人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題09二次函數(shù)中的定值與定點(diǎn)壓軸題全梳理(原卷版+解析)

專題09二次函數(shù)中的定值與定點(diǎn)壓軸題全梳理類型一、定值問(wèn)題例．如圖1，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，連接．試探究：在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練1】已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過(guò)頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于，點(diǎn)、分別在拋物線和軸上，若為，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求的值；(3)如圖2，將拋物線向右平移一個(gè)單位得到拋物線，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為、，當(dāng)?shù)闹翟谌≈捣秶鷥?nèi)發(fā)生變化時(shí)，式子的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求其值．（解此題時(shí)不用相似知識(shí)）【變式訓(xùn)練2】如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．（1）求直線BD的解析式；（2）P為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Р到直線BD的距離為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線交拋物線與M，N兩點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)C到MN的距離是否為定值．【變式訓(xùn)練3】如圖1，拋物線，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于x軸于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除B、E外），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D．①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形的面積；②如圖2，直線分別與拋物線對(duì)稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問(wèn)，是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．類型二、定點(diǎn)問(wèn)題例．如圖，拋物線與x軸的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，與y軸的交于點(diǎn)C，．

(1)求拋物線的解析式；(2)P為拋物線在第四象限上的一點(diǎn)，直線與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，若是以為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)P是該拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，Q、N是拋物線對(duì)稱軸上兩點(diǎn)，．求證：存在確定的點(diǎn)N，使直線與拋物線只有唯一交點(diǎn)P．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線與軸分別相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），是的中點(diǎn)，平行四邊形的頂點(diǎn)，均在拋物線上．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)在第二象限，平行四邊形的面積是13，①求直線的解析式；②求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖（2），若點(diǎn)在拋物線上，連接，求證：直線過(guò)一定點(diǎn)．【變式訓(xùn)練2】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線AB與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若直線AB的解析式為，且的面積為35，求k的值；(3)如圖2，若，則直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，且的面積為6，

(1)求拋物線的對(duì)稱軸和解析式；(2)如圖1，若，為拋物線上兩點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求的值；(3)如圖2，過(guò)定點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，求證：直線必過(guò)定點(diǎn)．課后訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)P為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)D，且平分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，點(diǎn)Q為第四象限的拋物線上一點(diǎn)，直線BQ交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作直線，交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是否會(huì)變化？若不變，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度的變化范圍．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②若點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的圖像交于點(diǎn)Q，求線段的最大值；(2)過(guò)點(diǎn)M作的平行線，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為m、n，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試問(wèn)的值是否會(huì)發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出的值．3．如圖，直線：交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的拋物線：交直線于另一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的任意直線（不與軸平行）與拋物線交于點(diǎn)、，直線、分別交軸于點(diǎn)、，是否存在的值使得與的積為定值？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的左邊）與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖1，已知，且點(diǎn)的坐標(biāo)為①求拋物線的解析式；②P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖，為軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于，兩點(diǎn)（在的左邊），直線，分別交軸于，兩點(diǎn)，求的值．5．如圖1，已知一次函數(shù)的圖象與y軸，x軸相交于點(diǎn)A，B，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線上，設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m．(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求當(dāng)m為何值時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)最大；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的拋物線與直線相交于D，E兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)，分別與x軸交于P，Q兩點(diǎn)．試探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

