高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練25歐幾里得教師版

專題25歐幾里得一、單選題1．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)確定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得到點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，即可得到.【詳解】因?yàn)椋?，表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，所以.故選：B2．大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明白算術(shù)基本定理：每一個(gè)比1大的數(shù)（每個(gè)比1大的正整數(shù)）要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫成一系列素?cái)?shù)的乘積，假如不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的依次，那么寫出來(lái)的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的自然數(shù)（不為素?cái)?shù)）能唯一地寫成（其中是素?cái)?shù)，是正整數(shù)，，），將上式稱為自然數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有個(gè)素?cái)?shù)．從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．13 C．19 D．60【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式得到，然后依據(jù)這5個(gè)素?cái)?shù)的特點(diǎn)進(jìn)行分類探討，最終利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解．【詳解】解依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式可得，故從2，2，2，3，5這5個(gè)素?cái)?shù)中任取3個(gè)組成三位數(shù)，有下列三種狀況：①選取3個(gè)2，可以組成1個(gè)三位數(shù)；②選取2個(gè)2后，再?gòu)?或5中選一個(gè)，可以組成個(gè)不同的三位數(shù)；③選取2，3，5，可以組成個(gè)不同的三位數(shù)．所以從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，一共可以組成個(gè)不同的三位數(shù).故選：B．3．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，若都是直角圓錐底面圓的直徑，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件證明，得到或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角.在中利用余弦定理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如圖，連接.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角.設(shè)圓的半徑為1，則.因?yàn)?，所?在直角中，，得.所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.4．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個(gè)直角圓錐的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)底面圓的半徑為r，依據(jù)為等腰直角三角形可得圓錐高和母線長(zhǎng)，依據(jù)體積列方程可得r，然后可得.【詳解】由題意設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，則高為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的體積為，所以，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為．故選：C5．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語(yǔ)的最早譯本是由中國(guó)明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相像形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的全部?jī)?nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選修，則學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出從這7章里任選4章進(jìn)行選修的選法總數(shù)，再求出學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的選法總數(shù)，由古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選修共有：種選法；學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章共有：種選法，故學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為：.故選：B.6．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)直角圓錐底面半徑為，則其側(cè)棱為，再求出頂點(diǎn)原委面的距離，分析出球心，進(jìn)而得到外接球半徑，再利用公式求解即可【詳解】設(shè)直角圓錐底面半徑為，則其側(cè)棱為，所以頂點(diǎn)原委面圓圓心的距離為：，所以底面圓的圓心即為外接球的球心，所以外接球半徑為，所以.故選：A.7．公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出k的值．17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”．類似地，對(duì)于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長(zhǎng)）．假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為a），等邊圓柱（底面圓的直徑為a），正方體（棱長(zhǎng)為a）的“玉積率”分別為，那么（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可得，，，從而得到．【詳解】由題意得球的體積為；等邊圓柱的體積為；正方體的體積，所以，故選：D．8．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點(diǎn)，則異面直線PA與BC所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】【分析】利用三角形的中位線，可得為異面直線PA與BC所成的角，再由題條件可得是正三角形，即求.【詳解】如圖，設(shè)底面的圓心為O，分別取AC，PC的中點(diǎn)D，E，連接PO，CO，OD，OE，DE，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，設(shè)圓錐的底面圓半徑，則，，則且，又且，而且，所以為異面直線PA與BC所成的角，在中，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以，所以是正三角形，即異面直線PA與BC所成的角為.故選：C.9．歐幾里得的《幾何原本》，形如的方程的圖解法是：畫，使，在斜邊上截取，則該方程的一個(gè)正根是（

