隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)

關(guān)于隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)2定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可顯化為函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無法將表達(dá)成的顯式表達(dá)式.顯化.第2頁,共29頁，星期六，2024年，5月32.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導(dǎo).變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導(dǎo)第3頁,共29頁，星期六，2024年，5月4隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)解第4頁,共29頁，星期六，2024年，5月5

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達(dá)式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導(dǎo),

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要記住x是自變量,將方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),就得到一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),第5頁,共29頁，星期六，2024年，5月6解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy第6頁,共29頁，星期六，2024年，5月7例2.解第7頁,共29頁，星期六，2024年，5月8例3.求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導(dǎo)故切線方程為即第8頁,共29頁，星期六，2024年，5月練習(xí)解在題設(shè)方程兩邊同時(shí)對自變量求導(dǎo),得解得求由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.在點(diǎn)處于是,在點(diǎn)處的切線方程為即第9頁,共29頁，星期六，2024年，5月10對數(shù)求導(dǎo)法1.方法:2.適用范圍:先在兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出y的導(dǎo)數(shù).適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù).例如冪指函數(shù)：兩端對x求導(dǎo)：第10頁,共29頁，星期六，2024年，5月11例.解等式兩邊取對數(shù)得也可這樣求:第11頁,共29頁，星期六，2024年，5月12例.解等式兩邊取對數(shù)得第12頁,共29頁，星期六，2024年，5月13另例兩邊取對數(shù)兩邊對

x求導(dǎo)第13頁,共29頁，星期六，2024年，5月二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?第14頁,共29頁，星期六，2024年，5月由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得第15頁,共29頁，星期六，2024年，5月?由于思考與討論:則第16頁,共29頁，星期六，2024年，5月17若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得第17頁,共29頁，星期六，2024年，5月例.解

所求切線方程為第18頁,共29頁，星期六，2024年，5月例求由擺線的參數(shù)方程所表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).t一個(gè)圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡稱為擺線．第19頁,共29頁，星期六，2024年，5月解第20頁,共29頁，星期六，2024年，5月練習(xí)：解第21頁,共29頁，星期六，2024年，5月22例.拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則第22頁,共29頁，星期六，2024年，5月23拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向第23頁,共29頁，星期六，2024年，5月三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題:已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?第24頁,共29頁，星期六，2024年，5月25為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對

t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第25頁,共29頁，星期六，2024年，5月26例.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m時(shí),觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升

t

分后其高度為h

,仰角為

,則兩邊對

t求導(dǎo)已知

h=500m時(shí),第26頁,共29頁，星期六，2024年，5月27思考題:當(dāng)氣球升至500m

時(shí)停住,有一觀測者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為500m時(shí),仰角的增加率是多少?提示:

對

t求導(dǎo)已知求第27頁,共29頁，星期六，2024年，5月28試求當(dāng)容器內(nèi)水例.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度