2024春八年級數(shù)學(xué)下冊第1章三角形的證明綜合素質(zhì)評價新版北師大版

第一章綜合素養(yǎng)評價一、選擇題(每題3分，共30分)1．以下列各組數(shù)為邊長能組成直角三角形的是()A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，172．[2024·長春三模]如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按下列方式作圖：①以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，BC于點(diǎn)F，G；②分別以點(diǎn)F，G為圓心，大于eq\f(1,2)FG的長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H；③作射線CH交AB于點(diǎn)E.若AE＝2，BC＝7，則△BEC的面積為()A．7 B．8 C．14 D．163．在解答一道習(xí)題時，嘉嘉先作出了△ABC的一條高AD，又作出了△ABC的一條角平分線AE，發(fā)覺作的是同一條線段，則△ABC確定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形4．如圖，∠C＝∠D＝90°，添加一個條件，可運(yùn)用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是()A．AC＝AD B．AC＝BCC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．[2024·臺州]如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD.下列命題中，假命題是()A．若CD＝BE，則∠DCB＝∠EBCB．若∠DCB＝∠EBC，則CD＝BEC．若BD＝CE，則∠DCB＝∠EBCD．若∠DCB＝∠EBC，則BD＝CE6．[2024·自貢]等腰三角形頂角度數(shù)比一個底角度數(shù)的2倍多20°，則這個底角的度數(shù)是()A．30° B．40° C．50° D．60°7．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點(diǎn)E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，則BD的長為()A．2.5 B．1.5 C．2 D．18．如圖，在△ABC中，AD⊥BC垂足為點(diǎn)D，EF垂直平分AC，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接AE，若BD＝DE，△ABC的周長為16，AF＝3，則DC的長為()A．4 B．5 C．6 D．79．[2024·河北模擬]如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)I為△ABC各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)I作AC的垂線，垂足為H，若BC＝6，AB＝8，則IH的長為()A．2 B．3 C．4 D．510．題目：“如圖，已知∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM＝x，MN＝2，P是射線OB上的點(diǎn)．若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有3個，求x的取值范圍．”對于其答案，甲答：x＝0.乙答：0<x<2.丙答：2<x<4.則正確的是()A．只有甲答得對B．甲、丙答案合在一起才完整C．乙、丙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整二、填空題(每題3分，共24分)11．[2024·黑龍江]如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，請你添加一個條件__________，使△AOB≌△COD.12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BC＝6，則CD＝________．13．用反證法證明一個三角形中不能有兩個直角，第一步是假設(shè)這個三角形中____________．14．清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)建性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，AD是銳角三角形ABC的高，則BD＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC＋\f(AB2－AC2,BC))).當(dāng)AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝________．15．(母題：教材P32習(xí)題T1)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D.若∠B＝30°，CD＝1，則△DAB的面積為________．16．[2024·北京石景山二模]如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔4海里的A處，該海輪沿南偏東30°方向航行________海里后，到達(dá)位于燈塔P的正東方向的B處．17．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長，交BC于點(diǎn)D.下列說法：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點(diǎn)D在AB的垂直平分線上；④S△DAC︰S△ABC＝1︰3.其中正確的有________．(填序號)18．[2024·齊齊哈爾三模]如圖，已知等邊三角形AOC的邊長為1，作OD⊥AC于點(diǎn)D，在x軸上取點(diǎn)C1，使CC1＝DC，以CC1為邊作等邊三角形A1CC1；作CD1⊥A1C1于點(diǎn)D1，在x軸上取點(diǎn)C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2為邊作等邊三角形A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于點(diǎn)D2，在x軸上取點(diǎn)C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3為邊作等邊三角形A3C2C3；…，且點(diǎn)A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，則點(diǎn)D2024的坐標(biāo)為________.三、解答題(19題8分，20題10分，其余每題12分，共66分)19．