數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入高考數(shù)學總復習高中數(shù)學課時訓

數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

----—自主學習

Q基礎自測

1.（2008?浙江理）已知a是實數(shù)，W是純虛數(shù)，則2=.

答案1

2.（2009?海安高級中學高三第四次檢測）已知meR,復數(shù)工=則"二（m2+2m-3）i,若z對應的點位

m-1

于復平面的第二象限，則m的取值范圍是.

答案m<-3或l<m<2

3.滿足條件z|=|3+4i|的復數(shù)z在復平面上對應點的軌跡方程是.

答案x、yz=25

4.（2008?遼寧理）復數(shù)的虛部是______.

-2+i1-2i

答案I

5.設Z為復數(shù)z的共軻復數(shù)，若復數(shù)z同時滿足z-5=2i,5=iz^Uz=.

答案-1+i

—典例剖析?一

2

例1已知復數(shù)z=^~7。+6+（a.-5a-6）i（a￡R）,

a2-l

試求實數(shù)a分別取什么值時，z分別為：

（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

解（1）當z為實數(shù)時，

a2-5a-6=0

則有2

a-7a+6有意義'

a2-l

..」"=-1或"=6,.*6,即a=6時，z為實數(shù).

(2)當z為虛數(shù)時,

則有a2-5a-6^0且‘廠丁+6有意義，

a2-1

1?aWT且a#6且aH±1..?.aW±l且aW6.

???當aC(-oo,-l)U(-1,1)U(1,6)U(6,+8)時，z為虛數(shù).

a2-5。-6w0

（3）當z為純虛數(shù)時，有a2-la+6_*

-----------=U

.{aw-1且aw6

=6

???不存在實數(shù)a使z為純虛數(shù).

例2已知x,y為共扼復數(shù),且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.

解設x=a+bi(a,b￡R),則y=a-bi,

x+y=2a,xy二a'+b；

代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,

4a2=4

根據復數(shù)相等得

-3(a2+/?2)=-6

a=1ta-1分

解得或或

b=\b1

x=1-i

故所求復數(shù)為

y=1+i

x=—14-i1、x=-1-i

或或

y-1-iy=-1+i

例3計算:

(1)(-l+i)(2+i)(1+2i)2+3(l-i)

⑵

i32+i

1-i1+i1-V3i

⑶x(4)

(1+i)2(1-i)2（再旬2,

(-l+i)(2+i)W=T-3i.

解(1)

i3

(l+2i)2+3(l-i)_-3+4i+3-3i

⑵

2+i2+i

i,i(2-i)_1^2.

2+i555

1—i1+i1—i1+i

(3)------+------=——+——

(1+i)2(1-i)221-2i

⑷"6_（七+』-i）_-i

（百+i）2（4+產V3+i

_（-i）（V3-i）__l_V3

444

例4（14分）如圖所示，平行四邊形OABC,頂點0,A,C分別表示0,3+2i,-2+4i,

試求：

（1）AO,前所表示的復數(shù)；

（2）對角線石所表示的復數(shù)；

（3）求B點對應的復數(shù).

解(1)73=-蘇，.?.尉所表示的復數(shù)為-3-2i.3分

:反^=73,.?.正所表示的復數(shù)為-3-2i.6分

(2)不=蘇-5?,二3所表示的復數(shù)為

(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.9分

(.3)OB=OA+AB=OA+OC,

...而表示的復數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

即B點對應的復數(shù)為l+6i.14分

----—知能遷移一

1.已知m€R,復數(shù)z=機("'-2)+(m%2m-3)i,當m為何值時,(1)zdR；(2)z是純虛數(shù)；(3)z對應的點

in-1

位于復平面第二象限；(4)z對應的點在直線x+y+3=0上.

解(1)當z為實數(shù)時，則有m'+2m-3=0且mTWO

得m=-3,故當四二-3時，z￡R.

-------=U

(2)當z為純虛數(shù)時，則有(m-\

機2+2m-3工0.

解得m=0,或m=2.

???當HFO或m=2時，z為純虛數(shù).

(3)當z對應的點位于復平面第二象限時，

"7(*2).0

則有，m—\

w2+2w-3>0.

解得mV-3或lVmV2,故當mV-3或1VmV2時，z對應的點位于復平面的第二象限.

(4)當z對應的點在直線x+y+3=0上時，

則有型上工1+(-2+2口-3)+3=0,

tn-1

2

得，"("+2〃L4)R,解得mR或1n=-1土石.

m—\

...當m=0或M=T土石時，z對應的點在直線x+y+3=0上.

