專題05 不等式與不等式組(4個概念1個性質(zhì)4個解法2個應(yīng)用專練)原卷版-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點大串講(人教版)_第1頁
專題05 不等式與不等式組(4個概念1個性質(zhì)4個解法2個應(yīng)用專練)原卷版-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點大串講(人教版)_第2頁
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專題05不等式與不等式組(4個概念1個性質(zhì)4個解法2個應(yīng)用專練)4個概念【考查題型一】不等式(1)不等式的概念:用“>”或“<”號表示大小關(guān)系的式子,叫做不等式,用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式.(2)凡是用不等號連接的式子都叫做不等式.常用的不等號有“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”.另外,不等式中可含未知數(shù),也可不含未知數(shù).【例1】.(2024春?西安校級月考)在下列數(shù)學(xué)表達式中,不等式的個數(shù)是()①﹣3<0;②a+b<0;③x=3;④x≠5;⑤x+2>y+3.A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【變式1-1】.(2024春?碑林區(qū)校級月考)梁老師在黑板上寫了下列式子:①3<5;②4x+5>0;③x=3;④x2+x;⑤x≠4;⑥x+2>x+1.其中是不等式的有()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【變式1-2】.(2024春?渾南區(qū)期中)一袋牛奶的包裝盒上標(biāo)重(200±2)g,則這袋牛奶的實際重量x滿足()A.x=200g B.x=202g C.x=202g或198g D.198g≤x≤202g【變式1-3】.(2023秋?澧縣期末)網(wǎng)課期間,琪琪同學(xué)花整數(shù)元購買了一個手機支架,讓同學(xué)們猜價格.甲說:“至少20元”,乙說“至多18元”,丙說:“至多15元”.琪琪說:“你們都猜錯了.”則這個支架的價格為()A.15元 B.18元 C.19元 D.20元【考查題型二】一元一次不等式(1)一元一次不等式的定義:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.(2)概念解析一方面:它與一元一次方程相似,即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次,但也有不同,即它是用不等號連接,而一元一次方程是用等號連接.另一方面:它與不等式有區(qū)別,不等式中可含、可不含未知數(shù),而一元一次不等式必含未知數(shù).但兩者也有聯(lián)系,即一元一次不等是屬于不等式.【例2】.(2024春?順義區(qū)校級月考)下列是一元一次不等式的有()x>0,1x<-1,2x<﹣2+x,x+y>﹣3,x=﹣1,A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【變式2-1】.(2024春?蚌埠月考)下列各式中是一元一次不等式的是()A.4x﹣1>0 B.3>﹣1 C.2x﹣1>y+1 D.2【變式2-2】.(2024春?海安市期中)如圖,將兩個關(guān)于x的一元一次不等式的解集表示在同一數(shù)軸上則這兩個不等式的公共解集為()A.x≥﹣1 B.x>3 C.﹣1≤x<3 D.x<3【變式2-3】.(2024?涼州區(qū)二模)若(m﹣2)x|m|﹣1>5是關(guān)于x的一元一次不等式,則m的值為.【考查題型三】一元一次不等式組(1)一元一次不等式組的定義:幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起,就組成了一個一元一次不等式組.(2)概念解析形式上和方程組類似,就是用大括號將幾個不等式合起來,就組成一個一元一次不等式組.但與方程組也有區(qū)別,在方程組中有幾元一般就有幾個方程,而一元一次不等式組中不等式的個數(shù)可以是兩個及以上的任意幾個.【例3】.下列不等式組:①x>-2x<3;②x>0x+2A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【變式3-1】.下列不等式組:①x>-2x<3,②x>0x+2其中一元一次不等式組的個數(shù)是()A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【變式3-2】下列各式不是一元一次不等式組的是()A.x-1>3xC.3x-5>【變式3-3】.