）A．的長(zhǎng) B．的長(zhǎng) C．的長(zhǎng) D．的長(zhǎng)【答案】B【解析】由已知可得，然后在中利用勾股定理得，化簡(jiǎn)可得，從而可得答案【詳解】解：在中，，，所以，由勾股定理得，，所以，所以，所以，所以方程的一個(gè)正根為的長(zhǎng)，故選：B10．大約在2000多年前，由我國(guó)的墨子給出圓的概念：“一中同長(zhǎng)也”意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等，這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100年，已知為原點(diǎn)，，若，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，得到點(diǎn)P的軌跡為圓，再由又，，得到點(diǎn)M在圓內(nèi)，然后由求解.【詳解】已知為原點(diǎn)，，所以點(diǎn)P的軌跡為圓，又，所以，即，所以點(diǎn)M在圓內(nèi)，則有，線段長(zhǎng)的最小值為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)確定義，只惋惜對(duì)這確定義歐幾里得沒(méi)有給出證明．經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)確定義，并對(duì)這確定義進(jìn)行了證明，他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】原方程兩邊開(kāi)平方，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓錐曲線的統(tǒng)確定義，可得的不等式，從而可求得其范圍【詳解】由，，得，所以，所以，可得動(dòng)點(diǎn)到這點(diǎn)和定直線的距離比為常數(shù)，由雙曲線的定義可知，解得，故選：B12．《幾何原本》又稱《原本》，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語(yǔ)的最早譯本是由中國(guó)明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年，該書據(jù)克拉維斯的拉丁文本《歐幾里得原本十五卷》譯出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相像形這7章內(nèi)容，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的全部?jī)?nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里面任選3章進(jìn)行選修并計(jì)人學(xué)分．則數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出從這7章里面任選3章共有的選法數(shù)，再求出張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的選法數(shù)，依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可求答案.【詳解】數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里面任選3章共有種選法；數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章共有選法種，故張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為,故選：C.13．黃金分割起源于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)探討了這一問(wèn)題，公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時(shí)吸取了歐多克索斯的探討成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù).已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值恰好是黃金分割數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意確定以及，再依據(jù)焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值恰好是黃金分割數(shù)列出等式，化簡(jiǎn)即可得答案.【詳解】焦點(diǎn)在軸上的橢圓中，，所以，由題意得，即，即，解得，故選:A.14．歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的動(dòng)身點(diǎn)．其中第命題是聞名的畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，書中給出了一種證明思路:如圖，中，，四邊形、、都是正方形，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．先證明與全等，繼而得到矩形與正方形面積相等；同理可得到矩形與正方形面積相等；進(jìn)一步定理得證.在該圖中，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面幾何學(xué)問(wèn)，在中應(yīng)用正弦定理求解答案.【詳解】解：設(shè)可得，又，可得∴，又，即，在中，，得，在中，，即，可得所以選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤故選：D.15．古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出k的值.17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”，類似地，對(duì)于正四面體、正方體也可利用公式求體積（在正四面體中，D表示正四面體的棱長(zhǎng)；在正方體中，D表示棱長(zhǎng)），假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為a）、正四面體（正四面體棱長(zhǎng)為a）、正方體（棱長(zhǎng)為a）的“玉積率”分別為，，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分別求出球，正四面體，正方體的體積公式，類比推理即可得到.【詳解】，如圖所示，設(shè)正四面體P-ABCD的棱長(zhǎng)為a，PO為正四面體的高，可知正四面體底面高，則由勾股定理可得正四面體的高所以正四面體的體積，，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查類比推理，解題的關(guān)鍵是要熟識(shí)球，正四面體，正方體的體積公式的求法，再利用類比推理思想分別求出，，，再求出比值，考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力，屬于一般題.16．假如一個(gè)凸多面體的每個(gè)面都是全等的正多邊形，而且每個(gè)頂點(diǎn)都引出相同數(shù)目的棱，那么這個(gè)凸多面體叫做正多面體.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地探討了正多面體的作圖，并證明白每個(gè)正多面體都有外接球.若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，則它們的棱長(zhǎng)之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分別求出正四面體、正方體、正八面體的棱長(zhǎng)與外接球半徑關(guān)系，再求比值得結(jié)果.【詳解】設(shè)正四面體、正方體、正八面體的棱長(zhǎng)以及外接球半徑分別為則,即故選：B【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.17．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)球半徑為，圓錐的底面半徑為，母線為，由直角圓錐的側(cè)面積為可求出，，再求出圓錐的高即可知，解得，即可求出球的體積.【詳解】設(shè)球半徑為，圓錐的底面半徑為，若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，設(shè)母線為，則，所以直角圓錐的側(cè)面積為：，可得：，，圓錐的高，由，解得：，所以球的體積等于，故選：B二、多選題(共0分)18．“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被運(yùn)用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對(duì)于隨意兩點(diǎn)、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)為線段上隨意一點(diǎn)，則為定值B．對(duì)于平面上隨意一點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．對(duì)于平面上隨意三點(diǎn)、、，都有D．若、為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最大值為【答案】AC【解析】【分析】利用題中定理可推斷A選項(xiàng)；作出點(diǎn)的軌跡圖形，求其周長(zhǎng)可推斷B選項(xiàng)；利用確定值三角不等式可推斷C選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)，，利用幫助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可推斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為線段上隨意一點(diǎn)，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則.作出點(diǎn)的軌跡如下圖所示：由圖可知，點(diǎn)的軌跡是邊長(zhǎng)為的正方形，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、、，由確定值三角不等式可得，同理可得，所以，，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)，，則，其中為銳角，且，取，，等號(hào)成立，D錯(cuò).