專(zhuān)題05 不等式與不等式組（4個(gè)概念1個(gè)性質(zhì)4個(gè)解法2個(gè)應(yīng)用專(zhuān)練）原卷版-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專(zhuān)題05不等式與不等式組（4個(gè)概念1個(gè)性質(zhì)4個(gè)解法2個(gè)應(yīng)用專(zhuān)練）4個(gè)概念【考查題型一】不等式（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式．（2）凡是用不等號(hào)連接的式子都叫做不等式．常用的不等號(hào)有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù)．【例1】．（2024春?西安校級(jí)月考）在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，不等式的個(gè)數(shù)是（）①﹣3＜0；②a+b＜0；③x＝3；④x≠5；⑤x+2＞y+3．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】．（2024春?碑林區(qū)校級(jí)月考）梁老師在黑板上寫(xiě)了下列式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-2】．（2024春?渾南區(qū)期中）一袋牛奶的包裝盒上標(biāo)重（200±2）g，則這袋牛奶的實(shí)際重量x滿(mǎn)足（）A．x＝200g B．x＝202g C．x＝202g或198g D．198g≤x≤202g【變式1-3】．（2023秋?澧縣期末）網(wǎng)課期間，琪琪同學(xué)花整數(shù)元購(gòu)買(mǎi)了一個(gè)手機(jī)支架，讓同學(xué)們猜價(jià)格．甲說(shuō)：“至少20元”，乙說(shuō)“至多18元”，丙說(shuō)：“至多15元”．琪琪說(shuō)：“你們都猜錯(cuò)了．”則這個(gè)支架的價(jià)格為（）A．15元 B．18元 C．19元 D．20元【考查題型二】一元一次不等式（1）一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個(gè)未知數(shù)且未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號(hào)連接，而一元一次方程是用等號(hào)連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．【例2】．（2024春?順義區(qū)校級(jí)月考）下列是一元一次不等式的有（）x＞0，1x＜-1，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-1】．（2024春?蚌埠月考）下列各式中是一元一次不等式的是（）A．4x﹣1＞0 B．3＞﹣1 C．2x﹣1＞y+1 D．2【變式2-2】．（2024春?海安市期中）如圖，將兩個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式的解集表示在同一數(shù)軸上則這兩個(gè)不等式的公共解集為（）A．x≥﹣1 B．x＞3 C．﹣1≤x＜3 D．x＜3【變式2-3】．（2024?涼州區(qū)二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為．【考查題型三】一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的定義：幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組．（2）概念解析形式上和方程組類(lèi)似，就是用大括號(hào)將幾個(gè)不等式合起來(lái)，就組成一個(gè)一元一次不等式組．但與方程組也有區(qū)別，在方程組中有幾元一般就有幾個(gè)方程，而一元一次不等式組中不等式的個(gè)數(shù)可以是兩個(gè)及以上的任意幾個(gè)．【例3】．下列不等式組：①x＞-2x＜3；②x＞0x+2A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式3-1】．下列不等式組：①x＞-2x＜3，②x＞0x+2其中一元一次不等式組的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式3-2】下列各式不是一元一次不等式組的是（）A．x-1＞3xC．3x-5＞【變式3-3】．（2022春?濰坊期中）寫(xiě)出一個(gè)解集為﹣1≤x＜2的一元一次不等式組．【考查題型四】不等式（組）的解或解集（1）不等式的解的定義：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)解集．（3）解不等式的定義：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系不等式的解是一些具體的值，有無(wú)數(shù)個(gè)，用符號(hào)表示；不等式的解集是一個(gè)范圍，用不等號(hào)表示．不等式的每一個(gè)解都在它的解集的范圍內(nèi)．【例4】．（2024春?碭山縣月考）不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＜12 C．a(chǎn)＜-12【變式4-1】．（2024春?霍邱縣月考）不等式-6A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式4-2】．（2024春?競(jìng)秀區(qū)期中）關(guān)于x的不等式組x＞5xA．m＝5 B．m＞5 C．m＜5 D．m≤5【變式4-3】．（2024春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知a，b為非零實(shí)數(shù)，下面四個(gè)不等式組中，解集有可能為﹣1＜x＜2的是（）A．a(chǎn)x＜1bx＜1 B．a(chǎn)x＞1bx1個(gè)性質(zhì)【考查題型五】不等式性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個(gè)數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項(xiàng)”，此時(shí)不等號(hào)方向不變，但移項(xiàng)要變號(hào)；②兩邊都乘、除同一個(gè)數(shù)，要注意只有乘、除負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向才改變．