[2024·福建]如圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.求證：AB＝CD.20．下面是證明等腰三角形判定定理的兩種添加幫助線的方法，選擇其中一種完成證明．等腰三角形判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.已知：如圖，△ABC中，∠B＝∠C，求證：△ABC是等腰三角形.方法一證明：如圖，作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D.方法二證明：如圖，作BC邊上的高線交BC于點(diǎn)D.21．[2024·武漢]如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，點(diǎn)E在BA的延長線上，連接CE.(1)求證：∠E＝∠ECD；(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，干脆寫出△BCE的形態(tài)．22．?dāng)?shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：如圖，已知∠MAN<45°，點(diǎn)B是射線AM上的一個定點(diǎn)，在射線AN上求作點(diǎn)C，使∠ACB＝2∠A.下面是小路設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點(diǎn)D；②以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求．依據(jù)小路設(shè)計的尺規(guī)作圖過程完成下列各題．(1)運(yùn)用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)(2)依據(jù)以上作圖方法，證明：∠ACB＝2∠A.23．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作始終線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE＝EO.(1)說明EF與CF的數(shù)量關(guān)系；(2)求點(diǎn)O到BC的距離．24．[2024·寧波鎮(zhèn)海蛟川書院期末]【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖a，作△ABC中∠ABC的平分線BD與△ABC的外角平分線CD交于點(diǎn)D，證明∠D＝eq\f(1,2)∠A.【嘗試應(yīng)用】(2)如圖b，在等邊三角形ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足AD＝CE，連接CD，BE，交于點(diǎn)M.作∠ADC，∠ABE的平分線，交于點(diǎn)N.①證明△ACD≌△CBE；②求∠DNB的度數(shù)．【拓展提高】(3)在(2)的條件下，連接MN，如圖c，當(dāng)∠DCB＝40°時，求∠MND的度數(shù)．

答案一、1．D2．A【點(diǎn)撥】過E點(diǎn)作BC的垂線，交BC于點(diǎn)P，由題意知CE為∠ACB的平分線，∴AE＝EP＝2，∴S△BEC＝eq\f(1,2)×2×7＝7.3．C4．A5．A【點(diǎn)撥】A．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵CD＝BE，BC＝CB，∴△BCD與△CBE滿足“SSA”的關(guān)系，無法證明全等，因此無法得出∠DCB＝∠EBC，故A是假命題．B．∵∠DCB＝∠EBC，∴∠ACD＝∠ABE.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACD＝∠ABE，,AB＝AC，,∠A＝∠A，))∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴CD＝BE，故B是真命題；C．∵AB＝AC，BD＝CE，∴AD＝AE.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，))∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ACD＝∠ABE.∵∠ABC＝∠ACB，∴∠DCB＝∠EBC，故C是真命題．D．在△DBC和△ECB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠ACB，,BC＝CB，,∠DCB＝∠EBC，))∴△DBC≌△ECB(ASA)，∴BD＝CE，故D是真命題．故選A.6．B【點(diǎn)撥】設(shè)頂角為x,底角為y，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2y＋20°，,x＋2y＝180°，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100°，,y＝40°.))7．D8．B【點(diǎn)撥】∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AE＝AB.∵EF垂直平分AC，AF＝3，∴AE＝CE，AC＝2AF＝6.∴AE＝AB＝CE.∵△ABC的周長為16，∴AC＋BC＋AB＝16，即6＋CE＋BE＋AB＝6＋2CE＋2DE＝16，∴CE＋DE＝5.∴CD＝CE＋DE＝5.9．A【點(diǎn)撥】如圖，連接IA，IB，IC，過I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，∵點(diǎn)I為△ABC各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，∴IH＝IM＝IN.∵∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×8×6＝24.∵S△ABC＝S△AIB＋S△BIC＋S△AIC，∴24＝eq\f(1,2)AB·IM＋eq\f(1,2)BC·IN＋eq\f(1,2)AC·IH，∴24＝eq\f(1,2)×8×IH＋eq\f(1,2)×6×IH＋eq\f(1,2)×10×IH，∴IH＝2.10．B【點(diǎn)撥】①如圖a，當(dāng)x＝0時，滿足條件的點(diǎn)P有3個；②如圖b，當(dāng)x＝2時，滿足條件的點(diǎn)P只有1個；③如圖c，當(dāng)x＝4時，滿足條件的點(diǎn)P只有2個；④如圖d，當(dāng)2<x<4時，滿足條件的點(diǎn)P有3個；⑤如圖e，當(dāng)0<x<2時，滿足條件的點(diǎn)P有4個．⑥如圖f，當(dāng)x>4時，滿足條件的點(diǎn)P只有1個．所以甲、丙答案合在一起才完整．故選B.二、11．OB＝OD(答案不唯一)12．313．有兩個直角14．