2023年美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)家隊(duì)選拔考試試題

1到點(diǎn)A?,接著從點(diǎn)A?跳到點(diǎn)A?,直至跳到點(diǎn)A?022,再跳回點(diǎn)A?.當(dāng)從點(diǎn)P跳AK⊥BC.2g(n?+n?+…+n?0)≤f(n?)+f(n?)+…+f(n?0).6.設(shè)函數(shù)f:N+→N+,對(duì)任意m,n∈N+,定義II.解答與評(píng)注3=2022.A?=1,A?=1012,A?=2,A?=1013,·,A2021=1011=2022.t(A;,Ai+2)+l(A;,Ai+1)+C(Ai+1,Az+2)≤2022.>2022.兩點(diǎn)A?i-1,A?j-1使t(A?i-1,A2j-1)=1010.亦即S≤2042222.4題2如圖，在銳角△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，BE,CF△BME,△CMF外接圓兩條外公切線的交點(diǎn).若K在△ABCAKlBC.是高，設(shè)K是外接圓上.求證：組互反點(diǎn).則在反演下，有o(BME)=BE,o(CMF)=CH.記o(BME),o(CMF)兩條公切線為l?,C?.∠BHM=∠CHK'.又故B,H,C,K'共圓，于是BHCK'為調(diào)和四邊形.熟知∠HMC=∠K'MC,△BHM～K'BM,作H關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)Ko.則有BM2=MH·MK'=MK?·MK'=MK·MK'.o(ABC)交于同一點(diǎn)Q,去證明B,K,C,Q為調(diào)和四邊形，等等.也可以直接用復(fù)數(shù)法證明.5題3設(shè)函數(shù)f,g:N→N滿足：g(n?+n?+…+n?0)≤f(n?)+f(n?)+…+f(n?0).g(0)+g(1)+…+g(6000)=115440.g(0)+g(1)+…+g(6000)≤115440.且對(duì)n≥301,均有f(n)=0.T={a?<a?<…<at}={n|0≤n≤29g(6000)=g(5999)=.=g(20(at+1))≤0.6而g(20(at+1)-1)≤19f(at+1)+g(20(at+1)-2)≤19f(at+1)+f(g(20(at+1)-(at-at-1))≤19f(at+1)+f(at-1+1)=f(at).f(at)≥max{g(20(at+1)-1),g(g(20(at+1)-(at-at-1))}.2f(at)≥max{g(20(at+1)-(at-a20f(at)≥max{g(20(at+1)-19(at-ag(20(at+1)-20(at-at-1))}.f(at-1)+19f(at)≥max{g(202f(at-1)+18f(at)≥max{g(20(at-1+1)-(at-1-a20f(at-1)≥max{g(20(at-1+1)-19(at-1-ag(20(at-1+1)-20(at-1-at-2))}.7只需SB≤276,亦即Sc≥24.下證明Sc≥24.設(shè)A有t個(gè)凸拐點(diǎn).將A補(bǔ)齊為一個(gè)a×b矩形.因ab≥300,故a+b≥35.假設(shè)a+b-t≤23,這等價(jià)于8因此Sc≥Sc≥24.于是綜上，所求最大可能值為115440.評(píng)注困難的問(wèn)題.本題不能一上來(lái)就想通過(guò)調(diào)整法來(lái)求出每個(gè)g(k)取最小值的狀態(tài).事實(shí)上，當(dāng)猜出答案后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多時(shí)候其實(shí)只需要一個(gè)很松的放縮.同時(shí)，采取數(shù)形結(jié)合可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一組g(k)的方便計(jì)算的放縮，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為一個(gè)不算困難的組合幾何問(wèn)題.