九年級數(shù)學下冊專題10 解三角形的實際應用（解析版）

專題10解三角形的實際應用類型一、仰角、俯角問題例．為了保護學生視力，要求學生寫字時應保持眼睛與書本最佳距離約為．如圖，為桌面，嘉琪同學眼睛看作業(yè)本的俯角為，身體離書桌距離，眼睛到桌面的距離．

(1)通過計算，請判斷嘉琪的眼睛與作業(yè)本的距離是否符合最佳要求；(2)為確保眼睛與作業(yè)本的距離符合最佳要求，在身體離書桌的距離和眼睛到桌面的距離保持不變的情況下，需將作業(yè)本沿方向移動到點處，求作業(yè)本移動的距離．（結果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，．）【答案】(1)距離不符合最佳要求(2)作業(yè)本移動的距離【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用——仰角俯角問題，勾股定理，熟練掌握仰俯角的概念是解題關鍵．（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義列式計算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出的長，再利用三角函數(shù)求出移動后的俯角，再求出的長，即可求出最后結果．【詳解】（1）解：如圖，在中，，，，，，，，距離不符合最佳要求；（2）在中，，，，為了符合最佳要求，，在中，，∴，，∴，∴，∴．【變式訓練1】．（1）如圖：為測量河寬（假設河的兩岸平行），在點處測得，在點處測得，且，則河寬為多少（結果保留根號）．（2）如圖所示，小明同學在學校某建筑物的點處測得旗桿頂部點的仰角為，旗桿底部點的俯角為．若旗桿底部點到建筑物的水平距離米，旗桿臺階高米，則旗桿頂點離地面的高度為多少米（結果保留根號）．【答案】（1）河寬為；（2）旗桿頂點離地面的高度為米【分析】（1）根據(jù)，，則，根據(jù)等角對等邊，，在中，根據(jù)，得出的長即可；（2）作于點，構成兩個直角三角形．運用銳角三角函數(shù)分別求出和，即可解答．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，在中，，∴．答：河寬為；（2）解：如圖，作于點．∵根據(jù)題意可得：在中，有，在中，有，∴，∴旗桿頂點離地面的高度為米．答：旗桿頂點離地面的高度為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練應用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點A測得大樹頂端的仰角為，沿斜坡走米到達斜坡上點，在此處測得樹頂端點的仰角為，且斜坡的坡比為，，A，在同一水平線上．

(1)求小明從點A到點的過程中，他上升的高度．(2)大樹的高度約為多少米參考數(shù)據(jù)：，，【答案】(1)小明從點A到點的過程中，他上升的高度為米(2)大樹的高度約為米【分析】（1）作于，在中，，則．由勾股定理得,即可求出答案；（2）延長交于點設米．求出米在中，，則米在中，，則米．由得到，即可求得答案．【詳解】（1）作于，如圖所示，

在中，，．，，米答：小明從點A到點的過程中，他上升的高度為米（2）如圖，延長交于點設米．由題意，得，米．米，米在中，，米在中，，米．，，解得．答：大樹的高度約為米【點睛】此題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握坡角、仰角、三角函數(shù)的概念等知識是解題的關鍵．【變式訓練3】．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺內的嵩岳寺塔是中國現(xiàn)存最早的磚塔，也是全國古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年間，歷經(jīng)1400多年風雨侵蝕，仍巍然屹立，也是中國唯一的一座十二邊形塔．某數(shù)學小組測量嵩岳寺塔的高度，如圖，在臺階底端A處用測角儀測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為，在臺階頂端B處用測角儀又測得嵩岳寺塔頂端D的仰角為．已知測角儀的高度為，平臺的高度為，臺階的坡度，圖中所有點均在同一豎直平面內，點A，H與點C在同一水平線上，求嵩岳寺塔的高度．（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】過點E作于點M，過點F作于點N，延長交于點K，延長交于點L，如圖所示，則，．根據(jù)題意可得，．，設嵩岳寺塔的高度為，則，．在和中，利用銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：過點E作于點M，過點F作于點N，延長交于點K，延長交于點L，如圖所示，則，．