專題09二次函數(shù)中的定值與定點(diǎn)壓軸題全梳理類型一、定值問(wèn)題例．如圖1，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，連接．試探究：在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為：；，則，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，，結(jié)合題意可得，建立方程求解可得，即可求解；（3）設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為：；設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入求得直線的解析式為：，得到，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，，結(jié)合題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將，，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）解：設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：；設(shè)，則，∴，又∵，∴，∵是以為底邊的等腰三角形，∴，∴，即，整理得：，解得：（舍去），，當(dāng)時(shí)，故．（3）解：設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：；∵直線平行于直線，故設(shè)直線的解析式為：，將代入得：，∴直線的解析式為：，將代入，得：，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴；當(dāng)時(shí)，整理得：，解得（舍去），；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，整理得：，解得：（舍去），；當(dāng)時(shí)，，故；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式，列方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過(guò)頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于，點(diǎn)、分別在拋物線和軸上，若為，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求的值；(3)如圖2，將拋物線向右平移一個(gè)單位得到拋物線，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為、，當(dāng)?shù)闹翟谌≈捣秶鷥?nèi)發(fā)生變化時(shí)，式子的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求其值．（解此題時(shí)不用相似知識(shí)）【答案】(1)(2)，或(3)【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解a即可；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)為邊時(shí)，②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)建立方程求解即可；（3）如圖，先求解，由拋物線向右平移一個(gè)單位得到拋物線的解析式為：，聯(lián)立方程組：，可得，，可得，，從而可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，故拋物線的解析式為：；（2）當(dāng)為邊時(shí)，如圖，∵四邊形為平行四邊形，∴，，

∵點(diǎn)，∴點(diǎn)，∴，，令，∴，解得：，或，點(diǎn)，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，，由平行四邊形性質(zhì)可得：，∴，解得：，或；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，記的中點(diǎn)為，如圖，∵，，∴，

設(shè)，而，∴，∴，∴，∴方程無(wú)解，則原方程組無(wú)解．綜上：，或；（3）如圖，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，

拋物線向右平移一個(gè)單位得到拋物線的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得：，，∴，，∵軸，軸，，．∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，本題難度較大，屬于壓軸題．【變式訓(xùn)練2】如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D．（1）求直線BD的解析式；（2）P為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Р到直線BD的距離為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線交拋物線與M，N兩點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)C到MN的距離是否為定值．【答案】（1）；（2）或；（3）C到MN的距離為定值【分析】（1）先利用拋物線的解析式求解坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解的解析式即可；（2）如圖，連接延長(zhǎng)至使可得證明可得到的距離為：過(guò)作的平行線，交拋物線于求解為：聯(lián)立解方程組可得答案；（3）如圖，過(guò)作于證明可得聯(lián)立：可得設(shè)則可得又可得解方程并檢驗(yàn)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）令則令設(shè)為解得：直線為：（2）如圖，連接延長(zhǎng)至使由同理：到的距離為：過(guò)作的平行線，交拋物線于由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：設(shè)為為：解得：或（3）如圖，過(guò)作于聯(lián)立：解得：設(shè)則檢驗(yàn)：不合題意舍去，取為定值．所以點(diǎn)C到MN的距離為定值．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖1，拋物線，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，F(xiàn)為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于x軸于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除B、E外），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D．①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形的面積；②如圖2，直線分別與拋物線對(duì)稱軸交于M、N兩點(diǎn)．試問(wèn)，是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)①4；②是，定值為8，理由見解析．【分析】（1）由當(dāng)時(shí)，，可知，是的兩根，代入方程可得，，從而得解；（2）①把代入拋物線解析式可得點(diǎn)坐標(biāo)，再將代入拋物線解析式可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得知線段軸，利用配方法可知點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用求面積；②設(shè)，，用待定系數(shù)法求出直線與直線的解析式，再令得，，從而得出，的長(zhǎng)，從而得到是定值8．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，是的兩根，，，，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）①把代入得：，．又當(dāng)，，，線段軸．，，；②設(shè)，，直線，，因此可得：或，解得：或，直線，．令得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及四邊形的面積求法，待定系數(shù)法等知識(shí)，掌握待定系數(shù)法和面積求法是解題的關(guān)鍵．類型二、定點(diǎn)問(wèn)題例．如圖，拋物線與x軸的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，與y軸的交于點(diǎn)C，．

(1)求拋物線的解析式；(2)P為拋物線在第四象限上的一點(diǎn)，直線與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)M，若是以為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)P是該拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，Q、N是拋物線對(duì)稱軸上兩點(diǎn)，．求證：存在確定的點(diǎn)N，使直線與拋物線只有唯一交點(diǎn)P．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，進(jìn)而得到，最后把．A兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線求出c的值即可；（2）如圖：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)M．則，再求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；直線PC的解析式為．再與聯(lián)立即可解答；（3）設(shè)，再求得直線解析式為，則，如圖：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，則．設(shè)，然后再運(yùn)用勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，．，，．，解得，．∴．（2）解：如圖：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)M．則．

