式代入④式，整理得，∴，由題設(shè)得：，解得，所以雙曲線的離心率的取值范圍為配套練習(xí)1.設(shè)雙曲線〔〕的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，那么此雙曲線的方程為〔〕A. B. C. D.2．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，那么橢圓的離心率等于〔〕A． B． C． D．3．雙曲線的一條漸近線方程為，那么雙曲線的離心率為〔〕ABCD4．在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，那么該橢圓的離心率為ABCD5．在給定雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，那么該雙曲線的離心率為〔〕ABCD6．如圖，和分別是雙曲線〔〕的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，那么雙曲線的離心率為〔〕A B C D7.設(shè)、分別是橢圓〔〕的左、右焦點(diǎn)，是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為〔為半焦距〕的點(diǎn)，且，那么橢圓的離心率是〔〕ABCD8．設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)雙曲線上存在點(diǎn)，使，且，那么雙曲線離心率為〔〕A B C D9．雙曲線〔〕的右焦點(diǎn)為，假設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么此雙曲線離心率的取值范圍是〔〕ABCD10．橢圓〔〕的焦點(diǎn)為、，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為、，假設(shè)，那么該橢圓離心率的取值范圍是〔〕A． B． C． D．答案：1.由可得應(yīng)選D2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，∴，橢圓的離心率，選D。3.雙曲線焦點(diǎn)在x軸,由漸近線方程可得,應(yīng)選A4.不妨設(shè)橢圓方程為〔ab0〕，那么有，據(jù)此求出e＝5.不妨設(shè)雙曲線方程為〔a0，b0〕，那么有，據(jù)此解得e＝，選C6.解析：如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△是等邊三角形，連接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，雙曲線的離心率為，選D。7.由P〔〕，所以化簡(jiǎn)得．8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。假設(shè)雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中，，