(2022春?濰坊期中)寫出一個解集為﹣1≤x<2的一元一次不等式組.【考查題型四】不等式(組)的解或解集(1)不等式的解的定義:使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.(2)不等式的解集:能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍,叫做不等式的解的集合,簡稱解集.(3)解不等式的定義:求不等式的解集的過程叫做解不等式.(4)不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系不等式的解是一些具體的值,有無數(shù)個,用符號表示;不等式的解集是一個范圍,用不等號表示.不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi).【例4】.(2024春?碭山縣月考)不等式(2a﹣1)x<2(2a﹣1)的解集是x>2,則a的取值范圍是()A.a(chǎn)<0 B.a(chǎn)<12 C.a(chǎn)<-12【變式4-1】.(2024春?霍邱縣月考)不等式-6A.3個 B.4個 C.5個 D.6個【變式4-2】.(2024春?競秀區(qū)期中)關(guān)于x的不等式組x>5xA.m=5 B.m>5 C.m<5 D.m≤5【變式4-3】.(2024春?鼓樓區(qū)校級期中)已知a,b為非零實數(shù),下面四個不等式組中,解集有可能為﹣1<x<2的是()A.a(chǎn)x<1bx<1 B.a(chǎn)x>1bx1個性質(zhì)【考查題型五】不等式性質(zhì)(1)不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)或同一個含有字母的式子,不等號的方向不變,即:若a>b,那么a±m(xù)>b±m(xù);②不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,即:若a>b,且m>0,那么am>bm或am③不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變,即:若a>b,且m<0,那么am<bm或am(2)不等式的變形:①兩邊都加、減同一個數(shù),具體體現(xiàn)為“移項”,此時不等號方向不變,但移項要變號;②兩邊都乘、除同一個數(shù),要注意只有乘、除負數(shù)時,不等號方向才改變.【規(guī)律方法】1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題:在不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)時,一定要改變不等號的方向;當(dāng)不等式的兩邊要乘以(或除以)含有字母的數(shù)時,一定要對字母是否大于0進行分類討論.2.不等式的傳遞性:若a>b,b>c,則a>c.【例5】.(2024春?文山市月考)如果a>b,則下列式子正確的是()A.a(chǎn)﹣3<b﹣3 B.3a<3b C.﹣a>﹣b D.a(chǎn)【變式5-1】.(2024春?文山市月考)若不等式ax>a可化為x<1,則a的取值范圍是()A.a(chǎn)>0 B.a(chǎn)<0 C.a(chǎn)≠0 D.a(chǎn)≤0【變式5-2】.(2024春?利辛縣月考)下列說法:①若a﹣3>b﹣3,則a>b;②若a2>a,則a>1;③若a>b,則a(a﹣b)>b(a﹣b);④若a>b,c>d,則a+c>b+d.其中正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【便是5-3】.(2024春?南岸區(qū)期中)已知x<y,則下列各式中一定成立的是()A.x﹣y>0 B.xm2<ym2 C.x2-1<y2-24個解法【考查題型六】一元一次不等式的解法根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同,都有如下步驟:①去分母;②去括號;③移項;④合并同類項;⑤化系數(shù)為1.以上步驟中,只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3,即可能變不等號方向,其他都不會改變不等號方向.注意:符號“≥”和“≤”分別比“>”和“<”各多了一層相等的含義,它們是不等號與等號合寫形式.【例6】.(2024春?南崗區(qū)校級月考)解下列不等式:(1)2﹣5x≥8﹣2x;(2)x+5【變式6-1】.(2024春?惠陽區(qū)校級期中)解不等式2x+1<﹣3,并把解集在數(shù)軸上表示出來.【變式6-2】.(2024春?鄲城縣期中)關(guān)于x,y的二元一次方程組3x+y=1+3ax+3y=1-【變式6-3】.(2024春?