《概率統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用》課件第一章 隨機(jī)事件與概率

第一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件第二節(jié)隨機(jī)事件的概率第三節(jié)古典概型第四節(jié)條件概率第五節(jié)事件的獨(dú)立性第一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行的大量重復(fù)觀察或試驗(yàn),稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn),用E表示.隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具備以下三個(gè)特征:(1)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),但在試驗(yàn)之前,能明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).二、樣本空間為了研究隨機(jī)試驗(yàn),首先要知道這個(gè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果有哪些.隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果組成的集合稱(chēng)為樣本空間,一般用字母S表示,每一個(gè)可能的結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn),常用ω表示,即S={ω}.在討論一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)時(shí),首先要確定它的樣本空間,對(duì)一個(gè)具體的試驗(yàn)來(lái)說(shuō),其樣本空間可以由試驗(yàn)的具體內(nèi)容來(lái)確定.三、隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中,人們不僅關(guān)心某個(gè)樣本點(diǎn)是否出現(xiàn),更關(guān)心滿(mǎn)足某一特定條件的樣本點(diǎn)是否出現(xiàn).例如,在隨機(jī)試驗(yàn)E2中,人們可能會(huì)關(guān)心“正面朝上的次數(shù)不少于兩次”這一事件是否發(fā)生了,也可能關(guān)心事件“至少出現(xiàn)一次正面”是否發(fā)生了.滿(mǎn)足某一特定條件的樣本點(diǎn)構(gòu)成了樣本空間S的子集.一般,樣本空間的子集稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件,通常用大寫(xiě)字母A,B,C等來(lái)表示.在一次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)的結(jié)果為隨機(jī)事件中的某一個(gè)元素時(shí),稱(chēng)這一事件發(fā)生.特別地,由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集,稱(chēng)為基本事件.樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn),它是自身的子集,在每次試驗(yàn)中都發(fā)生,稱(chēng)為必然事件.空集?不包含任何樣本點(diǎn),它也是樣本空間的子集,在任何一次試驗(yàn)中均不發(fā)生,稱(chēng)為不可能事件.必然事件和不可能事件都沒(méi)有隨機(jī)性,但為了今后研究的方便,還是把它們作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形來(lái)處理.四、事件的關(guān)系與運(yùn)算我們已經(jīng)知道了樣本空間是包含了所有可能結(jié)果的集合,隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集.大家知道,集合之間是可以運(yùn)算的,因此隨機(jī)事件之間也可以進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算.事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可按集合之間的關(guān)系與運(yùn)算來(lái)處理.我們需要清楚這些關(guān)系與運(yùn)算所代表的概率意義,能正確地將集合論中的符號(hào)翻譯成概率論的語(yǔ)言.事件的關(guān)系和運(yùn)算也可以用韋恩(Venn)圖來(lái)形象地表示,如圖1.1所示.設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,A,B,Ai(i=1,2,…)是隨機(jī)事件,也就是S的子集.我們用矩形表示樣本空間S,用圓A與圓B分別表示事件A與B.1.事件的關(guān)系(1)包含關(guān)系(A?B)屬于A的樣本點(diǎn)一定屬于B,則稱(chēng)事件B包含事件A,記為A?B或B?A.在概率論中,A?B表示事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生.(2)相等關(guān)系(A=B).若事件A,B滿(mǎn)足:屬于A的樣本點(diǎn)必屬于B,而且屬于B的樣本點(diǎn)必屬于A,即A?B且B?A,則稱(chēng)事件A與B相等,記為A=B.從集合論觀點(diǎn)看,兩個(gè)事件相等就意味著這兩個(gè)事件是同一集合.(3)互不相容關(guān)系.若AB=?,則稱(chēng)事件A與事件B互不相容(或互斥).顯然,此時(shí)事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生.基本事件是兩兩互不相容的.2.事件的運(yùn)算(1)事件A與B的并(A∪B).事件A∪B={x|x∈A或x∈B}稱(chēng)為事件A與事件B的和事件或并事件.當(dāng)且僅當(dāng)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),事件A∪B發(fā)生.(2)事件A與B的交(A∩B).事件A∩B={x|x∈A且x∈B}稱(chēng)為事件A與B的交事件或積事件.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)事件A與B都發(fā)生時(shí),事件A∩B發(fā)生.A∩B也記作AB.(3)事件A與B的差(A-B)事件A-B={x|x∈A且x?B}稱(chēng)為事件A與B的差事件.當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B不發(fā)生時(shí),事件A-B發(fā)生.(4)對(duì)立關(guān)系:若AB=?且A∪B=S,則稱(chēng)事件A與事件B為對(duì)立關(guān)系,又稱(chēng)事件A與事件B互為(對(duì)立)逆事件.這指的是事件A,B在一次試驗(yàn)中要么A發(fā)生,要么B發(fā)生,兩事件中有且僅有一個(gè)發(fā)生.五、事件的運(yùn)算規(guī)律我們已經(jīng)看到事件的運(yùn)算實(shí)際上就是集合的運(yùn)算,因此,事件的運(yùn)算和集合的運(yùn)算滿(mǎn)足一樣的運(yùn)算規(guī)律.設(shè)A,B,C為事件,則有(1)交換律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(2)結(jié)合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C(3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(4)對(duì)偶律:第二節(jié)隨機(jī)事件的概率一、頻率定義1在相同的條件下,進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn),設(shè)在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生了nA次,比值稱(chēng)為事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率,記作fn(A),即由頻率的定義易見(jiàn),頻率具有以下基本性質(zhì):(1)非負(fù)性:fn(A)≥0.(2)規(guī)范性:fn(S)=1.(3)有限可加性:若A1,A2,…,Am兩兩不相容,則二、概率在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率fn(A)所穩(wěn)定的常數(shù),稱(chēng)為事件A的概率.定義2設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間.如果對(duì)于其中每一個(gè)事件A,存在一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),其滿(mǎn)足下列條件:(1)非負(fù)性:對(duì)于任意事件A,總有P(A)≥0;(2)規(guī)范性:對(duì)于必然事件S,P(S)=1;(3)可列可加性:若事件A1,A2,…,An,…兩兩不相容,則則稱(chēng)P(A)為事件A的概率.該定義稱(chēng)為概率的公理化定義,這三條性質(zhì)是概率的三個(gè)基本屬性,概率論的全部理論都是建立在上面的三條公理的基礎(chǔ)之上的.由上述的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì):性質(zhì)1不可能事件的概率為0,即P(?)=0.性質(zhì)2有限可加性:對(duì)于n個(gè)兩兩互不相容的事件A1,A2,…,An,有性質(zhì)3對(duì)任意一個(gè)事件A,有性質(zhì)4當(dāng)事件A,B滿(mǎn)足B?A時(shí),