【規(guī)律方法】1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問(wèn)題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號(hào)的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對(duì)字母是否大于0進(jìn)行分類(lèi)討論．2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．【例5】．（2024春?文山市月考）如果a＞b，則下列式子正確的是（）A．a(chǎn)﹣3＜b﹣3 B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a(chǎn)【變式5-1】．（2024春?文山市月考）若不等式ax＞a可化為x＜1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)≠0 D．a(chǎn)≤0【變式5-2】．（2024春?利辛縣月考）下列說(shuō)法：①若a﹣3＞b﹣3，則a＞b；②若a2＞a，則a＞1；③若a＞b，則a（a﹣b）＞b（a﹣b）；④若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【便是5-3】．（2024春?南岸區(qū)期中）已知x＜y，則下列各式中一定成立的是（）A．x﹣y＞0 B．xm2＜ym2 C．x2-1＜y2-24個(gè)解法【考查題型六】一元一次不等式的解法根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號(hào)方向，其他都不會(huì)改變不等號(hào)方向．注意：符號(hào)“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號(hào)與等號(hào)合寫(xiě)形式．【例6】．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)月考）解下列不等式：（1）2﹣5x≥8﹣2x；（2）x+5【變式6-1】．（2024春?惠陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）解不等式2x+1＜﹣3，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【變式6-2】．（2024春?鄲城縣期中）關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+y=1+3ax+3y=1-【變式6-3】．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b約定關(guān)于?的一種運(yùn)算如下：a?b＝2a+b．例如：（﹣3）?2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．（1）若x滿(mǎn)足（x+2）?3＞7，求x的取值范圍；（2）若x?（﹣y）＝5，且2y?x＝7，求x+y的值．【考查題型七】一元一次不等式組的解法（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過(guò)程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．【例7】．（2024春?道里區(qū)校級(jí)月考）閱讀材料，解決問(wèn)題．解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0．由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”有①3x-6＞解不等式組①得x＞2，解不等式組②得x＜﹣2．所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．（1）直接寫(xiě)出不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是；（2）求不等式5x【變式7-1】．（2024?中衛(wèi)模擬）解不等式組：3x【變式7-2】．（2024春?市中區(qū)校級(jí)期中）解不等式（組），并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．（1）2x（2）解不等式組5x【變式7-3】．（2024春?南崗區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x，y的方程組x+y=【考查題型八】一元一次不等式的整數(shù)解解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對(duì)于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問(wèn)題．【例8】．（2024春?雁塔區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x的不等式2x+23＞xA．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．-1＜m≤-【變式8-1】．（2024?渭南二模）解不等式2x【變式8-2】．（2024春?太湖縣期中）計(jì)算：（1）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+y=1-mx+2y=2的解滿(mǎn)足（2）若關(guān)于x的不等式2x+23＜x【變式8-3】．（2024春?蚌埠月考）已知關(guān)于x的方程x﹣a﹣1＝0．（1）若該方程的解滿(mǎn)足x≤2，求a的取值范圍；（2）若該方程的解是不等式1-x+62【考查題型九】一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對(duì)于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對(duì)結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．【例9】．（2024?西安模擬）解不等式組：4x【變式9-1】．（2024?大冶市模擬）求不等式組x≤3【變式9-2】．（2024?涼州區(qū)二模）若a、b、c是△ABC的三邊，且a、b滿(mǎn)足關(guān)系式|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c是不等式組x-3＞【變式9-3】．