九年級數(shù)學(xué)下冊專題05 相似三角形的基本模型（X字型）（解析版）（人教版）

專題05相似三角形的基本模型（X字型）【模型說明】“X”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型，條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型，條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型，條件：如圖3，AB∥CD；】結(jié)論：4）斜雙“8”字模型，條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC.【例題精講】例1．（基本模型1）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．

【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，則DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，則AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；（2）過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，則BE＝AB，并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，這實際是三角形的角平分線定理；（3）AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，由（2）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，因為B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，綜上：這兩個等式都成立；

（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，線段AD為其內(nèi)角角平分線

∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即對任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因為Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，

∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴【點睛】本題考查的是三角形相似的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例2．（基本模型2）（1）某學(xué)?！皩W(xué)習(xí)落實”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個題目如圖，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長經(jīng)過數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）請回答：∠ADB＝

°，AB＝

（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長【答案】（1）75，3；（2）CD＝【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ADB=∠OAC=75°，結(jié)合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對等邊可得出AB=AD即可求解；（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，同（1）可得出AE=，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理即可求出DC的長．【詳解】解：（1）如圖2中，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝2，．又∵AO＝，∴OD＝2AO＝2，∴AD＝AO+OD＝3．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝3；故答案為：75，3．（2）如圖3中，過點B作BE∥AD交AC于點E．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝2．∵BO：OD＝1：3，∵AO＝，∴EO＝2，∴AE＝3．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝3，∴AB＝AC＝6，AD＝在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，解得：CD＝（負(fù)根已經(jīng)舍棄）．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（培優(yōu)綜合1）如圖，在中，點D在BC上，，連接AD，，則線段AD的長為．

【答案】【分析】過作，交的延長線于，過作，交的延長線于，可求，，設(shè)，可證，由即可求解．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于，過作，交的延長線于，