P(A-B)=P(A)-P(B)

P(A)≥P(B)性質(zhì)5對(duì)于任一事件B,總有P(B)≤1性質(zhì)6任意事件A,B滿(mǎn)足加法公式,即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).第三節(jié)古典概型如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足:(1)樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限(有限性);(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生等可能(等可能性).一般把這類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型或等可能概型.在實(shí)際應(yīng)用中,我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷基本事件是否等可能發(fā)生.設(shè)古典概型的樣本空間S包含n個(gè)樣本點(diǎn),隨機(jī)事件A中含有k(k≤n)個(gè)樣本點(diǎn),則隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為因此要計(jì)算古典概型中任一隨機(jī)事件的概率,關(guān)鍵是要計(jì)算樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)和該隨機(jī)事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),這些計(jì)算常常需要利用排列組合的知識(shí).第四節(jié)條件概率一、條件概率在研究概率問(wèn)題時(shí),有時(shí)要考慮在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,記作P(A|B).定義1設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(B)>0,稱(chēng)為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.二、條件概率的三大計(jì)算公式1.乘法公式由條件概率的定義可得到一個(gè)非常有用的公式,這就是概率的乘法公式.乘法公式設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(B)>0,則有P(AB)=P(B)P(A|B)(1-3)類(lèi)似地,若P(A)>0,則有P(AB)=P(A)P(B|A)

