樣本相關(guān)系數(shù)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)+

8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)

通過觀察散點(diǎn)圖中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等.散點(diǎn)圖雖然直觀，但無法確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小.能否像引入均值、方差等數(shù)字?jǐn)?shù)字特征對(duì)單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣，引入一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？

問題導(dǎo)入

利用上述方法處理表中的數(shù)據(jù)，得到下圖.我們發(fā)現(xiàn)，這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào).顯然，這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的.新知探索

思考1：根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎？

思考2

Lxy的大小是否一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎?因?yàn)長xy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.為了消除度量單位的影響，需要對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理.我們用

樣本相關(guān)系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)化處理后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù):設(shè)其第一分量為設(shè)其第二分量為

樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢?新知探究

由此可見，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1，1],樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù),|r|刻畫了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度.當(dāng)r=0時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.新知探究

從樣本相關(guān)系數(shù)來看，圖(1)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度要比圖(2)中強(qiáng)一些；圖(3)和圖(4)中的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度很弱，其中圖(4)中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度極弱.

答案：較高.

例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).編號(hào)1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6

例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.編號(hào)1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).例2有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年內(nèi)收人的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.解:第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點(diǎn)圖，推斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同.

畫出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收人的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系.由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收入正線性相關(guān)，即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢(shì)，且相關(guān)程度很強(qiáng).例3.在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生，測(cè)得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如表所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖，分別如圖(1)和(2)所示，兩個(gè)散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征.

課堂小結(jié)：1.樣本相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②|r|≤1；③當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；特別地，當(dāng)|r|＝0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)|r|＝1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)都落在一條直線上.課堂練習(xí)1.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系?為什么?解：樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系.一般來說，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小則越不可靠.一個(gè)極端的情況是，無論兩個(gè)變量之間是什么關(guān)系，如果樣本量取2，則計(jì)算可得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值都是1(在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下)，顯然據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線性相關(guān)是不合理的.2.已知變量x和變量y的3對(duì)隨機(jī)觀測(cè)數(shù)據(jù)(2,2),(3,－1),(5,－7)，計(jì)算成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推斷這兩個(gè)變量線性相關(guān)嗎?為什么?解：由樣本數(shù)據(jù)可得雖然樣本相關(guān)系數(shù)為－1，三個(gè)樣本點(diǎn)在一條直線上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線性相關(guān)并不可靠.解:3.畫出下列成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù).據(jù)此，請(qǐng)你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)在刻畫成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系上的特點(diǎn).(1)(－2,－3),(－1,－1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；(3)(－2,－8),(－1,－1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27);(4)(2,0)

(1,),(0,2),(－1,),(－2,0).248x-4-320-213-16y-2??????515x2041310y?????20.51.5x-320-213-11y??????51020x-10-320-213-115y-5??????25樣本相關(guān)系數(shù)主要刻畫的是成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)的程度.4.隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下:解：由樣本數(shù)據(jù)可得正線性相關(guān)，相關(guān)性較強(qiáng)，銷售額與廣告支出的變化趨勢(shì)相同.超市ABCDEFG廣告支出/萬元1246101420銷售額/萬元19324440525354請(qǐng)推斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的特征.隨堂檢測(cè)1．兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度越低，則其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值(

) A．越小

B．越接近1 C．越接近0 D．越接近－1

解析由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知選C.

答案C2．給定y與x的一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r＝－0.690，則(

) A．y與x線性不相關(guān) B．y與x正線性相關(guān) C．y與x負(fù)線性相關(guān) D．以上都不對(duì)

解析因?yàn)閞＝－0.690<0，所以y與x負(fù)線性相關(guān)．

答案C3．(多選題)下列說法正確的是(

) A．變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系，因此因變量不能由自變量唯一確定 B．線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負(fù)的 C．如果r＝±1，說明x與y之間完全線性相關(guān) D．線性相關(guān)系數(shù)r∈(－1，1)

解析∵相關(guān)系數(shù)|r|≤1， ∴D錯(cuò)誤．

答案ABC4．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356已知記憶力x和判斷力y是線性相關(guān)的，求相關(guān)系數(shù)r.解列表如下ixiyixiyi16236412283649243105100255041261443672∑361634474158