江蘇省南京市玄武區(qū)溧水中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

江蘇省南京市玄武區(qū)溧水中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．為了了解某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中1000名學(xué)生的成績(jī),從中抽取一個(gè)容量為100的樣本,則每名學(xué)生成績(jī)?nèi)霕拥臋C(jī)會(huì)是()A． B． C． D．2．設(shè)為銳角三角形，則直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值是（）A．10 B．8 C．4 D．23．將正整數(shù)排列如下：123456789101112131415……則圖中數(shù)出現(xiàn)在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列4．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．設(shè)，滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．7．已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于A(yíng)． B． C． D．8．已知，是兩個(gè)變量，下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，，雖負(fù)相關(guān)趨勢(shì)的是（）A． B．C． D．9．下面的程序運(yùn)行后，輸出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．5410．已知圓與直線(xiàn)切于點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則________.12．如圖，已知，，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則向量_______（用，表示向量）13．如圖，在三棱錐中，它的每個(gè)面都是全等的正三角形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，分別記與，所成角為，，則的取值范圍為_(kāi)_________．14．?dāng)?shù)列an滿(mǎn)足12a115．甲船在島的正南處，，甲船以每小時(shí)的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船自出發(fā)以每小時(shí)的速度向北偏東的方向駛?cè)?，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.16．已知數(shù)列{}滿(mǎn)足，若數(shù)列{}單調(diào)遞增，數(shù)列{}單調(diào)遞減，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為_(kāi)___.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知集合，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前三項(xiàng)滿(mǎn)足.（1）求通項(xiàng)公式；（2）若是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，記，試用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)（用含的式子表示）18．已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．(1)求的表達(dá)式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明(3)解不等式：．19．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．求證：（1）直線(xiàn)∥平面；（2）平面平面．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)在的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.21．己知向量，，設(shè)函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

因?yàn)殡S機(jī)抽樣是等可能抽樣，每名學(xué)生成績(jī)被抽到的機(jī)會(huì)相等,都是.故選A.2、B【解析】

令，得直線(xiàn)在x、y軸上的截距，求得三角形面積并利用二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得面積最小值即可.【詳解】令得直線(xiàn)在y軸上的截距為，令得直線(xiàn)在x軸上的截距為，其圍成的三角形面積：，求S的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，因?yàn)闉殇J角，所以，當(dāng)時(shí)取最小值?1，則，故圍成三角形面積最小值為8.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程與三角函數(shù)二倍角公式的應(yīng)用，綜合題性較強(qiáng)，屬于中等題.3、B【解析】

計(jì)算每行首個(gè)數(shù)字的通項(xiàng)公式，再判斷出現(xiàn)在第幾列，得到答案.【詳解】每行的首個(gè)數(shù)字為：1,2,4,7,11…利用累加法：計(jì)算知：數(shù)出現(xiàn)在第行列故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，計(jì)算首數(shù)字的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】

連結(jié)，由，可知異面直線(xiàn)與所成角是，分別求出，然后利用余弦定理可求出答案.【詳解】連結(jié)，因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成角是，在中，，，，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線(xiàn)的夾角，考查了利用余弦定理求角，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.5、D【解析】

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，再利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.【詳解】由，可得中點(diǎn)又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo).6、A【解析】如圖，過(guò)時(shí)，取最小值，為。故選A。7、C【解析】

根據(jù)條件即可求出，從而可求出，，，然后可設(shè)與的夾角為，從而可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】，；，，；設(shè)與的夾角為，則；又，，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的定義運(yùn)用，向量的模的求法，以及利用數(shù)量積求向量夾角．8、C【解析】由圖可知C選項(xiàng)中的散點(diǎn)圖描述了隨著的增加而減小的變化趨勢(shì)，故選C9、D【解析】

根據(jù)程序語(yǔ)言的作用，模擬程序的運(yùn)行結(jié)果，即可得到答案．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，退出循環(huán)，輸出的值為1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用模擬程序執(zhí)行過(guò)程求輸出結(jié)果，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

利用點(diǎn)與圓心連線(xiàn)的直線(xiàn)與所求直線(xiàn)垂直，求出斜率，即可求過(guò)點(diǎn)與圓C相切的直線(xiàn)方程；【詳解】圓可化為：，顯然過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)不與圓相切，則點(diǎn)與圓心連線(xiàn)的直線(xiàn)斜率為，則所求直線(xiàn)斜率為，代入點(diǎn)斜式可得，整理得。故選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7500【解析】

