備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第51講　事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

第51講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式練習(xí)1A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題(選對(duì)方法，事半功倍)1.(2022·開封模擬)某盞吊燈上并聯(lián)著4個(gè)燈泡，如果在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)燈泡能正常照明的概率都是0.8，那么在這段時(shí)間內(nèi)該吊燈上的燈泡至少有兩個(gè)能正常照明的概率是()A.0.8192 B.0.9728C.0.9744 D.0.99842.已知P(A)>0，P(B|A)＋P(eq\x\to(B))＝1，則事件A與事件B()A.互斥 B.對(duì)立C.相互獨(dú)立 D.以上均不正確3.每年的6月6日是全國(guó)愛眼日，某位志愿者跟蹤調(diào)查電子產(chǎn)品對(duì)視力的影響，據(jù)調(diào)查，某高校大約有45%的學(xué)生近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天操作電子產(chǎn)品超過(guò)1h，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天操作電子產(chǎn)品不超過(guò)1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則這名學(xué)生近視的概率為()A.eq\f(7,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,16) D.eq\f(1,4)4.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉．某?；@球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)，如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為eq\f(3,4)，如果他前一球沒投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為eq\f(1,4).若他第1球投進(jìn)的概率為eq\f(3,4)，則他第2球投進(jìn)的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16) D.eq\f(9,16).二、多項(xiàng)選擇題(練—逐項(xiàng)認(rèn)證，考—選確定的)5.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1,2,3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%，則下列選項(xiàng)正確的有()A.任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品的概率為0.06B.任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525C.如果取到的零件是次品，且是第2臺(tái)車床加工的概率為eq\f(2,7)D.如果取到的零件是次品，且是第3臺(tái)車床加工的概率為eq\f(2,7)6.甲箱中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以A1，A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是()A.A1，A2互斥B.P(B|A2)＝eq\f(2,3)C.事件B與事件A2相互獨(dú)立D.P(B)＝eq\f(9,14)三、填空題(精準(zhǔn)計(jì)算，整潔表達(dá))7.冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，醫(yī)務(wù)工作者行動(dòng)會(huì)更方便．研究人員得到石墨烯后，在制作石墨烯發(fā)熱膜時(shí)有三個(gè)環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層．每個(gè)環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為eq\f(2,3)，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立，則成功生產(chǎn)出質(zhì)量合格的發(fā)熱膜的概率為________．8.拋擲3個(gè)骰子，事件A＝“三個(gè)骰子向上的點(diǎn)數(shù)互不相同”，事件B＝“其中恰好有一個(gè)骰子向上的點(diǎn)數(shù)為2”，則P(A|B)＝________.9.已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題，學(xué)生小王能完整做對(duì)其中5道題，在剩下的3道題中，有2道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對(duì)的概率為eq\f(3,4)，沒有思路的題只好從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案．若小王從這8題中任選1題，則他做對(duì)的概率為________．四、解答題(讓規(guī)范成為一種習(xí)慣)10.(2022·濟(jì)寧模擬)甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃比賽，在距籃筐3米線內(nèi)設(shè)一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處投中一球得2分，不中得0分；在距籃筐3米線外設(shè)一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處投中一球得3分，不中得0分．已知甲、乙兩人在A處投中的概率都是eq\f(1,2)，在B處投中的概率都是eq\f(1,3)，且在A，B兩處投中與否相互獨(dú)立，規(guī)定甲、乙兩人先在A處各投籃一次，然后在B處各投籃一次，總得分高者獲勝．(1)求甲投籃總得分ξ的分布列；(2)求甲獲勝的概率．11.2022年北京冬奧會(huì)的志愿者中，來(lái)自甲、乙、丙三所高校的人數(shù)分別為：甲高校學(xué)生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學(xué)生志愿者6名，教職工志愿者3名；丙高校學(xué)生志愿者5名，教職工志愿者4名．(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工的概率；(2)先從三所高校中任選一所，再?gòu)倪@所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職工志愿者的概率．B組滾動(dòng)小練12.(2023·聊城期中)已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(10,3)，ab＝ba，則a＋b＝________.13.在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，an＋an＋1＝2n＋1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．第51講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式練習(xí)2A組夯基精練一、單項(xiàng)選擇題(選對(duì)方法，事半功倍)1.(2022·日照三模)若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，任何事件都對(duì)應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積，則如圖所示的陰影部分的面積表示()(第1題)A.事件A發(fā)生的概率B.事件B發(fā)生的概率C.事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率D.事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率2.(2022·泰安二模)已知盒子中裝有形狀、大小完全相同的五張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5，現(xiàn)每次從中任意取一張，取出后不再放回，若抽取三次，則在前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,8)3.