故選：AC.19．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)覺(jué)；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點(diǎn)P滿意，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的方程為 B．在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)（1，1）的距離為10C．在C上存在點(diǎn)M，使得 D．C上的點(diǎn)到直線的最大距離為9【答案】AD【解析】【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡(jiǎn)可推斷A選項(xiàng)；由兩點(diǎn)的距離公式和圓的圓心得出點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，由此可推斷B選項(xiàng).設(shè)，由已知得，聯(lián)立方程求解可推斷C選項(xiàng)；由點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此可推斷D選項(xiàng).【詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡(jiǎn)得，即，故A正確；點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，故不存在點(diǎn)D符合題意，故B錯(cuò)誤.設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無(wú)解，故C錯(cuò)誤；C的圓心（-4，0）到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點(diǎn)到直線的最大距離，故D正確；故選：AD.20．古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)覺(jué)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意．點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的方程為B．曲線被軸截得的弦長(zhǎng)為C．直線與曲線相切D．是曲線上隨意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)，，點(diǎn)滿意．求得點(diǎn)的軌跡方程，再逐項(xiàng)推斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)，由，，可得，所以，整理可得，即，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，令得，曲線被軸截得的弦長(zhǎng)為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，所以直線與曲線相離，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槭乔€上隨意一點(diǎn)，要使的面積最大，則曲線上的點(diǎn)到軸的距離最大，即的邊上的高等于圓的半徑時(shí)，的面積最大，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．三、填空題(共0分)21．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積與它的直徑的立方成正比”，即，與此類似，我們可以得到：（1）正四面體（全部棱長(zhǎng)都相等的四面體）的體積與它的棱長(zhǎng)的立方成正比，即；（2）正方體的體積與它的棱長(zhǎng)的立方成正比，即；（3）正八面體（全部棱長(zhǎng)都相等的八面體）的體積與它的棱長(zhǎng)的立方成正比，即．那么________．【答案】【解析】【分析】分別求得正四面體，正方體，正八面體的體積后可得．【詳解】由題意得，正四面體的體積；正方體的體積；正八面體的體積，所以．故答案為：．22．《九章算術(shù)》是我國(guó)數(shù)學(xué)史上堪與歐幾里得《幾何原本》相媲美的數(shù)學(xué)名著.其中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.已知直三棱柱中，，，，，將直三棱柱沿一條棱和兩個(gè)面的對(duì)角線分割為一個(gè)陽(yáng)馬和一個(gè)鱉臑，則鱉臑的體積與其外接球的體積之比為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，先確定陽(yáng)馬，鱉膈幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再分別求得鱉膈的體積與其外接球的體積即可.【詳解】如圖所示：陽(yáng)馬為四棱錐C1A1B1AB，鱉膈為三棱錐C1-ABC，因?yàn)椋?，，，所以鱉膈的體積為，其外接球的半徑為：，體積為：，鱉膈的體積與其外接球的體積之比為：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征以及幾何體體積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.23．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”，許多代數(shù)公理、定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為“無(wú)字證明”.如圖，O為線段中點(diǎn)，C為上異于O的一點(diǎn)，以為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交半圓于D，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為E.設(shè)，則圖中線段，線段，線段_______；由該圖形可以得出的大小關(guān)系為_(kāi)__________.【答案】

【解析】【分析】利用射影定理求得，結(jié)合圖象推斷出的大小關(guān)系.【詳解】在中，由射影定理得，即.在中，由射影定理得，即.依據(jù)圖象可知，即.故答案為：；24．歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義?公設(shè)和公理作為全書推理的動(dòng)身點(diǎn).其中第卷命題47是聞名的畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，書中給出了一種證明思路：如圖，中，，四邊形??都是正方形，于點(diǎn)，交于點(diǎn).先證與全等，繼而得到矩形與正方形面積相等；同理可得到矩形與正方形面積相等；進(jìn)一步定理可得證.在該圖中，若，則________.【答案】【解析】設(shè)AB=k，AC=m，BC=n，由勾股定理可得，由同角的基本關(guān)系式求得，，在中，求得AE，分別運(yùn)用余弦定理和正弦定理，計(jì)算可得所求值.【詳解】設(shè)AB=k，AC=m，BC=n，可得，又，可得，在中，，又，解得，，由，化為，解得，又，可得，在中，，即，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般接受到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般接受到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，留意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，留意角的限制范圍．四、解答題(共0分)25．設(shè)在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn)，，它們之間的距離有一個(gè)新的定義為，這樣的距離在數(shù)學(xué)上稱為曼哈頓距離或確定值距離；在初中時(shí)我們學(xué)過(guò)的兩點(diǎn)之間的距離公式是，這樣的距離稱為是歐幾里得距離（簡(jiǎn)稱歐式距離）或直線距離.（1）已知，兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，假如它們之間的曼哈頓距離不大于3，那么的取值范圍是多少？（2）已知，兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，假如它們之間的曼哈頓距離要恒大于2，那么的取值范圍是多少？（3）已知三個(gè)點(diǎn)，，，在平面幾何的學(xué)問(wèn)中，很簡(jiǎn)潔的能夠證明與，與的歐氏距離之和不小于和的歐氏距離，那么這三個(gè)點(diǎn)之間的曼哈頓距離是否有類似的共同的結(jié)論？假如有，請(qǐng)給出證明；若果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）或；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1