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2025屆廣東省深圳市外國語學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.將函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的圖象向左平移個(gè)單位,所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的最小正周期不可能是()A. B. C. D.2.不等式的解集為()A.(-4,1) B.(-1,4)C.(-∞,-4)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(4,+∞)3.在中,,是的內(nèi)心,若,其中,動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為(
)A. B. C. D.4.如圖所示的陰影部分是由軸及曲線圍成,在矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A. B. C. D.5.在正方體中,,分別為棱,的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為A. B. C. D.6.下列函數(shù)中最小值為4的是()A. B.C. D.7.直線的傾斜角是()A. B. C. D.8.已知正數(shù)、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.9.下列函數(shù)中最小正周期為的是()A. B. C. D.10.在四邊形中,,,將沿折起,使平面平面,構(gòu)成三棱錐,如圖,則在三棱錐中,下列結(jié)論正確的是()A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知扇形的半徑為6,圓心角為,則扇形的弧長為______.12.某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某天的用電量與當(dāng)天氣溫.氣溫(℃)141286用電量(度)22263438由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中,據(jù)此預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為5℃時(shí),用電量的度數(shù)約為____.13.已知直線與軸、軸相交于兩點(diǎn),點(diǎn)在圓上移動(dòng),則面積的最大值和最小值之差為.14.函數(shù)f(x)=coscos的最小正周期為________.15.若、、這三個(gè)的數(shù)字可適當(dāng)排序后成為等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則________________.16.把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小的原則寫成如下數(shù)表:第行有個(gè)數(shù),第行的第個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為,則________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若,求當(dāng)時(shí)自變量的取值集合.18.在一次人才招聘會(huì)上,有A、B兩家公司分別開出了它們的工資標(biāo)準(zhǔn):A公司允諾第一年月工資數(shù)為1500元,以后每年月工資比上一年月工資增加230元;B公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元,以后每年月工資在上一年的月工資增加基礎(chǔ)上遞增5%,設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時(shí)錄取,試問:(1)若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作年,則他在第年的月工資收入分別是多少?(2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年,僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)(不計(jì)其它因素),該人應(yīng)該選擇哪家公司,為什么?(3)在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元(精確到1元),并說明理由.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)證明:.20.等差數(shù)列中,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.如圖,是以向量為邊的平行四邊形,又,試用表示.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】
利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,對(duì)稱性和周期性,求得函數(shù)的最小正周期為,由此得出結(jié)論.【詳解】解:將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,可得的圖象,根據(jù)所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱,可得,即,.函數(shù)的最小正周期為,則函數(shù)的最小正周期不可能是,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,對(duì)稱性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
將原不等式化簡(jiǎn)并因式分解,由此求得不等式的解集.【詳解】原不等式等價(jià)于,即,解得.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
畫出圖形,由已知條件便知P點(diǎn)在以BD,BP為鄰邊的平行四邊形內(nèi),從而所求面積為2倍的△AOB的面積,從而需求S△AOB:由余弦定理可以求出AB的長為5,根據(jù)O為△ABC的內(nèi)心,從而O到△ABC三邊的距離相等,從而,由面積公式可以求出△ABC的面積,從而求出△AOB的面積,這樣2S△AOB便是所求的面積.【詳解】如圖,根據(jù)題意知,P點(diǎn)在以BP,BD為鄰邊的平行四邊形內(nèi)部,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△AOB;在△ABC中,cos,AC=6,BC=7;∴由余弦定理得,;解得:AB=5,或AB=(舍去);又O為△ABC的內(nèi)心;所以內(nèi)切圓半徑r=,所以∴==;∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為.故答案為:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查考查向量加法的平行四邊形法則,向量數(shù)乘的幾何意義,余弦定理,以及三角形內(nèi)心的定義,三角形的面積公式.意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關(guān)鍵是找到P點(diǎn)所覆蓋的區(qū)域.4、A【解析】,所以,故選A。5、A【解析】
如圖做輔助線,正方體中,且,P,M為和中點(diǎn),,則即為所求角,設(shè)邊長即可求得.【詳解】如圖,取的中點(diǎn),連接,,.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn),為的中點(diǎn),所以,所以,則是異面直線與所成角的平面角.設(shè),在中,,,則,即.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵在于構(gòu)造包含異面直線所成角的三角形.6、C【解析】
對(duì)于A和D選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“正數(shù)”要求,對(duì)于B選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“相等”要求,即可選出答案.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),顯然不滿足題意,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,,,.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最小值.但無解,故B錯(cuò)誤.對(duì)于D,當(dāng)時(shí),顯然不滿足題意,故D錯(cuò)誤.對(duì)于C,,,.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最小值,故C正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式,熟練掌握基本不等式的步驟為解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、B【解析】
