專題1-1 二次根式（考題猜想利用二次根式的相關(guān)概念求字母或代數(shù)式的值）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點大串講（人教版）

專題1-1二次根式（考題猜想，利用二次根式的相關(guān)概念求字母或代數(shù)式的值）類型1：利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍【例題1】（23-24八年級下·湖北恩施·期中）若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則m取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的有意義的條件．根根二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案．【詳解】解：∵二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：．故選：D【變式1】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的代數(shù)式有意義，滿足條件的所有整數(shù)的和是10，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，體現(xiàn)了分類討論的思想，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)求出的取值范圍是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)求出的取值范圍，根據(jù)滿足條件的所有整數(shù)的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，從而，從而得出答案．【詳解】解：，，，滿足條件的所有整數(shù)的和是10，，3，2，1或4，3，2，1，0，，．故答案為：【變式2】（21-22八年級下·全國·課后作業(yè)）無論x取何實數(shù)，代數(shù)式都有意義，化簡式子．【答案】【分析】根據(jù)代數(shù)式都有意義，得出，繼而根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：∵，且無論取何實數(shù)，代數(shù)式都有意義，∴，∴.當(dāng)時，.【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式3】（2024八年級·全國·競賽）若m滿足關(guān)系式，求m的值．【答案】4024【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及二次根式有意義的條件，得到是關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)：被開方數(shù)是非負數(shù)求得，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于和的方程組，然后結(jié)合即可求得的值．【詳解】解：由可得，∴∴【變式4】．（23-24八年級下·湖南益陽·開學(xué)考試）閱讀下列內(nèi)容：我們在學(xué)習(xí)二次根式時，式子有意義，則；式子有意義，則；若式子有意義，求的取值范圍，這個問題可以轉(zhuǎn)化為不等式組來解決，即求關(guān)于的不等式組的解集，解這個不等式組，得．(1)式子有意義，求的取值范圍；(2)已知，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】本題考查閱讀理解，涉及二次根式有意義，解方程等知識，讀懂題意，又不等式組轉(zhuǎn)化為方程求解是解決問題的關(guān)鍵．（1）讀懂題意，由題中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案；（2）讀懂題意，由題中材料中的方法，得到，即，求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意，式子有意義，可得，，解得或；（2）解：對于中，，，解得，，則．【變式5】．（23-24八年級下·河南信陽·期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式和二次根式，當(dāng)被除數(shù)是一個二次根式，除數(shù)是一個整式時，求得的商就會出現(xiàn)類似的形式，我們把形如的式子稱為根分式，例如，都是根分式，(1)寫出根分式中的取值范圍__________（直接寫出答案）(2)已知兩個根分式與．①是否存在的值使得，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)是一個整數(shù)時，求無理數(shù)的值．(3)小明在解方程時，采用了下面的方法：去分母，得①可得②①+②，可得將兩邊平方可解得，經(jīng)檢驗：是原方程的解．∴原方程的解為：請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：方程的解是_____________；（直接寫出答案）【答案】(1)且；(2)①不存在，理由見解析；②的值為；(3)．【分析】本題考查二次根分式有意義的條件，無理方程的解法，求根分式的值．解題的關(guān)鍵是學(xué)會模仿例題解決問題，利用平方差公式把問題轉(zhuǎn)化．注意：解無理方程需檢驗．（1）根據(jù)平方根的被開方數(shù)不能為負數(shù)、分母不能為0，代數(shù)式才有意義即可得答案；（2）①根據(jù)已知列出方程，解方程即得答案；②計算，變形為，是一個整數(shù)，則的值為1或2，解出方程取無理數(shù)且即可；（3）利用平方差公式，將無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程即可解決問題．【詳解】（1）解：由且，解得：且．故答案為：且．（2）解：①不存在，理由如下：由，得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的增根，原方程無解，不存在；②，是一個整數(shù)，是整數(shù)，或，解得：或或或，為無理數(shù)，且，．無理數(shù)的值為．（3）解：①，，，，又可得：，，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，故答案為：；【變式6】．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）閱讀下列材料，解答后面的問題：在二次根式的學(xué)習(xí)中，我們不僅要關(guān)注二次根式本身的性質(zhì)、運算，還要用到與分式、不等式相結(jié)合的一些運算．如：①要使二次根式有意義，則需，解得：；②化簡：，則需計算，而，所以．(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)，要使成立，求a的取值范圍；(2)利用①中的提示，請解答：如果，求的值；(3)利用②中的結(jié)論，計算：．【答案】(1)(2)3(3)【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡及規(guī)律型，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．（1）根據(jù)二次根式成立的條件求解即可；（2）根據(jù)二次根式成立的條件求出a，b的值，進而求解即可；（3）利用②中的結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，∴；（2）解：由題意得，，∴，∴，∴；（3）解：．【變式7】．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）計算(1)已知實數(shù)，滿足，求的值．