南崗區(qū)校級月考)對于任意實數(shù)a、b約定關(guān)于?的一種運算如下:a?b=2a+b.例如:(﹣3)?2=2×(﹣3)+2=﹣4.(1)若x滿足(x+2)?3>7,求x的取值范圍;(2)若x?(﹣y)=5,且2y?x=7,求x+y的值.【考查題型七】一元一次不等式組的解法(1)一元一次不等式組的解集:幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.(2)解不等式組:求不等式組的解集的過程叫解不等式組.(3)一元一次不等式組的解法:解一元一次不等式組時,一般先求出其中各不等式的解集,再求出這些解集的公共部分,利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.方法與步驟:①求不等式組中每個不等式的解集;②利用數(shù)軸求公共部分.解集的規(guī)律:同大取大;同小取??;大小小大中間找;大大小小找不到.【例7】.(2024春?道里區(qū)校級月考)閱讀材料,解決問題.解一元二次不等式(3x﹣6)(2x+4)>0.由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘,同號得正”有①3x-6>解不等式組①得x>2,解不等式組②得x<﹣2.所以一元二次不等式(3x﹣6)(2x+4)>0的解集是x>2或x<﹣2.(1)直接寫出不等式(2x+8)(2﹣x)<0的解集是;(2)求不等式5x【變式7-1】.(2024?中衛(wèi)模擬)解不等式組:3x【變式7-2】.(2024春?市中區(qū)校級期中)解不等式(組),并把解集在數(shù)軸上表示出來.(1)2x(2)解不等式組5x【變式7-3】.(2024春?南崗區(qū)校級月考)關(guān)于x,y的方程組x+y=【考查題型八】一元一次不等式的整數(shù)解解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件,再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解.可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結(jié)合,得到需要的值,進而非常容易的解決問題.【例8】.(2024春?雁塔區(qū)校級月考)關(guān)于x的不等式2x+23>xA.﹣3≤m<﹣2 B.﹣3<m≤﹣2 C.-1<m≤-【變式8-1】.(2024?渭南二模)解不等式2x【變式8-2】.(2024春?太湖縣期中)計算:(1)已知關(guān)于x,y的二元一次方程組2x+y=1-mx+2y=2的解滿足(2)若關(guān)于x的不等式2x+23<x【變式8-3】.(2024春?蚌埠月考)已知關(guān)于x的方程x﹣a﹣1=0.(1)若該方程的解滿足x≤2,求a的取值范圍;(2)若該方程的解是不等式1-x+62【考查題型九】一元一次不等式組的整數(shù)解(1)利用數(shù)軸確定不等式組的解(整數(shù)解).解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件,再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解.(2)已知解集(整數(shù)解)求字母的取值.一般思路為:先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等,然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式,最后解代數(shù)式即可得到答案.【例9】.(2024?西安模擬)解不等式組:4x【變式9-1】.(2024?大冶市模擬)求不等式組x≤3【變式9-2】.(2024?涼州區(qū)二模)若a、b、c是△ABC的三邊,且a、b滿足關(guān)系式|a﹣2|+(b﹣5)2=0,c是不等式組x-3>【變式9-3】.(2024春?鼓樓區(qū)校級期中)新定義:若某一元一次方程的解在某一元一次不等式組解集范圍內(nèi),則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”,例如:方程x﹣1=3的解為x=4,而不等式組x-1>2x+2<7的解集為3<x<5,不難發(fā)現(xiàn)x=4在3<x<5的范圍內(nèi),所以方程(1)在方程①3(x+1)﹣x=9;②4x﹣8=0;③x-12+1=x中,關(guān)于x的不等式組(2)若關(guān)于x的方程2x﹣k=6是不等式組3x+1≥2x(3)若關(guān)于x的方程x+72=3m是關(guān)于x的不等式組x+32個應(yīng)用【考查題型十】一元一次不等式的應(yīng)用(1)由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式,建立解決問題的數(shù)學(xué)模型,通過解不等式可以得到實際問題的答案.