(2022·惠州模擬)甲罐中有5個(gè)紅球、3個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球．整個(gè)取球過(guò)程分兩步，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用A1，A2表示由甲罐取出的球是紅球、白球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出兩球，分別用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“兩球都為紅球”“兩球?yàn)橐患t一白”的事件，則下列結(jié)論中不正確的是()A.P(B|A1)＝eq\f(10,21) B.P(C|A2)＝eq\f(4,7)C.P(B)＝eq\f(19,42) D.P(C)＝eq\f(43,84)4.(2022·柳州三模)某班數(shù)學(xué)老師和同學(xué)們進(jìn)行一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：班長(zhǎng)先確定班上參與游戲的5名同學(xué)并按順序排好，每位同學(xué)手里均有5張除顏色外無(wú)其他區(qū)別的卡片，第k(k＝1,2,3,4,5)位同學(xué)手中有k張紅色卡片，5－k張白色卡片．老師任選其中一位同學(xué)，并且從該同學(xué)的手中隨機(jī)連續(xù)取出兩張卡片，若第二次取出的卡片為白色，則老師獲勝，否則學(xué)生獲勝，老師獲勝的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)二、多項(xiàng)選擇題(練—逐項(xiàng)認(rèn)證，考—選確定的)5.(2022·武漢模擬)一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體4個(gè)表面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，拋擲該正四面體兩次，記事件M＝“第一次向下的數(shù)字為1或2”，事件N＝“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是()A.事件M發(fā)生的概率為eq\f(1,2)B.事件M與事件N互斥C.事件M與事件N相互獨(dú)立D.事件M＋N發(fā)生的概率為eq\f(1,2)6.(2022·襄陽(yáng)模擬)英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB).某高校有甲、乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲、乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學(xué)()A.第二天去甲餐廳的概率為0.54B.第二天去乙餐廳的概率為0.44C.第二天去甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為eq\f(5,9)D.第二天去乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為eq\f(4,9)三、填空題(精準(zhǔn)計(jì)算，整潔表達(dá))7.(2022·邯鄲模擬)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記事件A＝“兩枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之積均為偶數(shù)”，事件B＝“兩枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和均為奇數(shù)”，則P(B|A)＝________.8.(2022·武漢期初)一電器商城出售的某種家電產(chǎn)品來(lái)自甲、乙、丙三家工廠，這三家工廠的產(chǎn)品比例為1∶2∶1，且它們的產(chǎn)品合格率分別為96%,95%,98%，現(xiàn)從該商城的這種家電產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則取到的產(chǎn)品是合格品的概率為________．9.(2022·臨沂三模)某足球隊(duì)在對(duì)球員的使用上進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)三個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.3,0.5,0.2，當(dāng)甲球員在相應(yīng)位置時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4,0.2,0.6.據(jù)此判斷當(dāng)甲球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為________．四、解答題(讓規(guī)范成為一種習(xí)慣)10.(2022·泰安模擬)某百科知識(shí)競(jìng)賽的半決賽階段，每?jī)扇艘唤M進(jìn)行PK，勝者晉級(jí)決賽，敗者終止比賽．比賽最多有三局，第一局限時(shí)答題，第二局快問(wèn)快答，第三局搶答．比賽雙方首先各自進(jìn)行一局限時(shí)答題，依據(jù)答對(duì)題目數(shù)量，答對(duì)多者獲勝，比賽結(jié)束，答對(duì)數(shù)量相等視為平局，則需進(jìn)入快問(wèn)快答局；若快問(wèn)快答平局，則需進(jìn)入搶答局，兩人進(jìn)行搶答，搶答沒有平局．已知甲、乙兩位選手在半決賽相遇，且在與乙選手的比賽中，甲限時(shí)答題局獲勝與平局的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，快問(wèn)快答局獲勝與平局的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，搶答局獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局比賽相互獨(dú)立．(1)求甲至多經(jīng)過(guò)兩局比賽晉級(jí)決賽的概率；(2)已知乙最后晉級(jí)決賽，但不知甲、乙兩人經(jīng)過(guò)幾局比賽，求乙恰好經(jīng)過(guò)三局比賽才晉級(jí)決賽的概率．11.(2023·麗水、湖州、衢州11月聯(lián)考)自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié)．自主招生是學(xué)生通過(guò)高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流大學(xué)建設(shè)高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)(也稱強(qiáng)基計(jì)劃)．下表是某高校從2018年起至2022年通過(guò)自主招生或強(qiáng)基計(jì)劃在部分專業(yè)的招生人數(shù)：年份數(shù)學(xué)物理化學(xué)總計(jì)201847617201958518202069520202187621202298623請(qǐng)根據(jù)表格回答下列問(wèn)題．(1)統(tǒng)計(jì)表明招生總數(shù)和年份間有較強(qiáng)的線性關(guān)系．記x為年份與2017的差，y為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2023年的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))；(2)在強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對(duì)2020年強(qiáng)基計(jì)劃錄取結(jié)果進(jìn)行抽檢，此次抽檢從這20名學(xué)生中隨機(jī)選取3位學(xué)生進(jìn)行評(píng)審．記選取到數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì)該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占76%，五年畢業(yè)的占16%，六年畢業(yè)的占8%.現(xiàn)從2018到2022年間通過(guò)上述方式被該校錄取的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，若該生是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，求該生恰好在2025年畢業(yè)的概率．附：在y＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))中，eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(