1【點(diǎn)撥】∵BD＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC＋\f(AB2－AC2,BC)))，AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(72－52,6)))＝5.∴CD＝BC－BD＝6－5＝1.15．eq\r(3)【點(diǎn)撥】如圖所示，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝∠CAD＝30°，DE＝CD＝1，∴∠DAB＝∠B，AD＝2DE＝2，∴AE＝BE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(3)，∴AB＝AE＋BE＝2eq\r(3)，∴S△DAB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\r(3).16．417．①②③④【點(diǎn)撥】①依據(jù)作圖可知AD是∠BAC的平分線，故①正確．②∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°，∴∠ADC＝90°－∠CAD＝60°，故②正確．③∵∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，故③正確．④∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AD.∴S△DAC＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,4)AC·AD.∵AD＝BD，∴BC＝BD＋CD＝AD＋eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)AD，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AC·eq\f(3,2)AD＝eq\f(3,4)AC·AD，∴S△DAC︰S△ABC＝1︰3，故④正確．18．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22027－5,22026)，\f(\r(3),22026)))【點(diǎn)撥】∵等邊三角形AOC的邊長為1，OD⊥AC，∴OC＝1，CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，∴CC1＝CD＝eq\f(1,2)，∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2023C2024的長分別為1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…，eq\f(1,22024)，∴OC2024＝OC＋CC1＋C1C2＋C2C3＋…＋C2023C2024＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,22024)＝eq\f(22025－1,22024)，∴點(diǎn)C2024的橫坐標(biāo)為eq\f(22025－1,22024)，點(diǎn)A2024的橫坐標(biāo)為eq\f(22025－1,22024)－eq\f(1,22024)×eq\f(1,2)＝eq\f(22026－3,22025)，∴點(diǎn)D2024的橫坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22026－3,22025)＋\f(22025－1,22024)))×eq\f(1,2)＝eq\f(22027－5,22026).易得點(diǎn)D2024的縱坐標(biāo)為eq\f(\r(3),22026)，∴D2024的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22027－5,22026)，\f(\r(3),22026))).三、19．【證明】∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD.在△AOB和△COD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOB＝∠COD，,OB＝OD，))∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD.20．【解】方法一：作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，∴∠BAD＝∠CAD.在△BAD和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠BAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．方法二：作BC邊上的高線交BC于點(diǎn)D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BAD和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠ADB＝∠ADC，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．21．(1)【證明】∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D.∴BE∥CD.∴∠E＝∠ECD.(2)【解】△BCE是等邊三角形.【點(diǎn)撥】∵∠E＝60°，∠E＝∠ECD，∴∠ECD＝60°.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，∴∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等邊三角形．22．(1)【解】如圖所示．(2)【證明】連接BD，如圖．由作圖知直線l是AB的垂直平分線，BD＝CB，∴BD＝AD，∠BDC＝∠BCD.∴∠A＝∠ABD.又∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.又∠BDC＝∠BCD，∴∠BCD＝2∠A，即∠ACB＝2∠A.23．【解】(1)EF＝2CF.理由如下：如圖所示．∵BE＝EO，∴∠1＝∠2.∵在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5.∴∠2＝∠3.∴EF∥BC.∴∠4＝∠6.∴∠5＝∠6.∴OF＝CF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠AEF＝∠ACB＝∠AFE.∴AE＝AF.∴BE＝CF.∴EF＝OE＋OF＝2CF.(2)如圖，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D.∵在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∴