(2)列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系.因此,建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.(3)列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟:①弄清題中數(shù)量關(guān)系,用字母表示未知數(shù).②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.③解不等式,求出解集.④寫出符合題意的解.【例10】.(2024春?沙坪壩區(qū)期中)振興鄉(xiāng)村,打造特色農(nóng)產(chǎn)品,沙坪壩區(qū)中梁鎮(zhèn)政府組織銷售“詩意田園,中梁好物”特色農(nóng)產(chǎn)品A,B兩種禮盒,端午節(jié)前預(yù)售A禮盒400盒和B禮盒100盒,且預(yù)售中B禮盒的售價是A禮盒售價的2倍.(1)若預(yù)售總額不少于21000元,則每盒A禮盒的預(yù)售價最少是多少元?(2)沙坪壩區(qū)中梁鎮(zhèn)政府在端午節(jié)三天假期間計劃推出A禮盒3200盒,B禮盒800盒.由于預(yù)售的火爆,決定將A禮盒的價格在(1)中最低價格的基礎(chǔ)上增加157a%,而B禮盒在(1)中的售價上增加了a元,結(jié)果A禮盒的銷售量比計劃少40%,B【變式10-1】.(2024春?利辛縣月考)少年強則中國強!隨著雙減政策的落地實施,某校結(jié)合實際,開設(shè)了多門特色課程.為了更好地開展三大球類活動,學(xué)校計劃再次采購足球、籃球和排球共100個,其中籃球的個數(shù)是足球2倍,價格如表所示.設(shè)足球的個數(shù)為x.(1)完成表格:管小共足球籃球排球單價(元)9012060個數(shù)(個)x總價(元)90x(2)若要求排球的個數(shù)不少于足球的2倍,求最多可以購買多少個足球?(3)若要求采購的總資金不超過7500元,求最多可以購買多少個足球?【變式10-2】.(2024春?朝陽區(qū)校級月考)某校為開設(shè)智能機器人編程的校本課程,購買了A、B兩種型號的機器人模型.已知A型機器人模型的單價比B型機器人模型的單價多200元,購買5臺A型機器人模型的費用比購買7臺B型機器人模型的費用多400元.(1)求A型、B型機器人模型的單價分別是多少元?(2)若學(xué)校需購進兩種機器人共40臺,總費用不超過18000元,那么至多可以購進A型機器人多少臺?(列不等式解決問題)【變式10-3】.(2024春?道里區(qū)校級月考)蘇寧電器商店銷售每臺進價分別為190元、160元的A、B兩種型號的電飯鍋,下表是近兩天的銷售情況:銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一天2臺6臺1840元第二天5臺7臺2840元(1)求A、B兩種型號電飯鍋的銷售單價分別是多少;(2)現(xiàn)超市準備再次采購這兩種型號的電飯鍋共40臺且全部售出后,利潤不低于2660元,求A種型號的電飯鍋至少要采購多少臺?【考查題型十一】一元一次不等式組的應(yīng)用對具有多種不等關(guān)系的問題,考慮列一元一次不等式組,并求解.一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題,其一般步驟:(1)分析題意,找出不等關(guān)系;(2)設(shè)未知數(shù),列出不等式組;(3)解不等式組;(4)從不等式組解集中找出符合題意的答案;(5)作答.【例11】.(2024春?蚌埠月考)市青少年宮決定組織學(xué)生開展研學(xué)活動,若每位老師帶16名學(xué)生,還剩28名學(xué)生沒人帶;若每位老師帶18名學(xué)生,就有一位老師少帶4名學(xué)生.現(xiàn)有甲,乙兩種大客車,它們的載客量和租金如下表所示.計劃此次研學(xué)活動的租車總費用不超過3100元,為了安全,每輛客車上至少要有2名老師.客車甲種乙種載客量(人/輛)3042租金(元/輛)300400(1)求參加此次研學(xué)活動的老師有多少人?參加此次研學(xué)活動的學(xué)生有多少人?(2)既要保證所有師生都有車坐,又要保證每輛客車上至少要有2名老師,請直接寫出租用客車的輛數(shù);(3)你能得出哪幾種不同的租車方案?其中哪種租車方案最省錢?請說明理由.【變式11-1】.(2024春?安溪縣期中)某茶葉經(jīng)銷商計劃購進甲、乙兩種茶葉共80件,若甲種茶葉進價為每件120元,乙種茶葉進價為每件100元.已知3件甲種茶葉和2件乙種茶葉的售價共900元;1件甲種茶葉和4件乙種茶葉的售價共8

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