2

2.已知復數(shù)Zi=m+(4-m)i(mGR),Zz=2cos夕+(4+3sin夕)i(2eR).若zi=z2,求4的取值范圍.

2

解Vzi=z2,/.m+(4~m)i=2cos^+(2+3sin0)i,

tn=2cos0

{42=4+3sin。

2=4-m2-3sin0=4-4cos20-3sin0

a9

=4sin"0-3sin^=4(sin)2--,

816

二一lWsineWl,

39

???當sin夕=一時，A,ain=——；當sin?！?時，A,所『7,

816

9

，二W4W7.

16

3.計算下列各題

(1)(—+」i)3(4+5i)

(5-4iXl-i)

解⑴(■+li)3(4+5i)_2后(l+i)3i(5-4i)

(5-4iXl-i)(5-4i)(l-i)

=2技1+=拒i(1+j)，=五i[(1+i)2]2

2

=71i(2i)J拉i.

⑵-26+i/拉Y°°)i(l+2國力也丫

=i+px251>.3=i+i3=i_i=0

4.已知關于x的方程(6+i)x+9+ai=0(aeR)有實數(shù)根b.

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)若復數(shù)z滿足|Z-a-bi|-2|z|=0,求z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.

解(1)：b是方程X?-(6+i)x+9+ai=0(a￡R)的實根,

(b2-6b+9)+(a-b)i=0,

故產-6b+9=0解得@巾=3.

\a=b

(2)設z=x+yi(x,y￡R),

由Iz-3-3i|=2|z|,

得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),

即(x+1)2+(y-1)2=8.

???Z點的軌跡是以Q(-1,1)為圓心，2貶為半徑的圓.

如圖，當Z點在0(1的連線上時，z|有最大值或最小值.

,.-100.1=72,半徑r=2亞，

???當Z=l-i時，Z|有最小值且|z|nin=V^.

活頁作業(yè)

一、填空題

1.（2008?天津理）i是虛數(shù)單位，匚出工=

i-1----------------------

答案T

2.（2008?廣東文）已知0VaV2,復數(shù)z=a+i（i是虛數(shù)單位），則|z的取值范圍是.

答案（1,石）

3.（2008?山東文）設z的共軌復數(shù)是若z+5=4,z?z=8,則三=.

Z

答案士i

4.若（a-2i）i=b-i,其中a、bdR,i是虛數(shù)單位，則/+b三.

答案5

5.在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是l+2i,-2+i,0,則第四個頂點對應的復數(shù)

為.

答案T+3i

6.設a是實數(shù)，且，是實數(shù)，則@=

1+i2----------

答案1

7.（2008?北京理，9）已知（a-i），=2i,其中i是虛數(shù)單位，那么實數(shù)2=.

答案T

8.（2008?湖北理,11）設z,是復數(shù)，z尸（其中一表示z,的共聊復數(shù)），已知z2的實部是-1,則4

的虛部為.

答案1

二、解答題

9.已知z2=8+6i,求z3-16z--^.

解原式=Z416Z2-1QQ=①-8）2-]64=⑹9-164

ZZZ

=--200,=-2..0..0..z...=-_2_0_0_z_

Z五國2'

z|2=z1=|8+6i|=io,又由d=8+6i=[±（3+i）]2,

.?.z=±（3+i）,當z=3+i時，原式=-60+20i：

當z=-3-i時，原式=60-20i.

10.已知z是復數(shù)，z+2i、=均為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復數(shù)（z+ai）2在復平面上對應的點在第一象

2-1

限，求實數(shù)a的取值范圍.

解設z=x+yi（x、y￡R）,

.*.z+2i=x+（y+2）i,由題意得y=-2.

—=^21=-（x-2i）（2+i）

2-i2-i5

=-（2x+2）+-（x-4）i.

55

由題意得x=4,.*.z=4-2i.

A（z+ai）2=（12+4a-a2）+8（a-2）i,

由于（z+aiT在復平面對應的點在第?象限，

所以2+4。-滔>0,解得2VaV6,

[8(a-2)>0

???實數(shù)a的取值范圍是(2,6).

11.是否存在復數(shù)z,使其滿足2?z+2i5=3+ai(a￡R),如果存在，求出z的值；如果不存在，說明理由.

解設z=x+yi(x,yGR),則/+/+21(x-yi)=3+ai.

.Jx2+y2+2y=3

，9[2x=a

2

消去x得y2+2y+g--3=0,A=16-a2.

4

當且僅當a|W4時，復數(shù)z存在，

2

11na2±\16-?.

此時z=—-------------------1.

22

12.設z