由題意得，，．∵臺階的坡度，∴，即，設嵩岳寺塔的高度為，則，．在中，，∴．在中，，，∴，解得．經(jīng)檢驗，是分式方程的解，且符合實際意義．答：嵩岳寺塔的高度約為．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式訓練4】．小東同學學習了《銳角三角函數(shù)》一章后，決定運用所學知識測算教室對面遠處正在施工的塔吊（一種將重物吊到高處的建筑工具）的高度．小東現(xiàn)在所處的位置是四樓教室的點處，小東利用測角儀測得對面遠處塔吊正在施工的六層（每層高）建筑物的頂部點的仰角為，測得被這幢六層建筑物遮住了一部分的塔吊的頂端點的仰角為．按照安全規(guī)定：此時塔吊的底部點距建筑物的底部點是．利用這些數(shù)據(jù)，小東經(jīng)過詳細的計算，得出塔吊的高度約為，但這個高度明顯違反了此種塔吊使用的安全規(guī)定（塔吊的最高高度與建筑物的最高高度差必須保持在），親愛的同學，你也來利用小東測得的數(shù)據(jù)，仔細算一算塔吊的高度，并判斷該塔吊是否違規(guī)操作．（結果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，，）

【答案】塔吊的高度為：，塔吊沒有違規(guī)操作.【分析】如圖，過作于，交于，則，，，，，，，可得，再分別求解，，，從而可得答案.【詳解】解：如圖，過作于，交于，則，∵，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，，，，，∴，

∴，∴，∴，∴，∴，∴塔吊的高度為：，而，∴塔吊沒有違規(guī)操作.【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應用，作出合適的輔助線，理解仰角的含義是解本題的關鍵．類型二、方位角問題例．如圖一艘輪船位于燈塔的正西方向的處，且燈塔到處的距離為20海里，輪船沿東北方向勻速航行，速度為10海里/時．

(1)多長時間后，輪船行駛到達位于燈塔的西北方向上的處？（結果保留根號）(2)輪船不改變航行行駛到達位于燈塔的北偏東15°方向上的處，求燈塔到處的距離。（結果保留根號）【答案】(1)(2)【分析】（1），的位置就是燈塔的西北方向，在直角中求得，即可利用速度公式求解；（2）在中利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，海里，海里．輪船行駛到燈塔的西北方向點所用的時間為（小時）；（2）解：在中，，，．海里．海里答：燈塔到處的距離是海里．【點睛】本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關鍵．【變式訓練1】．如圖，三角形花園緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道，經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，米，點E在點A的正北方向，點B，D在點C的正北方向，米，點B在點A的北偏東，點D在點E的北偏東．

(1)求步道的長度（精確到個位）；(2)點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)141米(2)經(jīng)過點B到達點D較近，理由見解析【分析】（1）過D作，交的延長線于F，易證四邊形是矩形，因此，在中，由于，通過解直角三角形可得，代入即可求解步道的長度；（2）在中，解直角三角形，在中，根據(jù)，可得，，因此經(jīng)過點B到達點D路程為（米），另外，，因此經(jīng)過點E到達點D路程為米，由此比較可得到他走哪一條路較近．【詳解】（1）過D作，交的延長線于F，如圖：

∴，由題意可知：，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴（米）；∴步道的長度約為141米．（2）在中，，∴，∵點B在點A的北偏東，即，∵，∴．∵在中，，∴，，∵，∴經(jīng)過點B到達點D路程為（米），∵，∴，∴米，∴經(jīng)過點E到達點D路程為米，∵，∴經(jīng)過點B到達點D較近．【點睛】本題考查通過勾股定理，銳角三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，從實際問題從抽象出幾何問題，熟練運用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點之間的距離為30海里．

(1)求觀測站A，B之間的距離（結果保留根號）；(2)漁船從點P處沿射線的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏西的方向．在漁船到達C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時25海里的速度前往C處，請問補給船能否在100分鐘之內到達C處？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)觀測站A，B之間的距離為海里；(2)補給船能在100分鐘之內到達C處，理由見解析【分析】（1）過點P作于D點，可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答；（2）過點B作，垂足為F，根據(jù)題意得：，，從而求出，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：過點P作于D點，