，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，整理得：，解得：，(舍去)，，故答案：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，并會根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例4．（培優(yōu)綜合2）如圖，在矩形中，分別為邊，的中點，與，分別交于點M，N．已知，，則的長為．【答案】【分析】過點E作EH∥AD，交點BF于點G，交CD于點H，證明△BEG∽△BAF，求出EG的長，再證明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，從而求出NG和MG，可得MN的長.【詳解】解：過點E作EH∥AD，交點BF于點G，交CD于點H，由題意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴，∵AB=4，BC=6，點E為AB中點，F(xiàn)為AD中點，∴BE=2，AF=3，∴，∴EG=，∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴，,∴，，即，，∴，，∵E為AB中點，EH∥BC，∴G為BF中點，∴BG=GF=BF=，∴NG==，MG=BG=，∴MN=NG+MG=，故答案為：.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線EH，得到相似三角形.例5．（與反比例綜合）如圖，把一個等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，點C（-1，0），點B在反比例函數(shù)的圖像上，且y軸平分∠BAC，則k的值是．【答案】【分析】作BE⊥x軸，垂直為E，先證明△AOC≌△CEB，得OC=BE=1,AO=CE；再證明△AOC≌△AOD，得OC=OD=1；設(shè)DE=m，通過證明△BED∽△AOD，構(gòu)造方程，求出m，確定E的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：作BE⊥x軸，垂直為E,則∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC=CB，∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCE=90°，∴∠ACO=∠CBE，∵∠AOC=∠CEB=90°，∴△AOC≌△CEB，∴OC=BE=1,AO=CE．∵y軸平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO，∵OA=OA,∠AOC=∠AOD=90°，∴△AOC≌△AOD，∴OC=OD=1．設(shè)DE=m，則CE=OA=2+m，∵BE∥OA，∴△BED∽△AOD，∴，即：，∴，解得，（不合題意，舍去），∴OE=OD+DE=，∴點B的坐標(biāo)為()，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的知識點比較多，見到△ABC為等腰直角三角形，考慮做輔助線，化斜為直，構(gòu)造全等或相似，這是解決平面直角坐標(biāo)系中求點的坐標(biāo)的常見思路，要深刻領(lǐng)會．例6．（與二次函數(shù)綜合）如圖，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，是第一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，連接，交線段于點，若，求的值．(3)如圖2，已知拋物線的對稱軸交軸于點，與直線，分別交于、兩點．試問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)或2；(3)為定值，【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將兩點坐標(biāo)代入解析式求解即可；（2）構(gòu)造相似三角形和，利用直線的解析式求出點坐標(biāo)以及點關(guān)于的代數(shù)式，利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解即可；（3）通過輔助線構(gòu)造直角三角形并用含有的代數(shù)式表示出和，再分別用兩個三角函數(shù)表示，代入中，最后化簡即可．【詳解】（1）拋物線與軸交于，兩點∴，解得：；∴拋物線的表達(dá)式為：．（2）如圖1，過點作軸，交的延長線于點，過點作軸交于點．則，，∴令，則，∴∵直線過點和設(shè)直線：，，，∴直線的解析式為：．∵，軸，∴當(dāng)時，，∴設(shè)，則∴∵，∴，解得，．∴當(dāng)或2時，．（3）為定值，理由如下：如圖2，過點作軸交軸于點．∵，，對稱軸是，∴設(shè)，則，，在中，，∴，在中，，∴∴【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角函數(shù)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)以及運用三角函數(shù)解直角邊是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，，，點為上一點，連接，為上一點，于點，當(dāng)時，求的長．【答案】【分析】將補成矩形，延長交于點，可得，結(jié)合已知可求、，再由即可求出CE．【詳解】解：如解圖，補成矩形，延長交于點，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴設(shè)，則，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，直角三角形的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，、分別是、的中點，動點在射線上，交于點，的平分線交于點，當(dāng)時，．【答案】12【分析】如圖（見解析），延長BQ交射線EF于點M，先根據(jù)中位線定理得出，再根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的定義得出，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可求出EM的長．【詳解】如圖，延長BQ交射線EF于點M、分別是、的中點平分由得即故答案為：12．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在等邊邊長為6，O是中心；在中，，，．將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．(1)當(dāng)、分別在、邊上，連結(jié)、，求的面積；(2)設(shè)所在直線與的邊或交于點F，當(dāng)O、D、E三點在一條直線上，求的長；(3)連結(jié)，取中點M，連結(jié)，的取值范圍為_________．【答案】(1)(2)(3)1≤DM≤5【分析】（1）由O是等邊三角形的中心，可知OM=，進而得到，從而EO∥BM，所以可得OD=EN，即可求解；（2）易證△AEF∽△OBF，得到，設(shè)AF=x，OF=y，求解即可；（3）取AE的中點N，連接MN，DN，由D、N在⊙A上，可知即MN-DN≤DM≤DN+MN，易知MN是△AEC的中位線，從而求得．【詳解】（1）連接AO，并延長交BC于M，連接OB∵O是等邊△ABC的中心∴∠OBM=30°，BM=MC，AM⊥BC∴OM==∴∴EO∥BM延長EO交AC于N，則△AEN為等邊三角形∵EO∥BM∴∴ON=OE，CN=DN=AD=2∴OD=EN=2∴（2）連接OB，OA，如圖，∵O是等邊△ABC的中心∴∠OBA=30°，OA=OB=2∴∵∠DAE=30°∴AE=4，DE=在△AEF和△OBF中∵∠ABO=∠AED=30°，∠AFE=∠BFO∴△AEF∽△OBF(AA)∴設(shè)AF=x，OF=y，則解得，,所以（3）取AE的中點N，連接MN，DN，∵D,N在⊙A的圓上∴當(dāng)D、M、N三點共線時，DM最大或最小，即MN-DN≤DM≤DN+MN，∴MN-2≤DM≤MN+2當(dāng)D、M、N三點共線如圖1時，△AND為等邊三角形，∴∠NDA=∠DAC=60°，∴MN∥AC∵M，N為中點∴MN=∴DM≥1當(dāng)D、M、N三點共線如圖2時，△AND為等邊三角形，∴∠NDA=∠BAC=∠CAE=60°，∴MN∥AC∵M，N為中點∴MN=∴DM≤5故答案為：1≤DM≤5【點睛】本題主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位線，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)及方程思想，綜合運用相關(guān)性質(zhì)和判定是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】．如圖1：拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于點A、B，連接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．(1)拋物線的解析式為；(2)點P在第三象限的拋物線上，連接PC、PA，若點P橫坐標(biāo)為t，△PAC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)S＝6時，點G為第四象限拋物線上一點，連接PG，CH⊥PG于點H，連接OH，若tan∠OHG，求GH的長．