∵直線是，，，，．，．解得：．．設(shè)直線的解析式為，，在直線上，直線PC的解析式為．聯(lián)立，得，，解得：，．當(dāng)時(shí)，．．（3）解：設(shè)，設(shè)直線解析式為：，聯(lián)立，．唯一交點(diǎn)，．，，，，直線PQ解析式為：．．過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，則．

設(shè)，，，，，．令，則．，，．存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，PQ與拋物線有唯一交點(diǎn)P．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、交點(diǎn)標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線以及數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，拋物線與軸分別相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），是的中點(diǎn)，平行四邊形的頂點(diǎn)，均在拋物線上．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)在第二象限，平行四邊形的面積是13，①求直線的解析式；②求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖（2），若點(diǎn)在拋物線上，連接，求證：直線過(guò)一定點(diǎn)．【答案】(1)(2)①；②(3)見解析【分析】（1）令，求出點(diǎn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)是的中點(diǎn)，即可求解；（2）①先求出點(diǎn)，即可求得直線的解析式，②過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，再由平行四邊形的面積是13，可得，再根據(jù)，列出關(guān)于的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；（3）設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立，可得，從而得到，再由平行四邊形的性質(zhì)，可得，，再由點(diǎn)在拋物線上，可得，從而得到直線的解析式為，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則，解得：，，，，是的中點(diǎn)，；（2）解：①點(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得，直線的解析式為，②如圖（1），過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，連接，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，平行四邊形的面積是13，，，，解得：或（舍去），點(diǎn)，點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)；（3）解：設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得：，整理得：，，四邊形為平行四邊形，，，，，點(diǎn)在拋物線上，，解得：，直線的解析式為，直線過(guò)定點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線AB與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若直線AB的解析式為，且的面積為35，求k的值；(3)如圖2，若，則直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）把代入函數(shù)解析式即可得到答案；（2）先求出，可得，結(jié)合，可得方程，結(jié)合，即可求解；（3）設(shè)，，過(guò)點(diǎn)P作直線軸，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作PN的垂線，垂足分別為N、M，由可得，聯(lián)立方程組，可得，，進(jìn)而即可求解.【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖1，已知直線AB的解析式為，令，則，∴直線AB過(guò)定點(diǎn)，∵，∴軸，，∴，∴，令，整理得，∴，，∴，整理得，解得或；（3）設(shè)，，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線軸，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作PN的垂線，垂足分別為N、M，設(shè)直線AB的解析式為，∵，，∴，∴，即，∴，∴①，聯(lián)立方程組，∴，∴，②，將②代入①，得化簡(jiǎn)，得，∴直線AB的解析式為，即，∴直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，掌握待定系數(shù)法，把函數(shù)問(wèn)題化為一元二次方程問(wèn)題是關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，且的面積為6，

(1)求拋物線的對(duì)稱軸和解析式；(2)如圖1，若，為拋物線上兩點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求的值；(3)如圖2，過(guò)定點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，求證：直線必過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)，(2)或或或(3)直線必過(guò)定點(diǎn)，證明見解析【分析】（1）先求得拋物線的對(duì)稱軸方程，利用對(duì)稱性和三角形的面積公式求得點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）設(shè)，，分為對(duì)角線、為對(duì)角線、為對(duì)角線三種情況，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分和中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求解即可；（3）設(shè)，，則直線的解析式為，由直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)則，再由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)可得直線的解析式為，進(jìn)而可求得，再利用待定系數(shù)法求得直線解析式為，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，，即直線必過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，，∴，則，∵的面積為6，∴，則，∴，將和代入中，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，設(shè)，，有三種情況：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則，∴，將F坐標(biāo)代入拋物線解析中，得，解得；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則，∴，將F坐標(biāo)代入拋物線解析中，得，解得；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則，∴，將F坐標(biāo)代入拋物線解析中，得，解得，；綜上，滿足條件得m值為或或或；（3）解：設(shè)，，設(shè)直線的解析式為，由得，∴，，則，，∴直線的解析式為，∵直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，∴，則，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，∴，則，∴直線的解析式為，由得，，∴，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，即，當(dāng)時(shí)，，∴直線必過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，若點(diǎn)P為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)D，且平分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，點(diǎn)Q為第四象限的拋物線上一點(diǎn)，直線BQ交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作直線，交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是否會(huì)變化？若不變，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)求出其長(zhǎng)度的變化范圍．【答案】(1)(2)(3)線段的長(zhǎng)度不會(huì)改變，線段的長(zhǎng)度為12【分析】（1）將代入中，得，令，即，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值；（2）設(shè)交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，利用角平分線的性質(zhì)可得，證明是等腰直角三角形，可得，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)，分別求出直線、直線的解析式，根據(jù)可得的解析式，可得出、的坐標(biāo)，即可得線段的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：由圖象，可知，將代入中，得，點(diǎn)，，令，即，解得，，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)，，，又，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，

