人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊專題強(qiáng)化練2利用空間向量研究空間中的角含答案

專題強(qiáng)化練2利用空間向量研究空間中的角1.(2022安徽合肥六中月考)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是邊AD,BC上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF,AC與EF交于點(diǎn)G,EF從AB向CD滑動(dòng),但與AB和CD均不重合.在EF任一確定位置,將四邊形EFCD沿直線EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,則隨著EF的滑動(dòng),下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A.∠AGC的大小不會(huì)發(fā)生變化B.AC與EF所成的角先變小后變大C.AC與平面ABFG所成的角變小D.二面角G-AC-B先變大后變小2.(2024江蘇宿遷泗陽期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,AC=BC=1,AA1=2,點(diǎn)M在線段AC1上,AM=λ(1)若∠B1MC為銳角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍;(2)若二面角M-B1C-B的余弦值為-663.(2024北京八中期中)羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖,五面體ABCDEF中,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形,其中EF∥AD∥BC,AD=4,EF=BC=AB=2,ED=10,M為AD的中點(diǎn),平面BCEF與平面ADEF交于EF.從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知,使得羨除ABCDEF能夠確定,然后解答下列問題.條件①:平面CDE⊥平面ABCD;條件②:平面ADEF⊥平面ABCD;條件③:EC=23.(1)求證:BM∥平面CDE;(2)求二面角B-AE-F的余弦值;(3)在線段AE上是否存在點(diǎn)Q,使得MQ與平面ABE所成角的正弦值為77?若存在,求出AQ答案與分層梯度式解析專題強(qiáng)化練2利用空間向量研究空間中的角1.D以E為原點(diǎn),EA,EF,ED所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,AE=a(0<a<1),則E(0,0,0),A(a,0,0),C(0,1,1-a),G(0,a,0),F(0,1,0),B(a,1,0).對于A,AG=(?a,a,0),則|cos∠AGC|=|AG故∠AGC的大小不會(huì)發(fā)生變化,所以A正確;對于B,AC=(?a,1,1?a),EF=(0,1,0),設(shè)AC與EF所成的角為θ,則cosθ=|AC對于C,平面ABFG的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),設(shè)AC與平面ABFG所成的角為θ,則sinθ=|cos<AC,m>|=|AC·m因?yàn)楫?dāng)a∈(0,1)時(shí),a+1a對于D,設(shè)平面AGC的一個(gè)法向量為n=(x1,y1,z1),則n令x1=1,則n=(1,1,-1),設(shè)平面ACB的一個(gè)法向量為p=(x2,y2,z2),又AB=(0,1,0),則p令z2=a,則p=(1-a,0,a),所以|cos<n,p>|=|=33設(shè)二面角G-AC-B的平面角為α,則α為鈍角,所以cosα=-33因?yàn)楫?dāng)a∈(0,1)時(shí),2a2-2a+1的值隨a的變大先變小后變大,所以cosα隨a的變大先變大后變小,故二面角G-AC-B先變小后變大,故D錯(cuò)誤.2.解析以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC設(shè)M(a,b,c),由AM=λAC-2λ).(1)因?yàn)椤螧1MC為銳角,所以cos<MB1,MC>(2)設(shè)平面CB1M的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n令z=1-λ,得n=(-2λ,2λ-2,1-λ).易知平面CB1B的一個(gè)法向量為m=(1,0,0).由題意得|cos<m,n>|=-2λ4所以M23所以AM=1-3.解析(1)證明:因?yàn)镸是AD的中點(diǎn),AD=4,所以MD=2,所以MD=BC.又MD∥BC,所以四邊形BCDM為平行四邊形,所以BM∥CD.又BM?平面CDE,CD?平面CDE,所以BM∥平面CDE.(2)選①:連接AC,作CS⊥AD于點(diǎn)S,則DS=1,AS=3,CS=3,AC=2連接ES,同理可得AE=32.因?yàn)锳C2+CD2=AD2,所以AC⊥CD.因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,AC?平面ABCD,所以AC⊥平面CDE.又EC?平面CDE,所以AC⊥EC,所以EC2=AE2-AC2=6,故EC=6,所以ED2=EC2+DC2,所以EC⊥DC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CA,CE所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,23,0),B(?1,3FE=(1,?設(shè)平面BAE的一個(gè)法向量為p=(a,b,c),則p取c=1,得p=-6設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為q=(x,y,z),則q取y=1,得q=(3,1,因?yàn)閜·q=-32所以二面角B-AE-F的余弦值為0.選②:取BC的中點(diǎn)N,EF的中點(diǎn)P,連接MP,MN,則MN⊥AD,PM⊥AD.因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,PM?平面ADEF,所以PM⊥平面ABCD.以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn),MN,MD,MP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-2,0),B(3,-1,0),E(0,1,3),所以BA=(?設(shè)平面BAE的一個(gè)法向量為n=(d,e,f),則n令d=3,則e=-3,f=3,所以n=(3,-3,3).易知m=(-1,0,0)是平面AEF的一個(gè)法向量.所以cos<m,n>=m·由圖可知,二面角B-AE-F為鈍二面角,所以二面角B-AE-F的余弦值為-77選③:取MD的中點(diǎn)G,連接CG,EG,則EG⊥AD,CG⊥AD.因?yàn)镋C=23,EG=3,CG=3,所以EC2=EG2+CG所