【答案】(1)y＝x2+3x﹣4(2)St2t(3)【分析】（1）利用三角函數(shù)求出A點和B點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）設(shè)出P點坐標(biāo)，求出直線PA的解析式，設(shè)直線AP交y軸于點D，確定點D坐標(biāo)，根據(jù)S＝S△ADC+S△PDC求出S的表達(dá)式即可；（3）根據(jù)（2）中的關(guān)系式求出t值，確定P點的坐標(biāo)，連接CP，則軸，過點O作，GP交CH的延長線于點K，根據(jù)△COK∽△PCH，得tan∠CPH，求出G點坐標(biāo)，得出GM，再根據(jù)tan∠MCH＝tan∠CPH，得出MH，即可得出GH的長．(1)解：由圖像知拋物線y＝ax2+bx﹣4交y軸于點C，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4，∴OB＝OC＝4，OAOC＝1，即B（﹣4，0），A（1，0），∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+3x﹣4；(2)解：點P（t，t2+3t﹣4），設(shè)直線PA的解析式為y＝kx+b∴，∴，∴直線PA的解析式為y＝（t+4）x﹣4﹣t，設(shè)直線AP交y軸于點D，則D（0，﹣4﹣t），∴S＝S△ADC+S△PDCCD?（xA﹣xP）t2t；(3)解：由（2）知St2t＝6，解得t＝﹣3或t＝4（舍去），∴點P（﹣3，﹣4），∵點C（0，﹣4），連接CP，則軸，過點O作，OK交CH的延長線于點K，∴OK⊥CK，∠HOK＝∠OHG，∵tan∠OHG，∴設(shè)KH＝3m，OK＝4m，∵∠PCH+∠KCO＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠KCO＝∠HPC，又∵∠PHC＝∠CKO＝90°，∴△COK∽△PCH，∴，∴CH＝3m，PH，在Rt△CPH中，tan∠CPH，設(shè)GP交CO于點M，則CM＝PC?tan∠CPH＝2，∴點M（0，﹣2），設(shè)直線PM的解析式為y＝k1x﹣2，把P（﹣3,﹣4）代入得k1，∴直線PM的解析式為，令，解得x＝﹣3（舍）或，∴G（），∴GM，在Rt△CMH中，tan∠MCH＝tan∠CPH，∴MH，∴GH．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】．【問題背景】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，求證：BA2＝BD?BC；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，點D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，點E在邊AB上，點G在AB的延長線上，延長ED交CG于點F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的長度；【拓展創(chuàng)新】如圖3，在△ABC中，點D在邊BC上（AB≠AD）且滿足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足為H，若，請直接寫出的值________．【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）．【分析】（1）要證明BA2＝BD?BC，只需證明，由已知判定即可解答；（2）由3AD＝2AC可知的相似比為，從而得出，設(shè)BD=4x，則BA=6x，BC=9x，再過F點作，交BC于M點，利用平行線構(gòu)造相似三角形和等腰三角形，利用已知線段關(guān)系證明DF=FM，從而得出，由此即可求出BE長，（3）延長BC到G，使CG=AC，過C點作CM⊥AG垂足為M，構(gòu)造，由已知求出相似比為，再設(shè)，，解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAD＝∠ACB，∠B＝∠B，∴，∴，∴BA2＝BD?BC；（2）解：由（1）可得，又∵3AD＝2AC∴，設(shè)BD=4x，則BA=6x，BC=9x，如解圖2，過F點作，交BC于M點，∴∠ABD＝∠FMD，∵BE＝ED，∴∠ABD＝∠EDB，又∵∠MDF＝∠EDB，∴∠MDF＝∠FMD，∴MF＝DF＝1，由可得，，∴，，由∵BG＝2，MF＝DF＝1，∴，∴，∴，∴（3）解：延長BC到G，使CG=AC，過C點作CM⊥AG垂足為M，∴∠CAG＝∠G，∴∠ACB＝∠CAG+∠G=2∠CAG＝2∠G，∵∠ACB＝2∠BAD，∴∠BAD=∠CAG＝∠G，∵，∴，即，∴，∵，即，∴又∵∠B=∠B，∠BAD＝∠G，∴，∴，設(shè)，，則，，，在中，，在中，，∴，解關(guān)于x的方程得：，，當(dāng)時，不合題意舍去；當(dāng)時，，．綜上所述：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等，解題關(guān)鍵是能通過作合適的輔助線構(gòu)造相似三角形并最終求得結(jié)果．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，是邊上的中線，是上的一點，且，連結(jié)并延長交于點，則等于()．【答案】【分析】先過點D作GD∥EC交AB于G，由平行線分線段成比例可得BG=GE，再根據(jù)GD∥EC，得出，最后根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：過點D作GD∥EC交AB于G，∵AD是BC邊上中線，，即BG=GE，又∵GD∥EC，。【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，用到的知識點是平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是求出AE、EB、EG之間的關(guān)系2.正方形中，，點是對角線上的一動點，將沿翻折得到，直線交射線于點．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點在運動過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請說明理由；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)，是定值(3)【分析】根據(jù)翻變換的性質(zhì)可以得到，加上對頂角相等得到的，從而得到，進而得到對應(yīng)邊成比例，再根據(jù)比例的性質(zhì)得到，加上對頂角相等得到的證明出：，最終得到對應(yīng)角相等得出結(jié)果．如圖中，連接，證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；證明是等邊三角形，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖中，設(shè)交于點．四邊形是正方形，，，，由翻折變換的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，．（2），是定值．理由：如圖中，連接，．四邊形是正方形，，，，，，，，同法可證，，，，，，，，；（3）如圖中，當(dāng)時，，，，，，，．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點，連接CD，分別過點A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求證：AN＝CM；（2）若點D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長；（3）如圖2，若點E為AB中點，連接EM，設(shè)sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）證明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AN＝CM；（2）證明△AND∽△BMD，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝，則可得出答案；（3）延長ME，AN相交于點H，證明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，證得HN＝MN，過點E作EG⊥BM于點G，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）證明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，∴∠ACN＝∠CBM，又∵AC＝BC，∴△ACN≌△CBM（AAS），∴AN＝CM；（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，∴△AND∽△BMD，∴，設(shè)AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，∵AN2+CN2＝AC2，∴x2+（2x）2＝12，∴x＝，∴CM＝，CN＝，∴MN＝，∴DM＝＝；（3）解：延長ME，AN相交于點H，∵E為AB的中點，∴AE＝BE，∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，∴AN∥BM，∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，∴△AHE≌△BME（AAS），∴AH＝BM，又∵BM＝CN，CM＝AN，∴CN＝AH，∴MN＝HN，∴∠HMN＝45°，∴∠EMB＝45°，過點E作EG⊥BM于點G，∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，∴sin∠EBG＝＝k，又∵AC＝BC＝1，∴AB＝，∴BE＝，∴EG＝k，∴EM＝EG＝k＝k．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，正方形中，為邊上任意點，平分交于點．如圖1，若點恰好為中點，求證：；