先求斜率,即傾斜角的正切值,易得.【詳解】,可知,即,故選B【點(diǎn)睛】一般直線方程求傾斜角將直線轉(zhuǎn)換為斜截式直線方程易得斜率,然后再根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角,屬于簡(jiǎn)單題目.8、B【解析】
由得,再將代數(shù)式與相乘,利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】,所以,,則,所以,,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,的最小值為,故選.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值,對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊,是解決本題的關(guān)鍵,屬于中等題.9、C【解析】
對(duì)A選項(xiàng),對(duì)賦值,即可判斷其最小正周期不是;利用三角函數(shù)的周期公式即可判斷B、D的最小正周期不是,問題得解.【詳解】對(duì)A選項(xiàng),令,則,不滿足,所以不是以為周期的函數(shù),其最小正周期不為;對(duì)B選項(xiàng),的最小正周期為:;對(duì)D選項(xiàng),的最小正周期為:;排除A、B、D故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期公式及周期函數(shù)的定義,還考查了賦值法,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
折疊過程中,仍有,根據(jù)平面平面可證得平面,從而得到正確的選項(xiàng).【詳解】在直角梯形中,因?yàn)闉榈妊苯侨切?,故,所以,故,折起后仍然滿足.因?yàn)槠矫嫫矫?,平面,平面平面,所以平面,因平面,所?又因?yàn)椋?,所以平面,因平面,所以平面平?【點(diǎn)睛】面面垂直的判定可由線面垂直得到,而線面垂直可通過線線垂直得到,注意面中兩條直線是相交的.由面面垂直也可得到線面垂直,注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個(gè)平面的交線.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
先將角度化為弧度,再根據(jù)弧長公式求解.【詳解】因?yàn)閳A心角,所以弧長.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長公式的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.12、1【解析】
由表格得,即樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為,又因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在回歸方程上且,解得:,當(dāng)時(shí),,故答案為1.考點(diǎn):回歸方程【名師點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程,屬容易題.兩個(gè)變量之間的關(guān)系,除了函數(shù)關(guān)系,還存在相關(guān)關(guān)系,通過建立回歸直線方程,就可以根據(jù)其部分觀測(cè)值,獲得對(duì)這兩個(gè)變量之間整體關(guān)系的了解.解題時(shí)根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn),根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上,利用待定系數(shù)法做出的值,現(xiàn)在方程是一個(gè)確定的方程,根據(jù)所給的的值,代入線性回歸方程,預(yù)報(bào)要銷售的件數(shù).13、15【解析】
解:設(shè)作出與已知直線平行且與圓相切的直線,
切點(diǎn)分別為,如圖所示
則動(dòng)點(diǎn)C在圓上移動(dòng)時(shí),若C與點(diǎn)重合時(shí),
△ABC面積達(dá)到最小值;而C與點(diǎn)重合時(shí),△ABC面積達(dá)到最大值
∵直線3x+4y?12=0與x軸、y軸相交于A(4,0)、B(0,3)兩點(diǎn)
可得∴△ABC面積的最大值和最小值之差為
,
其中分別為點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離
∵是圓(x?5)2+(y?6)2=9的兩條平行切線與圓的切點(diǎn)
∴點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離之差等于圓的直徑,即
因此△ABC面積的最大值和最小值之差為
故答案為:1514、2【解析】f(x)=coscos=cos·sin=sinπx,最小正周期為T==215、【解析】
由,,可知,、、成等比數(shù)列,可得出,由、、或、、成等差數(shù)列,可得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)未知數(shù)的值,即可計(jì)算出的值.【詳解】由于,,若不是等比中項(xiàng),則有或,兩個(gè)等式左邊均為正數(shù),右邊均為負(fù)數(shù),不合題意,則必為等比中項(xiàng),所以,將三個(gè)數(shù)由大到小依次排列,則有、、成等差數(shù)列或、、成等差數(shù)列.①若、、成等差數(shù)列,則,聯(lián)立,解得,此時(shí),;②若、、成等差數(shù)列,則,聯(lián)立,解得,此時(shí),.綜上所述,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列定義的應(yīng)用,根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.16、【解析】
第行有個(gè)數(shù)知每行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,要求,先要求出,就必須求出前行一共出現(xiàn)了多少個(gè)數(shù),根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求,而由可知,每一行數(shù)的分母成等差數(shù)列,可求出,令,即可求出.【詳解】由第行有個(gè)數(shù),可知每一行數(shù)的個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,首項(xiàng)是,公比是,所以,前行共有個(gè)數(shù),所以,第行第一個(gè)數(shù)為,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意數(shù)陣的應(yīng)用,同時(shí)要找出數(shù)陣的規(guī)律,考查推理能力,屬于中等題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或【解析】
(1)由輔助角公式可得,再求周期即可;(2)由求出,再解方程即可.【詳解】解:(1),則的最小正周期為.(2)因?yàn)椋?,即,解?因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,即,則或,解得或.故當(dāng)時(shí),自變量的取值集合為或.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,重點(diǎn)考查了解三角方程,屬中檔題.18、(1)在A公司第年收入為;在B公司連續(xù)工作年收入為;(2)應(yīng)選擇A公司,理由見詳解;(3)827;理由見詳解.【解析】
(1)先分別記該人在A公司第年收入為,在B公司連續(xù)工作年收入為,根據(jù)題中條件,即可直接得出結(jié)果;(2)根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式,分別計(jì)算前的和,即可得出結(jié)果;(3)先令,將原問題轉(zhuǎn)化為求的最大值,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】(1)記該人在A公司第年收入為,在B公司連續(xù)工作年收入為,由題意可得:,,,;(2)由(1),當(dāng)時(shí),該人在A公司工資收入的總量為:(元);該人在B公司工資收入的總量為:(元)顯然A公司工資總量高,所以應(yīng)選擇A公司;(3)令,則原問題即等價(jià)于求的最大值;當(dāng)時(shí),,若,則,即,解得;又,所以,因此,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以是數(shù)列的最大項(xiàng),(元),即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多元.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用,熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可,屬于??碱}型.19、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)將已知遞推式取倒數(shù)得,,再結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可得證;(2)由(1)得,再利用基本不等式以及放縮法和等比數(shù)列的求和公式,結(jié)合不等式的性質(zhì),即可得證.【
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