，平分，，，又，，，，，又，，解得，，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴，聯(lián)立方程組，解得（舍去），，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，同理得：直線的解析式為，∵，設(shè)的解析式為，，，解得，的解析式為，當(dāng)是，，，線段的長(zhǎng)度為，線段的長(zhǎng)度不會(huì)改變，線段的長(zhǎng)度為12．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線及拋物線的解析式、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②若點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的圖像交于點(diǎn)Q，求線段的最大值；(2)過(guò)點(diǎn)M作的平行線，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為m、n，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試問(wèn)的值是否會(huì)發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出的值．【答案】(1)①；②；③(2)m+n的值為定值3【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)和二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸即可求出二次函數(shù)解析式；②根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求解即可；③設(shè)，求出直線的解析式，從而求出，即可求出的長(zhǎng)與t的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；（2）將代入二次函數(shù)解析式中，求出二次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)設(shè)出直線的解析式，然后聯(lián)立方程結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①由題意，解得，∴二次函數(shù)的解析式為．②∵對(duì)稱軸為直線，∴；③如圖，

∵，∴的表達(dá)式為設(shè)，∵軸∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為∴將代入得，∴∴∴的最大值為；（2）結(jié)論：的值為定值3．理由：如圖，

將代入二次函數(shù)解析式中，得解得：∴二次函數(shù)解析式為∴，設(shè)直線的解析式為，把代入得到：，∴直線的解析式為，∵，∴可以假設(shè)直線的解析式為，由，消去y得到：，∴，∵點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為m、n，∴．∴為定值，．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題型，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)求最值、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．3．如圖，直線：交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的拋物線：交直線于另一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的任意直線（不與軸平行）與拋物線交于點(diǎn)、，直線、分別交軸于點(diǎn)、，是否存在的值使得與的積為定值？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）在中，可得，，，即知，用待定系數(shù)法得拋物線的解析式為；（2）設(shè)，則，，可得，，由，得，即可解得；（3）由得，設(shè)，，直線的解析式為，可得，，同理得，可得，從而，設(shè)直線的解析式為，有，根據(jù)韋達(dá)定理得，，可求得，故當(dāng)時(shí)，．【詳解】（1）解：在中，令得，令得，，，，，，，，拋物線經(jīng)過(guò)，，，解得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)，則，，，，，，解得或（與重合，舍去），；（3）存在的值使得與的積為定值，理由如下：

在中，令得，解得或，，設(shè)，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，直線的解析式為，令，則，，，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)代入，得，直線的解析式為，令，則，，，，設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立方程組，，，，，當(dāng)時(shí)，為定值2，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，熟練應(yīng)用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解決問(wèn)題．4．如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（在的左邊）與軸交于點(diǎn)．

(1)如圖1，已知，且點(diǎn)的坐標(biāo)為①求拋物線的解析式；②P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖，為軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于，兩點(diǎn)（在的左邊），直線，分別交軸于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)①；②；(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得出，待定系數(shù)法求解析式即可求解；②設(shè)，又，求得