最后，凸拐點(diǎn)的處理技巧在2013年朝鮮數(shù)學(xué)奧林匹克的第6題中同樣出現(xiàn)過(guò)，有興趣的讀者可以自行查閱.題4對(duì)非負(fù)整數(shù)a,b,定義位異或運(yùn)算a田b,是唯一的非負(fù)整數(shù)，使得對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù)k,都是偶數(shù).求所有正整數(shù)a,使得對(duì)任意整數(shù)x>y≥0,都有解所求a為全體正偶數(shù).先確定a田b.設(shè)a=(atat-1··a?ao)2,b=(bt為a,b的二進(jìn)制表示.則有又因(mod2).9m≥(a+1)2>a(2°+1).故(mod2).評(píng)注較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，解出a田b是本題的關(guān)鍵部分.根據(jù)形式很自然地聯(lián)想到二進(jìn)制表示.此后的工作均無(wú)突出難點(diǎn).題5給定正整數(shù)m,n,甲乙兩人在無(wú)窮大的方格表中玩游戲，甲先秘密地在每個(gè)格中寫上一個(gè)實(shí)數(shù)，使得每個(gè)m×n和n×m矩形中所寫數(shù)之和為零.乙每次詢問(wèn)甲一個(gè)格中所寫的數(shù)，甲如實(shí)回答，如果某一時(shí)刻乙能確定每個(gè)格中所求使乙能獲勝的最少的詢問(wèn)次數(shù)，或證明有限次詢問(wèn)不能使乙獲勝.方格表中所寫數(shù)之和為0.假設(shè)乙詢問(wèn)了有限次并得知了一些方格內(nèi)的填數(shù)，甲不妨找到一個(gè)邊長(zhǎng)大于d且包含所有乙詢問(wèn)過(guò)的方格的正方形S,并將這其中的準(zhǔn)確填數(shù)全告訴乙.只需證明此時(shí)乙無(wú)法確定所有方格中的填數(shù).如上圖，取A為一個(gè)1×(d-1)區(qū)域.甲在其中填入d-1個(gè)變量x?,x?,…,Ta-1,則此時(shí)B中填數(shù)唯一確定.在S四邊上執(zhí)行相同操作.即可確定S周圍一格區(qū)域的填數(shù).易知這些填數(shù)是合法的.此后甲每次都按這個(gè)策略將當(dāng)前正方形周圍一格區(qū)域的填數(shù)確定，可得到一種合法的填數(shù)方式，但x?,X?,·,Xd-1是自由變量，故乙無(wú)法確定每個(gè)格子的填數(shù).對(duì)于方格D,取圖中黑框確定的矩形即可確定D中的填數(shù)，類似地，可以確定區(qū)域C中的填數(shù).設(shè)此時(shí)圖表上方m+n-2個(gè)方格中填數(shù)為x?,C?,…,Tm+n-2.下證這m+n-2個(gè)數(shù)是唯一確定的.事實(shí)上，只需證明以下矩陣是滿秩的.其中m>n,且前m-1行每行有n個(gè)1,后n-1行每行用m個(gè)1.設(shè)m=nq+r,對(duì)后n-1行中的每行，將其末尾ng個(gè)1改為0,則此時(shí)最后一行最后一個(gè)1出現(xiàn)在第n-2+r列，故第n-1+r列至第n+m-2列中非零行構(gòu)成一個(gè)下三角子式.刪除該下三角矩陣所在的行和列(各m-r=ng個(gè)),得到矩陣A'.上述變換等價(jià)于在A中刪去了一個(gè)行列式為1的分塊，故不斷操作下去，可知該操作過(guò)程等價(jià)于Euclid算法，故最后A化為對(duì)角矩陣E,構(gòu)造兩種填數(shù)C?與C?:C?的規(guī)則是每個(gè)1×m與m×1矩陣中填數(shù)之和題6設(shè)函數(shù)f:N+→N+,對(duì)任意m,n∈N+,定義k>max{f(a?),f(a?),…,f(a?N+2)}.ff(g(Qz)(a;)d[n-N,n+N],從而=g(g(m+1)+n)-g(g(n+1)+m).故有故即g(m+1)-m≠g(n+1)-n.則對(duì)取B使得g(B)+N≤B且g(B)>N.并令n=B-g(m+1),則對(duì)0