山西省陵川第一中學校2025屆高一下數學期末教學質量檢測試題含解析

山西省陵川第一中學校2025屆高一下數學期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數列{an}中，已知a1=2A．50 B．52 C．54 D．562．在平行四邊形ABCD中，，，E是CD的中點，則（）A．2 B．-3 C．4 D．63．已知底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．4．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．5．為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度6．設，是定義在上的兩個周期函數，的周期為，的周期為，且是奇函數．當時，，，其中．若在區(qū)間上，函數有個不同的零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．在中，，，，是外接圓上一動點，若，則的最大值是（）A．1 B． C． D．28．設集合，，則（）A． B． C． D．9．已知函數的值域為，且圖像在同一周期內過兩點，則的值分別為（）A． B．C． D．10．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150，120，180，150個銷售點．公司為了調查產品銷售情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本．記這項調查為①；在丙地區(qū)有20個大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務等情況，記這項調查為②，則完成①，②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為.12．方程cosx=13．設公差不為零的等差數列的前項和為，若，則__________．14．在中，角的對邊分別為，若，則角________.15．設，則函數是__________函數（奇偶性）.16．如圖，在正方體中，點是棱上的一個動點，平面交棱于點．下列命題正確的為_______________.①存在點，使得//平面；②對于任意的點，平面平面；③存在點，使得平面；④對于任意的點，四棱錐的體積均不變．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）求函數圖象的對稱軸方程;（2）若對于任意的，恒成立，求實數的取值范圍.18．已知向量，，且函數.若函數的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為.（Ⅰ)求函數的解析式；（Ⅱ)若方程在時，有兩個不同實數根，，求實數的取值范圍，并求出的值；（Ⅲ)若函數在的最大值為2，求實數的值.19．設函數.（1）若，解不等式；（2）若對一切實數，恒成立，求實數的取值范圍.20．某中學從高三男生中隨機抽取n名學生的身高，將數據整理，得到的頻率分布表如表所示：組號分組頻數頻率第1組50.05第2組a0.35第3組30b第4組200.20第5組100.10合計n1.00（1）求出頻率分布表中的值，并完成下列頻率分布直方圖；（2）為了能對學生的體能做進一步了解，該校決定在第1，4，5組中用分層抽樣取7名學生進行不同項目的體能測試，若在這7名學生中隨機抽取2名學生進行引體向上測試，求第4組中至少有一名學生被抽中的概率.21．如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側面是等腰直角三角形，，平面平面，點分別是棱上的點，平面平面（Ⅰ）確定點的位置，并說明理由；（Ⅱ）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用等差數列通項公式求得基本量d，根據等差數列性質可得a4【詳解】設等差數列an公差為則a2+∴本題正確選項：C【點睛】本題考查等差數列基本量的求解問題，關鍵是能夠根據等差數列通項公式構造方程求得公差，屬于基礎題.2、A【解析】

由平面向量的線性運算可得，再結合向量的數量積運算即可得解.【詳解】解：由，，所以,,，則,故選：A.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了向量的數量積運算，屬中檔題.3、C【解析】

根據題意可知所求的球為正四棱柱的外接球，根據正四棱柱的特點利用勾股定理可求得外接球半徑，代入球的體積公式求得結果.【詳解】由題意可知所求的球為正四棱柱的外接球底面正方形對角線長為：外接球半徑外接球體積本題正確選項：【點睛】本題考查正棱柱外接球體積的求解問題，關鍵是能夠根據正棱柱的特點確定球心位置，從而利用勾股定理求得外接球半徑.4、D【解析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．5、A【解析】

先將轉化為,再判斷的符號即可得出結論.【詳解】解：因為,所以只需把向右平移個單位.故選：A【點睛】函數左右平移變換時,一是要注意平移方向：按“左加右減",如由的圖象變?yōu)榈膱D象,是由變?yōu)?所以是向左平移個單位；二是要注意前面的系數是不是,如果不是,左右平移時,要先提系數,再來計算.6、B【解析】

根據題意可知，函數和在上的圖象有個不同的交點，作出兩函數圖象，即可數形結合求出．【詳解】作出兩函數的圖象，如圖所示：由圖可知，函數和在上的圖象有個不同的交點，故函數和在上的圖象有個不同的交點，才可以滿足題意．所以，圓心到直線的距離為，解得，因為兩點連線斜率為，所以，．故選：B．【點睛】本題主要考查了分段函數的圖象應用，函數性質的應用，函數的零點個數與兩函數圖象之間的交點個數關系的應用，意在考查學生的轉化能力和數形結合能力，屬于中檔題．7、C【解析】

以的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為，，求出點的坐標，得到，根據正弦函數的圖象和性質即可求出答案.【詳解】以的中點O為原點，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則外接圓的方程為，設M的坐標為，，過點作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當時，有最大值，最大值為，故選C．【點睛】本題考查了向量的坐標運算和向量的數乘運算和正弦函數的圖象和性質，以及直角三角形的問題，考查了學生的分析解決問題的能力，屬于難題．8、D【解析】試題分析：集合，集合，所以,故選D.考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.9、C【解析】

先利用可求出的值，再利用、兩點橫坐標之差的絕對值為周期的一半，計算出周期，再由可計算出的值，從而可得出答案．【詳解】由題意可知，，、兩點橫坐標之差的絕對值為周期的一半，則，，因此，，，故選C．【點睛】本題考查三角函數的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對稱中心點和最高、最低點的坐標代入函數解析式，若選擇對稱中心點，還要注意函數在該點附近的單調性．10、B【解析】

