小學(xué)奧數(shù) 同余定理 知識點(diǎn)＋例題＋練習(xí) （分類全面）

教學(xué)內(nèi)容余數(shù)問題、同余定理

教學(xué)目標(biāo)掌握余數(shù)、同余問題

重點(diǎn)同余定理

難點(diǎn)同余定理

教學(xué)過程

一、帶余除法的定義及性質(zhì):

帶余除法模型：

如圖，這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為c捆

被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的

角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最

后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。

a本書

二、三大余數(shù)定理：

1.余數(shù)的加法定理

a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數(shù)等于4,即兩個(gè)

余數(shù)的和3+1.

當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。

例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,故23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5

的余數(shù)，即2.

2.余數(shù)的乘法定理

a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得

的余數(shù)。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1,所以23X16除以5的余數(shù)等于3X1=3。

當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。

例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以23X19除以5的余數(shù)等于3X4除以5

的余數(shù)，即2.

3.同余定理

若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示

為：a=b(modm),左邊的式子叫做同余式。

同余式讀作：a同余于b,模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：

若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被m整除

用式子表示為：如果有a三b(modm),那么一定有a—b=mk,k是整數(shù)

例1、用某自然數(shù)。去除1992,得到商是46,余數(shù)是「，求a和r.

鞏固、甲、乙兩數(shù)的和是1088,甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32,求甲、乙兩數(shù).

鞏固、一個(gè)兩位數(shù)除310,余數(shù)是37,求這樣的兩位數(shù)。

例2、有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是17,余數(shù)是13,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113,

2

則被除數(shù)是多少？

鞏固、用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和

是933,求這2個(gè)自然數(shù)各是多少？

例3、三個(gè)不同的自然數(shù)的和為2001,它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也

相同，這三個(gè)數(shù)是,_______,O

鞏固、一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3

3

倍，這個(gè)自然數(shù)是

例4、有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，

那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩

余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？

鞏固、一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6,除以11所得的余數(shù)是6,求這個(gè)兩位數(shù).

例5、有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).

4

鞏固、有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù).

鞏固、在小于100的自然數(shù)中，分別除以5及8所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)？（余數(shù)可以為0）

鞏固、在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)？（余數(shù)可以為

0）

例6、兩位自然數(shù)時(shí)與分。除以7都余1,并且a>b,求abxba.

5

鞏固、學(xué)校新買來118個(gè)乒乓球，67個(gè)乒乓球拍和33個(gè)乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分

給每個(gè)班級，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請問學(xué)校共有多少個(gè)班？

鞏固、在除13511,13903及14589時(shí)能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是

例7、求2461x135x6047*11的余數(shù).

鞏固、求478x296x351除以17的余數(shù).

6

鞏固、乘積17X354X409X672除以13的余數(shù)是多少？

鞏固、求723588+5770和723588X5770除以11的余數(shù)。

例8、73,216,227被某個(gè)數(shù)b除的余數(shù)相同，那么，108被這個(gè)數(shù)b除的余數(shù)是多少？

鞏固、有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除967,1000,2001得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多少？

例8、2助,與2019?的和除以7的余數(shù)是一

7

鞏固、、222-"一…2,除以13所得余數(shù)是

2000個(gè)"2"

鞏固、求14389除以7的余數(shù).

例9、求3333對S+5556儂被7除的余數(shù)。

鞏固、求1999.+323儂9被7除的余數(shù)。

8

鞏固、（3產(chǎn)+3臚）被13除所得的余數(shù)是多少？

例10、『+22+3?++200/+2002除以7的余數(shù)是多少？

例11、已知“=200820082008,問：a除以13所得的余數(shù)是多少？

2008個(gè)2008

9

鞏固、777…77除以41的余數(shù)是多少?

1996個(gè)7

例12、今天是星期二，問：再過99隧天是星期幾？

鞏固、今天是星期五，問：再過365憫天是星期幾?

10

課后練習(xí):

1、求乘積34X37X41X43除以13所得的余數(shù)。

2、2網(wǎng)被7除余幾？

3、今天是星期五，再過365蚓天是星期幾？

4、求6666…6（200個(gè)6）除以7所得的余數(shù)。

11

5、1997蚪+7的余數(shù)是多少?

6、有一列數(shù)1,2,4,7,