（2024春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）新定義：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱(chēng)該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程x﹣1＝3的解為x＝4，而不等式組x-1＞2x+2＜7的解集為3＜x＜5，不難發(fā)現(xiàn)x＝4在3＜x＜5的范圍內(nèi)，所以方程（1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣8＝0；③x-12+1=x中，關(guān)于x的不等式組（2）若關(guān)于x的方程2x﹣k＝6是不等式組3x+1≥2x（3）若關(guān)于x的方程x+72=3m是關(guān)于x的不等式組x+32個(gè)應(yīng)用【考查題型十】一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫(xiě)出符合題意的解．【例10】．（2024春?沙坪壩區(qū)期中）振興鄉(xiāng)村，打造特色農(nóng)產(chǎn)品，沙坪壩區(qū)中梁鎮(zhèn)政府組織銷(xiāo)售“詩(shī)意田園，中梁好物”特色農(nóng)產(chǎn)品A，B兩種禮盒，端午節(jié)前預(yù)售A禮盒400盒和B禮盒100盒，且預(yù)售中B禮盒的售價(jià)是A禮盒售價(jià)的2倍．（1）若預(yù)售總額不少于21000元，則每盒A禮盒的預(yù)售價(jià)最少是多少元？（2）沙坪壩區(qū)中梁鎮(zhèn)政府在端午節(jié)三天假期間計(jì)劃推出A禮盒3200盒，B禮盒800盒．由于預(yù)售的火爆，決定將A禮盒的價(jià)格在（1）中最低價(jià)格的基礎(chǔ)上增加157a%，而B(niǎo)禮盒在（1）中的售價(jià)上增加了a元，結(jié)果A禮盒的銷(xiāo)售量比計(jì)劃少40%，B【變式10-1】．（2024春?利辛縣月考）少年強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)！隨著雙減政策的落地實(shí)施，某校結(jié)合實(shí)際，開(kāi)設(shè)了多門(mén)特色課程．為了更好地開(kāi)展三大球類(lèi)活動(dòng)，學(xué)校計(jì)劃再次采購(gòu)足球、籃球和排球共100個(gè)，其中籃球的個(gè)數(shù)是足球2倍，價(jià)格如表所示．設(shè)足球的個(gè)數(shù)為x．（1）完成表格：管小共足球籃球排球單價(jià)（元）9012060個(gè)數(shù)（個(gè)）x總價(jià)（元）90x（2）若要求排球的個(gè)數(shù)不少于足球的2倍，求最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)足球？（3）若要求采購(gòu)的總資金不超過(guò)7500元，求最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)足球？【變式10-2】．（2024春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）某校為開(kāi)設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購(gòu)買(mǎi)了A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人模型．已知A型機(jī)器人模型的單價(jià)比B型機(jī)器人模型的單價(jià)多200元，購(gòu)買(mǎi)5臺(tái)A型機(jī)器人模型的費(fèi)用比購(gòu)買(mǎi)7臺(tái)B型機(jī)器人模型的費(fèi)用多400元．（1）求A型、B型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？（2）若學(xué)校需購(gòu)進(jìn)兩種機(jī)器人共40臺(tái)，總費(fèi)用不超過(guò)18000元，那么至多可以購(gòu)進(jìn)A型機(jī)器人多少臺(tái)？（列不等式解決問(wèn)題）【變式10-3】．（2024春?道里區(qū)校級(jí)月考）蘇寧電器商店銷(xiāo)售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為190元、160元的A、B兩種型號(hào)的電飯鍋，下表是近兩天的銷(xiāo)售情況：銷(xiāo)售時(shí)段銷(xiāo)售數(shù)量銷(xiāo)售收入A種型號(hào)B種型號(hào)第一天2臺(tái)6臺(tái)1840元第二天5臺(tái)7臺(tái)2840元（1）求A、B兩種型號(hào)電飯鍋的銷(xiāo)售單價(jià)分別是多少；（2）現(xiàn)超市準(zhǔn)備再次采購(gòu)這兩種型號(hào)的電飯鍋共40臺(tái)且全部售出后，利潤(rùn)不低于2660元，求A種型號(hào)的電飯鍋至少要采購(gòu)多少臺(tái)？【考查題型十一】一元一次不等式組的應(yīng)用對(duì)具有多種不等關(guān)系的問(wèn)題，考慮列一元一次不等式組，并求解．一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：（1）分析題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；（3）解不等式組；（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；（5）作答．【例11】．（2024春?蚌埠月考）市青少年宮決定組織學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，若每位老師帶16名學(xué)生，還剩28名學(xué)生沒(méi)人帶；若每位老師帶18名學(xué)生，就有一位老師少帶4名學(xué)生．現(xiàn)有甲，乙兩種大客車(chē)，它們的載客量和租金如下表所示．計(jì)劃此次研學(xué)活動(dòng)的租車(chē)總費(fèi)用不超過(guò)3100元，為了安全，每輛客車(chē)上至少要有2名老師．客車(chē)甲種乙種載客量（人/輛）3042租金（元/輛）300400（1）求參加此次研學(xué)活動(dòng)的老師有多少人？參加此次研學(xué)活動(dòng)的學(xué)生有多少人？（2）既要保證所有師生都有車(chē)坐，又要保證每輛客車(chē)上至少要有2名老師，請(qǐng)直接寫(xiě)出租用客車(chē)的輛數(shù)；（3）你能得出哪幾種不同的租車(chē)方案？其中哪種租車(chē)方案最省錢(qián)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式11-1】．（2024春?安溪縣期中）某茶葉經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種茶葉共80件，若甲種茶葉進(jìn)價(jià)為每件120元，乙種茶葉進(jìn)價(jià)為每件100元．已知3件甲種茶葉和2件乙種茶葉的售價(jià)共900元；1件甲種茶葉和4件乙種茶葉的售價(jià)共8