(2)若，滿足，化簡：【答案】(1)1(2)1【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、偶次方的非負性及絕對值的化簡，熟練掌握知識點、正確計算是解題的關(guān)鍵．（1）將等式左邊根號外的部分配方，根據(jù)偶次方的非負性和二次根式有意義的條件，可得和的值，問題可解；（2）根據(jù)，可得的值，從而得的范圍，則可將所給式子化簡．【詳解】（1）解：，，，，，，解得：，，，的值為；（2）解：，，，，，，，，，，，．【變式8】．（23-24八年級下·江西贛州·期中）閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件，并回答后面的問題：化簡：．解：隱含條件，解得：，．原式．【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡：．【類比遷移】（2）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．（3）已知為的三邊長．化簡：．【答案】（1）1；（2）；（3）【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)，利用數(shù)軸判斷式子的正負，絕對值的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)法則是解題關(guān)鍵．（1）仿照例題，利用隱含條件得到，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；（2）由數(shù)軸可知，，，進而得到，，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值的意義化簡即可；（3）由三角形的三邊關(guān)系可知，，，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：（1），隱含條件，解得：，，原式；（2）由數(shù)軸可知，，，，；（3）解：由三角形的三邊關(guān)系可知，，，，，．【變式9】．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的值為多少？【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、絕對值的意義，先由二次根式有意義的條件得出，根據(jù)絕對值的意義得出，從而得出，整體代入計算即可得出答案，得出是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：實數(shù)滿足，，解得：，，，，，．【變式10】．（23-24八年級下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）先閱讀下面提供的材料，再解答相應(yīng)的問題，若和在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，求的值．解：和在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，且．由得：，．問題，若實數(shù)滿足，求的值．【答案】5【分析】此題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義得到，解得，再求出，再代入進行解答即可．【詳解】解：由題意可得，和在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，∴且由得到∴解得，∴，∴類型2：利用被開方數(shù)相同的最簡二次根式的條件求字母的值【例題2】（23-24八年級下·山西大同·階段練習(xí)）若與最簡二次根式能合并，則的值為（

）A．3 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，最簡二次根式．熟練掌握利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，最簡二次根式是解題的關(guān)鍵．先化簡，然后根據(jù)同類二次根式的概念計算求解．【詳解】解：，∵與最簡二次根式能合并，∴，解得，故選：B【變式1】．（23-24八年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知兩個最簡二次根式與是同類二次根式，求a的值．【答案】a的值為【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．注意檢驗被開方數(shù)為非負數(shù)．根據(jù)同類二次根式與最簡二次根式的定義，列出方程解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，∴，解得：．當(dāng)時，，但不是最簡二次根式，故不符合題意；當(dāng)時，，，符合題意．∴a的值為．【變式2】．（21-22八年級下·江西贛州·期中）若與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式，求的值．【答案】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義列出a，b的方程求出，再代入計算求值【詳解】解：∵與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式解得：∴符合題意【點睛】本題考查了最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．本題求出a，b后還需檢驗，因為被開方數(shù)必須為非負數(shù)．【變式3】．（21-22八年級·全國·假期作業(yè)）已知最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．【答案】1【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義求得a，b的值，再代入計算即可；【詳解】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：，∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式；還考查了二元一次方程組和零指數(shù)冪；掌握最簡二次根式的定義是解題關(guān)鍵．【變式4】．（20-21八年級上·全國·課后作業(yè)）已知a、b是整數(shù)，如果是最簡二次根式，求的值，并求的平方根．【答案】4，±2．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義得出a=1，2b﹣5=1，進而求出答案．【詳解】解：∵是最簡二次根式，∴a=1，2b﹣5=1，解得：a=1，b=3，∴==4，∴的平方根為±2．【點睛】本題考查最簡二次根式以及平方根，熟悉最簡二次根式的定義是解題關(guān)鍵．類型3：利用二次根式的加減求字母的值【例題3】（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）已知，則a等于（）．A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減運算等知識點，熟練掌握相關(guān)運算法則成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后再合并同類二次根式化簡即可．【詳解】解：由題意知，∵，∴，即．故選：A．【變式1】（22-23八年級下·甘肅慶陽·期中）如果與的和等于，那么的值是．【答案】4【分析】由，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，即，∴，∴，∴，故答案為：4【點睛】本題考查的是二次根式的加減運算，二次根式的化簡，理解題意，選擇合適的方法是解本題的關(guān)鍵【變式2】．