在的條件下，求的值；如圖2，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點連接當(dāng)時，求證：．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）延長交的延長線于點，求出，證明，得到，通過等量代換可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，在中，利用勾股定理求出，進而可求的值；（3）連接，首先證明，進而可求，然后可證，得出，結(jié)合可證，即可得到，問題得證．【詳解】（1）證明：如圖，延長交的延長線于點，

，，又平分，，，，點為中點，，又，，，，；（2）解：設(shè)，則，在中，，即，解得：或(舍去)，∴；（3）證明：如圖，連接，

，，，，又，，，又，，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，AD=BE，CD與AE交于F．（1）求∠AFD的度數(shù)；（2）若BE=m，CE=n．①求的值；（用含有m和n的式子表示）②若=，直接寫出的值．【答案】（1）60°；（2）①；②【分析】（1）利用SAS證出△ABE≌△CAD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和和等邊三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論；（2）過點E作EH∥AB交CD于點H，可證△CEH∽△CBD，△FEH∽△FAD，然后列出比例式，結(jié)合（1）中全等即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可設(shè)，然后根據(jù)相似三角形的判定定理證出△AFD∽ABE，列出比例式即可求出a的值，然后用m和n表示出EF和DF，再結(jié)合已知條件即可求出結(jié)論．【詳解】解（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠BCA=∠BAC=60°又AD=BE，∴△ABE≌△CAD，∴∠ADC=∠BEA∵∠BDF＋∠ADC=180°∴∠BDF+∠BEF=180