人大版微積分幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

莫興德廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院Email:moxingde@微積分第1頁(yè)鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第2頁(yè)參考書(shū)[1]趙樹(shù)嫄.微積分.中國(guó)人民出版社[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第3頁(yè)第五章

幾個(gè)特殊類(lèi)型函數(shù)積分第4頁(yè)幾個(gè)特殊類(lèi)型函數(shù)積分一、有理函數(shù)積分有理函數(shù)定義：兩個(gè)多項(xiàng)式商表示函數(shù)稱(chēng)之.第5頁(yè)假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式能夠化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.第6頁(yè)（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和普通規(guī)律：特殊地：分解后為第7頁(yè)注關(guān)于部分分式分解如對(duì)進(jìn)行分解時(shí)一項(xiàng)也不能少，因?yàn)橥ǚ趾蠓肿由鲜嵌囗?xiàng)式，可得到k個(gè)方程，定出k個(gè)系數(shù)，不然將會(huì)得到矛盾結(jié)果。比如第8頁(yè)但若矛盾第9頁(yè)（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第10頁(yè)真分式化為部分分式之和待定系數(shù)法例1第11頁(yè)代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2第12頁(yè)例3整理得第13頁(yè)例4求積分解第14頁(yè)例5求積分解第15頁(yè)例6求積分解令第16頁(yè)第17頁(yè)說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類(lèi)情況：多項(xiàng)式；討論積分令第18頁(yè)則記第19頁(yè)這三類(lèi)積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)原函數(shù)都是初等函數(shù).第20頁(yè)第21頁(yè)第22頁(yè)第23頁(yè)第24頁(yè)第25頁(yè)注意以上介紹雖是有理函數(shù)積分普遍方法，但對(duì)一個(gè)詳細(xì)問(wèn)題而言，未必是最簡(jiǎn)捷方法，應(yīng)首先考慮用其它簡(jiǎn)便方法。如使用湊微分法比較簡(jiǎn)單基本思緒盡可能使分母簡(jiǎn)單——降冪、拆項(xiàng)、同乘等化部分分式，寫(xiě)成份項(xiàng)積分可考慮引入變量代換第26頁(yè)三角有理式定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算組成函數(shù)稱(chēng)之．普通記為二、三角函數(shù)有理式積分第27頁(yè)令（萬(wàn)能置換公式）第28頁(yè)例7求積分解由萬(wàn)能置換公式第29頁(yè)第30頁(yè)例8求積分解（一）第31頁(yè)解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令第32頁(yè)解（三）能夠不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最正確方法,故三角有理式計(jì)算中先考慮其它伎倆,不得已才用萬(wàn)能置換.如第33頁(yè)若用萬(wàn)能代換，則化部分分式比較困難但若是湊微分，則比較簡(jiǎn)單基本思緒第34頁(yè)盡可能使分母簡(jiǎn)單——分子分母同乘，或使分母變成一項(xiàng)等盡可能使冪次降低萬(wàn)能代換例9求積分解第35頁(yè)第36頁(yè)第37頁(yè)第38頁(yè)第39頁(yè)第40頁(yè)討論類(lèi)型處理方法作代換去掉根號(hào).例10求積分解

三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分第41頁(yè)第42頁(yè)例11求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)最小公倍數(shù).第43頁(yè)例12求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式第44頁(yè)例13解一令第45頁(yè)解二第46頁(yè)令第47頁(yè)簡(jiǎn)單無(wú)理式積分.有理式分解成部分分式之和積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式積分.（