2025屆安徽省六安市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆安徽省六安市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，若，則的值為()A．15 B．21 C．24 D．182．已知點(diǎn)，，則與向量的方向相反的單位向量是（）A． B． C． D．3．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則此三角形（）A．無(wú)解 B．有一解 C．有兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定4．設(shè)a，b，c為的內(nèi)角所對(duì)的邊，若，且，那么外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．45．若，滿足，則的最大值為（）．A． B． C． D．6．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則最大角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于5，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（）A． B． C． D．9．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù):將三角形數(shù)1，3，6，10記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)，按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測(cè):（）A．1225 B．1275 C．2017 D．201810．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知,且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.12．函數(shù)，的值域是________．13．已知sin＝，則cos＝________．14．_____________.15．已知函數(shù)那么的值為．16．若數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，則_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為，為的中點(diǎn)，且所在的直線方程為.(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過(guò)點(diǎn)且在軸、軸上的截距相等的直線的方程.18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．如圖長(zhǎng)方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證:平面平面；（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖形中畫(huà)出直線與平面的交點(diǎn)（保留必要的輔助線），寫(xiě)出畫(huà)法并計(jì)算的值（不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）．20．已知向量．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求的值．21．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2+c2﹣b2＝mac，其中m∈R．（1）若m＝1，a＝1，c＝，求△ABC的面積；（2）若m＝，A＝2B，a＝，求b．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，將等式全部化為的形式，再計(jì)算?！驹斀狻恳?yàn)?，且，則，所以．故選D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。2、A【解析】

根據(jù)單位向量的定義即可求解.【詳解】,向量的方向相反的單位向量為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的單位向量的概念，屬于中檔題.3、C【解析】

利用正弦定理求，與比較的大小，判斷B能否取相應(yīng)的銳角或鈍角.【詳解】由及正弦定理，得，，B可取銳角；當(dāng)B為鈍角時(shí)，，由正弦函數(shù)在遞減，，可取.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，解三角形中何時(shí)無(wú)解、一解、兩解的條件判斷，屬于中檔題.4、A【解析】

由得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A=．再利用正弦定理可得2R=，可得R.【詳解】∵,∴,整理得b2+c2-a2=bc，根據(jù)余弦定理cosA=，可得cosA=∵A∈（0，π），∴A=由正弦定理可得2R==,解得R=1，故選A【點(diǎn)睛】已知三邊關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為接近余弦定理的形式，直接運(yùn)用余弦定理理解三角形，注意整體代入思想.5、D【解析】作出不等式組，所表示的平面區(qū)域，如圖所示，當(dāng)時(shí)，可行域?yàn)樗倪呅蝺?nèi)部，目標(biāo)函數(shù)可化為，即，平移直線可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，從而最大，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可行域?yàn)槿切?，目?biāo)函數(shù)可化為，即，平移直線可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，從而最大，，綜上，的最大值為．故選．點(diǎn)睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見(jiàn)的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．注意解答本題時(shí)不要忽視斜率不存在的情形.6、D【解析】

設(shè)，由余弦定理可求出.【詳解】設(shè),所以最大的角為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，大邊對(duì)大角，屬于中檔題.7、C【解析】

由得到an=n，任意的，恒成立等價(jià)于，利用作差法求出的最小值即可.【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，，又∴∵an+12=2Sn+n+1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an2=2Sn﹣1+n，兩式相減可得：an+12﹣an2=2an+1，∴an+12=（an+1）2，∵數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，顯然n=1時(shí)，適合上式∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．∴an=1+（n﹣1）=n．任意的，恒成立，即恒成立記，，∴為單調(diào)增數(shù)列，即的最小值為∴，即故選C【點(diǎn)睛】已知求的一般步驟：（1）當(dāng)時(shí)，由求的值；（2）當(dāng)時(shí)，由，求得的表達(dá)式；（3）檢驗(yàn)的值是否滿足（2）中的表達(dá)式，若不滿足則分段表示；（4）寫(xiě)出的完整表達(dá)式.8、B【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出ABC的相對(duì)位置，再利用正余弦定理計(jì)算．【詳解】如圖所示，,，選B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形畫(huà)出相對(duì)位置是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