∴，點P在點B的東北方向上，，在中，海里，（海里），（海里），在中，，（海里），（海里），∴觀測站A，B之間的距離為海里；（2）解：補給船能在100分鐘之內到達C處，理由：過點B作，垂足為F，

，由題意得：，，，在中，，）海里，在中，，海里，∴補給船從B到C處的航行時間（分鐘），，∴補給船能在100分鐘之內到達C處．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【變式訓練3】．在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里(1)求收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離（結果保留根號）；(2)求救助船A、B分別以40海里/小時，30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達．【答案】(1)海里(2)救助船B先到達【分析】（1）如圖，作于，在中先求出的長，繼而在中求出的長即可；（2）根據(jù)“時間=路程÷速度”分別求出救助船A和救助船B所需的時間，進行比較即可．【詳解】（1）解：作于C．則，由題意得：海里，，，在中，∵，，∴海里，在中，∵，，，∴（海里），答：收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離為海里；（2）∵海里，海里，救助船A，B分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，∴救助船A所用的時間為（小時），救助船B所用的時間為（小時）∵，∴救助船B先到達．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，涉及了含30度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的判定，勾股定理的應用等，熟練正確添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．【變式訓練4】．如圖，某漁船在完成捕撈作業(yè)后準備返回港口C，途經(jīng)某海域A處時，港口C的工作人員監(jiān)測到點A在南偏東方向上，另一港口B的工作人員監(jiān)測到點A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西方向，且B、C兩地相距120海里．(1)求出此時點A到港口C的距離（計算結果保留根號）；(2)若該漁船從A處沿方向向港口C駛去，當?shù)竭_點時，測得港口B在的南偏東的方向上，求此時漁船的航行距離（計算結果保留根號）．【答案】(1)此時點到港口的距離為海里(2)此時該漁船的航行距離為海里．【分析】（1）延長，過點作延長線與點，利用，代入數(shù)據(jù)計算即可求解；（2）過點作于點N，推出，設，則，，根據(jù)，列式計算即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：延長，過點作延長線與點，由題意可得：，海里，則海里，，即，（海里），即此時點到港口的距離為海里；（2）解：過點作于點N，如圖：由（1）得：海里，海里，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分，∴，設，則，，∵，，∴，∵，∴，解得：，∴海里，答：此時該漁船的航行距離為海里．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，解決本題的關鍵是掌握方向角定義．課后訓練1．遮陽傘可以遮住灼灼驕陽，站在傘下會涼爽很多，如圖①，把遮陽傘（傘體的截面示意圖為）用立柱固定在地面上的點O處，此時垂直于地面，遮陽傘頂點A與P重合．需要遮陽時，向上調節(jié)遮陽傘立柱上的滑動調節(jié)點，打開支架，傘面撐開如圖②，其中，，，為中點，，根據(jù)生活經(jīng)驗，當太陽光線與傘口垂直時，遮陽效果最佳．（圖中的虛線就是太陽光線，同一時刻的太陽光線是平行的）

(1)某天上午10點，太陽光線與地面的夾角為，如圖③，為使遮陽效果最佳，滑動調節(jié)點，此時立柱與支梁夾角_________度．(2)在（1）的情況下，若為遮陽傘落在地面上的陰影如圖④所示，求出這個陰影的長度．(3)如圖⑤，正午時分，太陽光與地面的夾角約為，滑動調節(jié)點到，使遮陽效果最佳，此對調節(jié)點滑動的距離約為多少？（，，，結果精確到）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得，，由可得，從而得到，由即可得到柱與支梁夾角度數(shù)；（2）過點作交于點，過點作交于點，可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)，可得，再利用可求出的長度，即可得到陰影的長度；（3）過點作交于點，根據(jù)題可求出，由，，即可得到調節(jié)點滑動的距離；【詳解】（1）解：∵遮陽效果最佳，