討論的奇偶性，分別化簡(jiǎn)遞推公式，根據(jù)等差數(shù)列的定義得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求.【詳解】當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，＝﹣1，由，得，所以，，，…，…是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，＝1，由，得，所以，，，…，…是首項(xiàng)為，以4為公差的等差數(shù)列，則，所以.故答案為：7500【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的化簡(jiǎn)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，也考查了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．12、【解析】

先求得，然后根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)，求得.【詳解】依題意，由于分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量減法運(yùn)算，考查三角形中位線(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

作交于，連接，可得是與所成的角根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，作交于，同理可得，根據(jù)，的關(guān)系即可得解.【詳解】解：作交于，連接，因?yàn)槿忮F中，它的每個(gè)面都是全等的正三角形，為正三角形，，，是與所成的角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)．作交于，同理可得，則，∵，∴，得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，屬于中檔題.14、14,n=1【解析】

試題分析：這類(lèi)問(wèn)題類(lèi)似于Sn=f(an)的問(wèn)題處理方法，在12a1+122a2+...+1.考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式.15、【解析】

根據(jù)條件畫(huà)出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸及可求解出最值.【詳解】假設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當(dāng)小時(shí)時(shí)甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是通過(guò)題意將示意圖畫(huà)出來(lái)，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.16、【解析】

分別求出{}、{}的通項(xiàng)公式，再統(tǒng)一形式即可得解?！驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意，又單調(diào)遞減，{}單調(diào)遞減增…①…②①+②,得，故代入，有成立，又…③…④③+④，得，故代入，成立。，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用，考查了分類(lèi)思想和運(yùn)算能力，屬于難題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）觀(guān)察式子特點(diǎn)可知，只有2,4,8三項(xiàng)符合等比數(shù)列特征，再根據(jù)題設(shè)條件求解即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式表示出，再采用分組求和法化簡(jiǎn)的表達(dá)式即可【詳解】（1）由題可知，只有2,4,8三項(xiàng)符合等比數(shù)列特征，又，故，故，；（2），，所以【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的用法，分組求和法的應(yīng)用，屬于中檔題18、（1）（2）見(jiàn)證明；（3）【解析】

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義得到，檢驗(yàn)得到答案.(2)，判斷關(guān)系得到答案.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】解：（1）∵函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函數(shù)；（3）不等式：，以2為底單調(diào)遞增，即，∴，解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義，函數(shù)的奇偶性，解不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，證得，利用線(xiàn)面平行的判定定理，即可證得直線(xiàn)∥平面；（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理，證得，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．在中，，分別為，中點(diǎn)，則且，又四邊形為矩形，為中點(diǎn)，且，所以，故四邊形為平行四邊形，從而，又，，所以直線(xiàn)．（2）因?yàn)榫匦危?，又平面，面，，所以，又，則，又，，所以，又，所以平面平面．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線(xiàn)面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型：(1)證明線(xiàn)面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行；(2)證明線(xiàn)面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；(3)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直．20、(1)；(2)或【解析】

（1）根據(jù)二倍角公式進(jìn)行整理化簡(jiǎn)可得，從而可得最小正周期；（2）將通過(guò)換元的方式變?yōu)?，；討論?duì)稱(chēng)軸的具體位置，分別求解最大值，從而建立方程求得的值.【詳解】（1）最小正周期（2）令，則由得①當(dāng)，即時(shí)當(dāng)時(shí)，由，解得（舍去)②當(dāng)，即時(shí)當(dāng)時(shí)，由得，解得或（舍去）③當(dāng)，即時(shí)當(dāng)時(shí)，，由，解得綜上，或【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)最小正周期的求解、利用二次函數(shù)性質(zhì)求解與三角函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題，解題關(guān)鍵是通過(guò)換元的方式將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，再利用對(duì)稱(chēng)軸的位置進(jìn)行討論；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略了換元后自變量的取值范圍.21、（1）最大值為2，此時(shí)；最小值為－1，此時(shí).（2）【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)公式，列出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)，求解函數(shù)解析式，當(dāng)時(shí)，解出的范圍，根據(jù)三