重難點(diǎn)01平行線（四種模型）-【滿(mǎn)分全攻略】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測(cè)試（滬教版）（原卷版）

重難點(diǎn)01平行線（四種模型）

目錄

題型一：M型（含鋸齒形）

題型二：筆尖型

題型三：“雞翅”型

題型四：“骨折”型

I」技巧方法

模型一：M模型

如圖，若AB//CD,你能確定NB、ND與NBED的大小關(guān)系嗎？

解：ZB+ZD=ZDEB.

理由如下：

過(guò)點(diǎn)E作EF//AB

又,/AB//CD.

EF//CD.

ZD=ZDEF.ZB=ZBEF.

ZB+ZD=ZBEF+ZDEF=ZDEB

即NB+ND=NDEB.

模型二、筆尖型

如圖，AB//CD,探索NB、ND與NDEB的大小關(guān)系？

解：ZB+ZD+ZDEB=360°.

理由如下：

過(guò)點(diǎn)E作EF//AB.

又VAB//CD.

EF//CD.

Z.ZB+ZBEF=180°.

ZD+ZDEF=180°.

ZB+ZD+ZDEB

=ZB+ZD+ZBEF+ZDEF=360°.

即2B+ND+NDEB=360°.

模型三、“雞翅”型

如圖，已知AB〃CD,試猜想NA、NE、ZC的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解：ZAEC=ZA-ZC,

理由如下：

過(guò)點(diǎn)E作EF//AB

又VAB//CD.

EF//CD.

ZA+ZFEA=180°,

ZC+ZFEC=180°

ZAEC=ZFEC-ZFEA

=180°-ZC-(180°-ZA)

=/A-NC

即：ZAEC=ZA-ZC

模型四、“骨折模型”

如圖，已知BC〃DE,試猜想NA、NB、ZD的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解：ZBAD=ZD-ZB,

理由如下：

過(guò)點(diǎn)A作AG//BC

又VCB//DE.

AG//DE

AZGAB+ZB=180°,

ZGAD+ZD=180°

ZBAD=ZGAB-ZGAD

=180°-ZB-（180°-ZD）

=ZD-ZB

即：ZBAD=ZD-ZB

注：平行線四大模型大題不可直接使用，必須證明后再用，選擇填空滿(mǎn)足條件即可直接用！

J能力拓展

題型一：M型（含鋸齒形）

一、填空題

1.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知BE平分■/ABC,DE平分/ADC,ZBAD=80°,

ZBCD=n°,則/BED的度數(shù)為.（用含〃的式子表示）

二、解答題

2.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB//CD,點(diǎn)￡在直線26,5內(nèi)部，且AELCE.

（1）如圖1,連接47,若力￡平分NBAC,求證：CE平分/ACD；

（2）如圖2,點(diǎn)〃在線段/￡上，

①若NMCE=NECD,當(dāng)直角頂點(diǎn)后移動(dòng)時(shí)，N54E與NMCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由；

②若NMCE」NECD（〃為正整數(shù)），當(dāng)直角頂點(diǎn)￡移動(dòng)時(shí)，/區(qū)w與/MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并

n

說(shuō)明理由.

3.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖:

B

(1)如圖1,AB//CD,ZABE^5°,ZCDE=21°,直接寫(xiě)出的度數(shù).

⑵如圖2,AB〃CD,點(diǎn)E為直線AB,CD間的一點(diǎn)，BF平分NABE,DF平分NCDE,寫(xiě)出NBED與

/戶(hù)之間的關(guān)系并說(shuō)明理由.

(3)如圖3,與。相交于點(diǎn)G,點(diǎn)E為ZBGD內(nèi)一點(diǎn)，平分/ABE,OR平分NCDE,若N3GD=60。，

ZBFD=95°,直接寫(xiě)出N3EO的度數(shù).

4.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))問(wèn)題情境：如圖①，直線AB〃CD,點(diǎn)￡,戶(hù)分別在直線四，CD上.

(1)猜想：若Nl=130。，Z2=150°,試猜想NP=°；

⑵探究：在圖①中探究Nl,Z2,-P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若Nl+N2=325。，Z￡P(guān)G=75°,求/PG尸的度數(shù).

5.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知直線a〃6,直線廝分別與直線a,6相交于點(diǎn)￡,F,點(diǎn)、A,6分別在

直線a,6上，且在直線"'的左側(cè)，點(diǎn)戶(hù)是直線斯上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)反尸重合），設(shè)/用￡=N1,/APB

=Z2,Z.PBF=/3.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段收上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明N1+/3=N2；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在線段砂外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況.

①如圖2寫(xiě)出Nl,Z2,/3之間的關(guān)系并給出證明;

②如圖3所示，猜想/I,Z2,/3之間的關(guān)系（不要求證明）.

6.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知直線45〃切，成是截線，點(diǎn)〃在直線力反刃之間.

（1）如圖1,連接掰HM.求證：/M=NAGM+/CHM；

⑵如圖2,在/版的角平分線上取兩點(diǎn)4Q,使得//加.試判斷/〃與/G"之間的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

7.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題.

已知：如圖1,ABCD,直線跖分別交A3,CD于點(diǎn)E,F.ZBEF的平分線與/￡>FE的平分線交于點(diǎn)

(1)求證：EG上FG；

⑵填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由.我選擇—題.

①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作乙5EG的平分線與/DPG的平分線交于點(diǎn)得到圖2,則/EMF的度數(shù)

為—,

②如圖3,ABCD,直線分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.點(diǎn)。在直線A2,8之間，且在直線E尸右

側(cè)，N3E0的平分線與/DR9的平分線交于點(diǎn)尸，則NEO尸與NEPF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為.