此題為抽樣方法的選取問題．當總體中個體較少時宜采用簡單隨機抽樣法；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較多時，宜采用系統(tǒng)抽樣．【詳解】依據題意，第①項調查中，總體中的個體差異較大，應采用分層抽樣法；第②項調查總體中個體較少，應采用簡單隨機抽樣法．

故選B．【點睛】本題考查隨機抽樣知識，屬基本題型、基本概念的考查．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設球的半徑為r,則,，，所以，故答案為.考點：圓柱，圓錐，球的體積公式.點評：圓柱，圓錐，球的體積公式分別為.12、x|x=2kπ±【解析】

由誘導公式可得cosx=sinπ【詳解】因為方程cosx=sinπ所以x=2kπ±π故答案為x|x=2kπ±π【點睛】本題考查解三角函數的方程，余弦函數的周期性和誘導公式的應用，屬于基礎題．13、【解析】

設出數列的首項和公差,根據等差數列通項公式和前項和公式,代入條件化簡得和的關系,再代入所求的式子進行化簡求值.【詳解】解：設等差數列的首項為,公差為,由,得,得,.故答案為：【點睛】本題考查了等差數列通項公式和前n項和公式的簡單應用,屬于基礎.14、【解析】

根據得，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題：，，，由余弦定理可得：，.故答案為：【點睛】此題考查根據余弦定理求解三角形的內角，關鍵在于熟練掌握余弦定理公式，準確計算求解.15、偶【解析】

利用誘導公式將函數的解析式進行化簡，即可判斷出函數的奇偶性.【詳解】，因此，函數為偶函數.故答案為：偶.【點睛】本題考查三角函數奇偶性的判斷，解題的關鍵就是利用誘導公式對三角函數解析式進行化簡，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.16、①②④【解析】

根據線面平行和線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性質分別進行判斷即可．【詳解】①當為棱上的一中點時，此時也為棱上的一個中點，此時//，滿足//平面，故①正確；②連結，則平面，因為平面，所以平面平面，故②正確；③平面，不可能存在點，使得平面，故③錯誤；④四棱錐的體積等于，設正方體的棱長為1.∵無論、在何點，三角形的面積為為定值，三棱錐的高，保持不變，三角形的面積為為定值，三棱錐的高為，保持不變.∴四棱錐的體積為定值，故④正確.故答案為①②④.【點睛】本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的位置關系的判斷，解答本題的關鍵正確利用分割法求空間幾何體的體積的方法，綜合性較強，難度較大．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)通過三角恒等變形，化簡為的形式，方便我們去研究與其相關的任何問題；（2）恒成立，可轉化，我們只需要求出最大值從而完成本題.【詳解】（1）令得，所以的對稱軸為（2）當時，，，因為，即恒成立故，解得【點睛】在研究三角函數相關的性質（值域、對稱中心、對稱軸、單調性……）我們都是將其化為（或者余弦、正切相對應）的形式，利用整體思想，我們能比較方便的去研究他們相關性質.18、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解析】

（Ⅰ)根據三角恒等變換公式化簡，根據周期計算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調性，計算最值和區(qū)間端點函數值，從而得出的范圍，根據對稱性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關于的二次函數，討論二次函數單調性，根據最大值列方程求出的值．【詳解】（Ⅰ）∵，，∴若函數的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為，則函數的周期，∴，即，∴（Ⅱ)由（Ⅰ)知，，當時，∴若方程在有兩個不同實數根，則.∴令，，則，，∴函數在內的對稱軸為，∵，是方程，的兩個不同根，∴（Ⅲ）因為，所以，令，則.∴又∵，由得，∴.（1）當，即時，可知在上為減函數，則當時，由，解得：，不合題意，舍去.（2）當，即時，結合圖象可知，當時，，由，解得，滿足題意.（3）當，即時，知在上為增函數，則時，，由得，舍去綜上，或為所求.【點睛】本題考查了平面向量的數量積的運算，三角函數的恒等變換，三角函數最值的計算，考查換元法解題思想，屬于中檔題．19、（1）或；（2）【解析】

（1）時，不等式化為，求解即可；（2）分和兩種情況分類討論，并結合二次函數的性質，可求出答案.【詳解】（1）時，不等式化為，即，解得或，即解集為：或.（2）當時，，符合題意，當時，由題意得，解得，綜上所述，實數的取值范圍是：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，考查一元二次不等式的解法，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.20、（1）直方圖見解析；（2）.【解析】

（1）由題意知，0.050，從而n＝100，由此求出第2組的頻數和第3組的頻率，并完成頻率分布直方圖．（2）利用分層抽樣，35名學生中抽取7名學生，設第1組的1位學生為，第4組的4位同學為,第5組的2位同學為，利用列舉法能求出第4組中至少有一名學生被抽中的概率．【詳解】（1）由頻率分布表可得，所以，；（2）因為第1，4，5組共有35名學生，利用分層抽樣，在35名學生中抽取7名學生，每組分別為：第1組；第4組；第5組.設第1組的1位學生為，第4組的4位同學為,第5組的2位同學為.則從7位學生中抽兩位學生的基本事件分別為：一共21種.記“第4組中至少有一名學生被抽中”為事件，即包含的基本事件分別為：一共3種，于是所以，.【點睛】本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）根據面面平行的性質得到，，根據平行關系和長度關系得到點是的