四川省達(dá)州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次考試

第高2025屆高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試題本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則的真子集個(gè)數(shù)為(

)A.3 B.4 C.7 D.2.已知,則的共軛復(fù)數(shù)(

)A. B. C. D.3.設(shè)是不同的直線，是不同的平面，且，則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面圓上各點(diǎn)均在該球面上），且該圓錐的側(cè)面積為，則此球的表面積為(

)A. B. C. D.5.某五面體如圖所示，下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，上棱，，與平面的距離為，該五面體的體積為(

)A. B.6 C.9 D.6.已知，則的最小值為(

)A.6 B.7 C.8 D.97.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)隨意的都有，當(dāng)時(shí)，，則=(

)A.-1 B.0 C.1 8.如圖，直角梯形中，,為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.與平面所成角的正切值為 B.

C.二面角的大小為 D.平面平面二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分。9.已知點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A.過點(diǎn)只能作一個(gè)平面與平行 B.過點(diǎn)可以作多數(shù)條直線與平行

C.過點(diǎn)只能作一個(gè)平面與垂直 D.過點(diǎn)只能作一條直線與垂直10.是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物某地8月1日到8月10日的日均值（單位：）分別為36,32,38,34,32,88,42,36,30,32,則關(guān)于這10天中日均值的說法正確的是(

)A.眾數(shù)為32B.第80百分位數(shù)是38C.平均數(shù)是40D.前4天的方差比后411.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)圖象如圖，則(

)

A.該函數(shù)的解析式為

B.該函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為

C.該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

D.把的圖象上全部點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，可得的圖象12.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.某正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3，9，側(cè)棱長(zhǎng)是6，則它的體積為___________.14.若向量，向量，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為___________.15.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，且各輪問題能否正確回答互不影響，則該選手被淘汰的概率為___________.16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是___________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.（10分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求異面直線與所成角的大小．

18.（12分）某校對(duì)高一年級(jí)1000名學(xué)生的身高進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)覺這1000名學(xué)生的身高介于（單位：cm），現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知第五組的頻率與第三組的頻率相同，第三組的頻率是其次組頻率的倍，其次組頻率是第一組頻率的倍.（1）求第一組學(xué)生的人數(shù)，并估計(jì)這名學(xué)生身高（單位：cm）的中位數(shù)（保留位小數(shù)）；（2）若接受分層抽樣的方法從前兩組中抽取6位同學(xué)參與某項(xiàng)課外活動(dòng)，在這6位同學(xué)中隨機(jī)選出人作為隊(duì)長(zhǎng)，求這兩人來自于同一組的概率.19.（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．20.（12分）如圖，在三棱錐中，,D為線段AC的中點(diǎn)，

E為線段PC上一點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．21.（12分）已知函數(shù)，且最小正周期是．

（1）求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍，再向左平移個(gè)單位，最終將整個(gè)函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22.（12分）如圖（1），在中，E,F,H分別為邊AB,AC,BC的中點(diǎn)，以EF為折痕把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P位置(如圖(2))．(1)當(dāng)時(shí)，求二面角的大??；(2)當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，分別求下列問題：①設(shè)平面PBE與平面PFH的交線為，求證：；②在棱PF上是否存在點(diǎn)N，使得BN與平面PEF所成角的正弦值為?若存在，求PN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2025屆高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。1-5:CDADB6-8:DBA二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.14.15.16.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.解：(1)證明：連接AC.?E,F分別是AD1,CD1的中點(diǎn)?EF∥AC3分又?EF∥平面ABCD5分(2)?EF∥AC,B1C1∥BC?（或其補(bǔ)角）為異面直線EF與B1C1所成角8分易求得=45?異面直線EF與B1C1所成角為4510分18.解：（1）由頻率分布直方圖可知第四組的頻率為設(shè)第一組的頻率為，由題可知，解得∴第一組的人數(shù)為人3分前三組的頻率之和為，估計(jì)中位數(shù)為cm6分（2）其次組頻率是第一組頻率的倍，所以第一組抽取2人，記為A,B，其次組抽取4人，記為C,D,E,F7分從6人中隨機(jī)抽取人的樣本點(diǎn)有以下15個(gè)：（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）9分其中兩人來自于同一組的樣本點(diǎn)有以下7個(gè):（A,B）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）11分故所求概率為12分解：(1)?2分4分6分(2)8分10分所以的周長(zhǎng)為

12分20．解：（1）證明：由PA⊥AB,PA⊥BC,AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB?BC（2）證明：由AB=BC,D為線段可得BD⊥AC,由PA⊥可得平面PAC⊥平面ABC,又平面PACBD?平面ABC,且BD⊥AC,即有BD⊥可得平面BDE⊥平面PAC;（3）解：PA∥平面BDE,PA?平面PAC可得PA∥DE,又D為AC的中點(diǎn)，可得E為由PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,又S則三棱錐E-BCD的體積為1321.解：（1）∵==由T=2∴fx=sin∵2∴2∴fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ2-π12，kπ2+π6，(2)將fx圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，可得y=sin2x-π6-12的圖象；再向左平移π∵g∴∵當(dāng)x∈π6∴只需gx-2max當(dāng)x∈π∴從而gx-2∴m的取值范圍是0,2.22.解：(1)由于PE⊥EF,BE⊥EF,在△PBE中，已知PEcos又∠PEB∈0,π,所以∠PEB=（2）當(dāng)四棱錐P-BCFE的體積最大時(shí),PE在直角梯形BCFE中,EF∥BH,所以BE∥HF