∴，∵，∴，，∵，，∴，，∵為中點，，∴，，∴立柱與支梁夾角度；（2）解：如圖，過點作交于點，過點作交于點，

∵，，∴，，，∵，，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴,∴陰影的長度為．（3）如圖，過點作交于點，

∵遮陽效果最佳，即，，∴由四邊形內角和知：，∵，∴，∵，∴，∴，，．∴調節(jié)點滑動的距離約為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握直角三角形的三角函數(shù)值，平行四邊形的判定及性質是解決本題的關鍵．2．某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側面如圖2所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚前端自然下垂邊的長度，遮陽棚固定點A距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角．

(1)如圖2，求遮陽棚前端B到墻面的距離；(2)如圖3，某一時刻，太陽光線與地面夾角，求遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長（結果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)遮陽棚前端B到墻面的距離約為(2)遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長約為【分析】（1）作于E，在中，根據(jù)列式計算即可；（2）作于E，于H，延長交于K，則，可得四邊形，四邊形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，進而可得的長．【詳解】（1）解：如圖3，作于E，在中，，即，∴，答：遮陽棚前端B到墻面的距離約為；（2）解：如圖3，作于E，于H，延長交于K，則，

∴四邊形，四邊形是矩形，由（1）得，∴，在中，，即，∴，由題意得：，∴，∴，在中，，即，∴，∴，答：遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定和性質，作出合適的輔助線，構造出直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．3．綜合與實踐【問題情境】某消防隊在一次應急演練中，消防員架起一架長的云梯，如圖，云梯斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻腳的距離，．(1)【獨立思考】這架云梯頂端距地面的距離有多高？(2)【深入探究】消防員接到命令，按要求將云梯從頂端下滑到位置上(云梯長度不改變)，，那么它的底部在水平方向滑動到的距離也是嗎？若是，請說明理由；若不是，請求出的長度．(3)【問題解決】在演練中，高的墻頭有求救聲，消防員需調整云梯去救援被困人員．經(jīng)驗表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全．在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達高的墻頭去救援被困人員？【答案】(1)m(2)不是m，而是m(3)云梯的頂端能到達高的墻頭去救援被困人員【分析】（1）本題考查解直角三角形，將梯子底部到墻的距離線段對應為一個直角邊，梯子頂端到地的距離線段對應為另一個直角邊，所以梯子頂端到地的距離為，所以梯子頂端到地為米；（2）根據(jù)勾股定理求出，再與作差，求出的長度；（3）先求出梯子能夠到達墻面的最大高度，再與比較，即可求得．【詳解】（1）解：（1）在中，∴．（2）解：云梯的底部在水平方向滑動到的距離不是m．理由如下：由（1）可知m，∴．在中，∴，∴．（3）解：若云梯底端離墻的距離剛好為云梯長度的，則能夠到達墻面的最大高度為．∵，∴，因此，云梯的頂端能到達高的墻頭去救援被困人員．4．如圖，甲、乙兩隊同時從A點出發(fā)，相約去河對面的公園D游玩．甲隊選擇的線路為，其中在BC段劃船過河；乙隊選擇的線路為，其中在FE段乘坐游船過河．已知四邊形為矩形，A，B，C三點在同一直線上，長為600米，，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

(1)求D到的距離；（結果精確到個位）(2)甲、乙兩隊在陸地上都是步行，且步行速度均為．已知甲隊劃船的速度為，乙隊游船的速度為，若長為1800米，請通過計算說明哪一隊先到達公園D．【答案】(1)D到的距離為(2)甲隊先到達公園D，理由見解析【分析】（1）過點作于點H，在中求出，，由矩形的性質得，再在中求解即可；（2）根據(jù)時間=路程÷速度分別求出甲隊和乙隊用的時間比較即可．【詳解】（1）過點作于點H

在中，，∵，，∴，，∵四邊形為矩形∴在中，，∴，在中，，∴∴D到的距離為346m．（2）∵四邊形BCEF為矩形，長為1800米，∴米，據(jù)題意得：甲隊所用時間為乙隊所用時間為∵∴甲隊先到達公園D．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解決此問題的關鍵在于正確