通過(guò)尋找規(guī)律以及數(shù)列求和，可得，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知：則由…可得所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查不完全歸納法的應(yīng)用，本題難點(diǎn)在于找到，屬難題，10、A【解析】若函數(shù)f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）與g（x）=2x+1的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程a﹣x2=﹣（2x+1）?a=x2﹣2x﹣1在區(qū)間[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣2x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣2x﹣1的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取最小值﹣2，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最大值﹣1，故a∈[﹣2，﹣1]，故選：A．點(diǎn)睛：圖像上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，即方程a﹣x2=﹣（2x+1）?a=x2﹣2x﹣1在區(qū)間[1，2]上有解，轉(zhuǎn)化為方程有解求參的問(wèn)題，變量分離，畫(huà)出函數(shù)圖像，使得函數(shù)圖像和常函數(shù)圖像有交點(diǎn)即可；這是解決方程有解，圖像有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)的常見(jiàn)方法。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由得出，再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因?yàn)?，所以，即與的夾角的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】

利用正切函數(shù)在單調(diào)遞增，求得的值域?yàn)?【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求值域，注意定義域、值域要寫(xiě)成區(qū)間的形式.13、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案為.14、【解析】,故填.15、【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)所以==．考點(diǎn)：本題主要考查分段函數(shù)的概念，計(jì)算三角函數(shù)值．點(diǎn)評(píng)：基礎(chǔ)題，理解分段函數(shù)的概念，代入計(jì)算．16、【解析】

有已知條件可得出，時(shí)，與題中的遞推關(guān)系式相減即可得出，且當(dāng)時(shí)也成立。【詳解】數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且所以，即時(shí)兩式相減得，所以（）當(dāng)時(shí)，適合上式，所以【點(diǎn)睛】本題考差有遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于一般題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】

（1）首先確定直線的斜率，從而得到直線的方程；因?yàn)辄c(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立兩條直線可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出；根據(jù)在直線上，在直線上，可構(gòu)造方程組，求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)截距相等，可分為截距為和不為兩種情況來(lái)分別求解出直線方程.【詳解】（1）由已知得：直線的方程為：，即：由，解得：的坐標(biāo)為（2）設(shè)，則則，解得：直線在軸、軸上的截距相等當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為把點(diǎn)代入，得：，解得：此時(shí)直線的方程為：當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為把點(diǎn)代入，得：，解得：此時(shí)直線的方程為直線的方程為：或【點(diǎn)睛】本題考查直線交點(diǎn)、直線方程的求解問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是在已知截距相等的情況下，忽略截距為零的情況，造成丟根.18、（1）；（2）【解析】

(1)由，且，可得當(dāng)也適合，；(2)∵19、(1)見(jiàn)證明；(2)；畫(huà)圖見(jiàn)解析【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，得出，得出，從而得到，進(jìn)而證出平面，由此證得平面平面．（2）根據(jù)通過(guò)輔助線推出線面平行再推出線線平行，再根據(jù)“一條和平面不平行的直線與平面的公共點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)”得到點(diǎn)位置，然后計(jì)算的值．【詳解】（1）證明：在長(zhǎng)方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，所以平面，則，在中，，在中，，所以，因?yàn)樵谥?，，所以，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）如圖所示：設(shè)，連接，取中點(diǎn)記為，過(guò)作，且，則.證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且；又因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，則；又因?yàn)?，所以，且平面，所以平面；又因?yàn)?，則，平面，即點(diǎn)為直線與平面的交點(diǎn)；因?yàn)?，所以，則；且有上述證明可知：四邊形為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．20、（1）；（2）【解析】

（1）分別求出，，，再代入公式求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到數(shù)量積為0，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，再求的值.【詳解】(1)，，，∴.(2)．若，則，解得.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積公式的應(yīng)用及兩向量垂直求參數(shù)的值，考查基本的運(yùn)算求