(1-4)乘法公式可以推廣到有限多個(gè)事件的情形,如果A1,A2,…,An為n個(gè)事件,且P(A1A2…An-1)>0,則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)特別地,對(duì)于A,B,C三個(gè)事件,當(dāng)P(AB)>0時(shí),有P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)2.全概率公式將復(fù)雜事件分解成一些較容易計(jì)算的情況分別進(jìn)行考慮,可以化繁為簡(jiǎn),這就是全概率公式的思想.(i)完備事件組設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,B1,B2,…,Bn是S的一組隨機(jī)事件,滿(mǎn)足(1)BiBj=?(i≠j,i,j=1,2,…,n);(2)∪ni=1Bi=S.則稱(chēng)B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)完備事件組.若B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個(gè)完備事件組,那么,對(duì)于每次試驗(yàn),事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.(ii)定理1設(shè)B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)完備事件組,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n)則對(duì)于任意的隨機(jī)事件A,有我們稱(chēng)式(15)為全概率公式.利用全概率公式可以將求復(fù)雜事件的概率問(wèn)題分為若干互不相容的簡(jiǎn)單事件的概率問(wèn)題來(lái)處理.3.貝葉斯公式貝葉斯(Bayes)公式設(shè)B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)完備事件組,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)于任意的隨機(jī)事件A,有貝葉斯公式又稱(chēng)為逆概率公式,在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有多方面的應(yīng)用.這里B1,B2,…,Bn可以看作導(dǎo)致A發(fā)生的“原因”.P(Bi|A)是在事件A發(fā)生的條件下,某個(gè)“原因”Bi發(fā)生的概率,稱(chēng)為“后驗(yàn)概率”;P(Bi)稱(chēng)為“先驗(yàn)概率”.貝葉斯公式的意義在于:在出現(xiàn)一個(gè)新的補(bǔ)充事件條件下,重新修正對(duì)原有事件Bi的概率的估計(jì),計(jì)算出后驗(yàn)概率P(Bi|A).第五節(jié)事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念,兩個(gè)事件之間的獨(dú)立性是指一個(gè)事件的發(fā)生與否不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率.一、兩事件的獨(dú)立性定義1設(shè)A,B為兩事件,如果滿(mǎn)足等式P(AB)=P(A)P(B)則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱(chēng)A與B獨(dú)立.按照這個(gè)定義,必然事件S和不可能事件?與任何事件獨(dú)立.此外,由于A與B的位置對(duì)稱(chēng),如果A與B相互獨(dú)立,則B與A也相互獨(dú)立.結(jié)論1設(shè)A,B為兩事件,且P(B)>0,則A與B相互獨(dú)立的充要條件是P(A|B)=P(A).同理,若P(A)>0,則A與B相互獨(dú)的充要條件是令P(B)=P(BA).結(jié)論2若A,B相互獨(dú)立,則與B,A與,與也相互獨(dú)立.結(jié)論3若P(A|B)=P(A|),則A與B相互獨(dú)立.二、n個(gè)事件的獨(dú)立性定義2設(shè)有n個(gè)事件A1,A2,…,An,對(duì)于任意的整數(shù)k(k≤n),k=2,3,…,n都有P(Ai1,Ai2,…,Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),且1≤i1<i2…<ik≤n

(1-8)則稱(chēng)A1,A2,…,An相互獨(dú)立.特別地,若n=3,則A,B,C三個(gè)事件相互獨(dú)立需滿(mǎn)足以下等式:由上面4個(gè)等式容易看