（23-24八年級下·吉林·階段練習(xí)）定義：若兩個二次根式a、b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．(1)若a與是關(guān)于10的共軛二次根式，則；(2)若與是關(guān)于12的共軛二次根式，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的運算，掌握共軛二次根式的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)共軛二次根式的定義，進行計算即可；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義，進行計算即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，∴；故答案為：；（2）由題意，得：，∴且，∴．【變式3】．（23-24八年級下·貴州黔南·期中）閱讀材料：小灰學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小灰并開始以下探索：如果設(shè)（其中、、均為正整數(shù)），則有，小灰也認識到完全符合完全平方和公式；，，這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)、、均為正整數(shù)時，若用含、的式子分別表示，得：＝________，＝________；(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、填空：＋（＋）2；(3)若，且、、均為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)；(2)4，2；(3)7或13【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算以及完全平方公式，熟練掌握二次根式的混合運算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式運算法則，即可得出的表達式；（）首先確定好、的正整數(shù)值，然后根據(jù)（）的結(jié)論即可求出的值；（）根據(jù)題意，，首先確定、的值，通過分析，或者，，然后即可確定好的值．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：設(shè)，，∴，故答案為：，；（3）解：∵∴∵，且、為正整數(shù)，∴，或者，，∴，或．【變式4】．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）先閱讀下面材料，再解答問題：材料：任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零．由此可得：若，其中，為有理數(shù)，是無理數(shù)，則，．證明：∵，為有理數(shù)，∴是有理數(shù)，∵為有理數(shù)，是無理數(shù)，∴，∴，∴．(1)若，其中、為有理數(shù)，則，；(2)已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求與的值；(3)在（2）的條件下，，為有理數(shù)，，，，滿足，求，的值．【答案】(1)，(2)，(3)的值為，的值為【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．（1）按照材料的解題思路進行計算，即可解答；（2）根據(jù)完全平方數(shù)進行計算，即可解答；（3）利用（2）的結(jié)論，再按照材料的解題思路進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：∵，其中、為有理數(shù)，∴，為有理數(shù)，為有理數(shù)，∴是有理數(shù)，∵為有理數(shù)，是無理數(shù)，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，∴，；（3）解：∵，∴，，整理得：，∵，為有理數(shù)，∴為有理數(shù)，為有理數(shù)，又∵是無理數(shù)，∴，，解得：，，∴的值為，的值為．【變式5】（22-23八年級下·河北張家口·期中）已知、、滿足(1)求、、的值．(2)以、、為三邊能否構(gòu)成三角形？若能，求出它的周長；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)以、、為三邊能構(gòu)成三角形，周長為【分析】（1）利用完全平方式，二次根式以及絕對值的非負性進行判斷即可；（2）利用三角形三邊關(guān)系判斷并計算周長即可．【詳解】（1）解：且三者相加得0（2）∵∴以、、為三邊能構(gòu)成三角形，周長為【點睛】本題主要考查完全平方式，二次根式以及絕對值的非負性以及三角形三邊關(guān)系，熟練運用幾個非負數(shù)的和為零，那么這幾個數(shù)必定為零的結(jié)論以及兩邊之和大于第三邊是解決本題的關(guān)鍵【變式6】（23-24八年級下·福建莆田·階段練習(xí)）閱讀下面的材料，并回答問題．像，這樣的兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與都互為有理化因式．在進行含有二次根式的分式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．(1)填空：的有理化因式為；(2)已知，，求的值；(3)已知正整數(shù)，滿足，求，的值．【答案】(1)(2)14(3)，【分析】本題考查了二次根式的混合運算、平方差公式，掌握二次根式的混合運算、平方差公式，分母有理化是解題關(guān)鍵．（1）閱讀材料可直接得出結(jié)果；（2）先分母有理化化簡，再代入求值；（3）先去括號，化為，根據(jù)等式恒等性列式計算．【詳解】（1）解：的有理化因式為（2）解：，，∴（3）原式可化為，，，，，【變式7】．（21-22八年級下·山西臨汾·期中）綜合與實踐：在學(xué)習(xí)二次根式時，發(fā)現(xiàn)一些含有根號的式子可以結(jié)合完全平方式化成另一個式子的平方，如：，．由此，可將一些被開方數(shù)為無理數(shù)的式子進行化簡，．(1)請你依上述方法將化成一個式子的平方，并直接寫出的值．(2)化簡：．(3)若且、、均為正整數(shù)，則________．【答案】(1)，(2)2(3)5或7【分析】（1）參照題目例子，將4拆分為1和3，把轉(zhuǎn)化為的形式，即可求解；（2）用（1）中方法把被開方數(shù)是無理數(shù)的式子依次化簡，再進行二次根式的加減運算即可；（3）計算的平方，與進行對比即可求出a值．【詳解】（1）解：，．（2）解：，同理，，．（3）解：且、、均為正整數(shù)，，，，當(dāng)，或，時，；當(dāng)，或，時，；故答案為：5或7．【點睛】本題考查完全平方公式、二次根式的混合運算，題目較為新穎，能夠靈活運用完全平公式對二次根式進行化簡是解題的關(guān)鍵．【變式8】．（22-23八年級上·四川內(nèi)江·期中）（1）一只螞蟻從點A沿數(shù)軸向右直爬1個單位長度到達點B，點A表示，設(shè)點B所表示的數(shù)為p．①則p的值=；②若p的小數(shù)部分為k，求的值．（2）已知與互為相反數(shù)，①則的平方根；②解關(guān)于x的方程．（3）已知正實數(shù)x的平方根是m和．①當(dāng)時，則m；②若，求x的值．【答案】（1）①；②9；（2）①；②；（3）①；②4【分析】（1）①根據(jù)題意，向右移動則用加，據(jù)此可表示出B表示的數(shù)；②先根據(jù)無理數(shù)的估算求得k，進而代入計算即可；（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，從而可求得a，b的值，再代入①②