8.(2023春?江蘇?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖1,ABHCD,ZPAB^130°,ZPCD=120°,求/APC的度數(shù).小

明的思路是：如圖2,過(guò)P作PE〃A5,通過(guò)平行線性質(zhì)可求/APC的度數(shù).

(1)請(qǐng)你按小明的思路，寫(xiě)出/"C度數(shù)的求解過(guò)程;

(2)如圖3,AB〃CD,點(diǎn)尸在直線3。上運(yùn)動(dòng)，記443=Na,NPCD=N￡.

①當(dāng)點(diǎn)尸在線段近》上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則/APC與/￡、4之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由;

②若點(diǎn)P不在線段即上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出-APC與Na、”之間的數(shù)量關(guān)系.

9.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容.

(1)如圖(1)已知A3〃CD,則N3+ND=NB￡D.

解：過(guò)點(diǎn)E作直線環(huán)7/AB.

Z.ZFEB=().()

VAB//CD,EF//AB,

：.()//().(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行)

Z.ZFED=().().

ZB+ZD=Z.BEF+Z.FED.

：.ZB+ZD=ZBED.

(2)如圖②，如果AB〃CO,則NB+NBED+ND=()

10.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖1,AB//CD,E是43,5之間的一點(diǎn).

BBB

D

圖1圖2圖3

⑴判定/掰￡,應(yīng)與//項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑵如圖2,若NBAE,/儂的角平分線交于點(diǎn)凡直接寫(xiě)出//必與之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）將圖2中的射線小沿施翻折交"'于點(diǎn)G得圖3,若/力3的余角等于2/￡的補(bǔ)角，求/風(fēng)出的大小.

11.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已廓AB]/CD.

（1）如圖1,E為AB,。之間一點(diǎn)，連接陽(yáng)DE,得到項(xiàng).求證：2BED=2B+/D；

（2）如圖，連接力〃BC,BF平■分/ABC,如平分//〃C,且陰以所在的直線交于點(diǎn)尸.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)6在點(diǎn)力的左側(cè)時(shí)，若/4?C=50°,N4OC=60°,求/母》的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)6在點(diǎn)力的右側(cè)時(shí)，設(shè),請(qǐng)你求出的度數(shù).（用含有a,B的

式子表示）

A____________

E

CL>DCD

圖1圖2圖3

12.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，4?〃陽(yáng)點(diǎn)〃在上，點(diǎn)N在沖上.

(1)如圖1中，/BME、/￡、/覬9的數(shù)量關(guān)系為：；(不需要證明)

如圖2中，/BMF、NF、的數(shù)量關(guān)系為：；(不需要證明)

(2)如圖3中，NE平■分4FND,MB平■6/FME,且2/￡+/尸=180°,求/項(xiàng)F的度數(shù)；

(3)如圖4中，NBME=60°,EF平■令/MEN,質(zhì)平分/功9,旦EQ〃NP,則/儂的大小是否發(fā)生變化,

若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，求出/用2的度數(shù).

圖1圖2圖3圖4

13.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖1,點(diǎn)A、8分別在直線GH、MN上,ZGAC=ZNBD,NC=/D.

(1)求證：GH//MN；(提示:可延長(zhǎng)AC交A/N于點(diǎn)尸進(jìn)行證明)

(2)如圖2,AE平分NGAC,DE平分NBDC,^ZAED=ZGAC,求/GAC與/ACD之間的數(shù)量關(guān)系;

(3)在(2)的條件下，如圖3,B尸平分點(diǎn)K在射線跖上，ZKAG=^ZGAC,^ZAKB=ZACD,

直接寫(xiě)出NG4c的度數(shù).

14.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知相〃切，//龐的角分線與應(yīng)的角分線相交于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,若傲荻分別是//斯和/0方的角平分線，且/頷=100°,求N〃的度數(shù)；

(2)如圖2,若NABM=；NABF,ZCDM=^ZCDF,ZBED=a°,求/〃的度數(shù);

(3)若/ABM=LNABF,ZCDM=-ZCDF,請(qǐng)直接寫(xiě)出與/戚之間的數(shù)量關(guān)系.

15.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知直線4A9和點(diǎn)8在同一平面內(nèi)，且/〃〃gAB±BC.

(1)如圖1,求//和/C之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若BDJLAM,垂足為〃求證：/ABD=/C；

(3)如圖3,已知點(diǎn)D、E、戶(hù)都在直線/〃上，a/ABD=Z.NCB,BF平■分■2DBC,BE平%4ABD.若/FCB叱NCF

=180°,NBFC=3/DBE,請(qǐng)直接寫(xiě)出/歐'的度數(shù).

16.(2021春?遼寧大連?七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，AB//CD,點(diǎn)。在直線。上，點(diǎn)P在直線A3和。之

間，ZABP=NPDQ=a,PD平分NBPQ.

D

D

(1)求/BPD的度數(shù)(用含a的式子表示)；

(2)過(guò)點(diǎn)。作OE〃尸。交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,作—DE尸的平分線麻交尸。于點(diǎn)尸，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖

形，猜想所與尸。的位置關(guān)系，并證明；

(3)將(2)中的“作—DEP的平分線E尸交尸D于點(diǎn)尸”改為“作射線跳1將2DE尸分為1:3兩個(gè)部分，

交PD于點(diǎn)F"，其余條件不變，連接EQ,若EQ恰好平分NPQD,請(qǐng)直接寫(xiě)出ZEEQ=(用

含a的式子表示).

題型二：筆尖型

一、單選題

1.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）①如圖1,AB//CD,則ZA+ZE+NC=36O。；②如圖2,AB//CD,則

ZP=ZA-ZC；③如圖3,AB//CD,貝ijNE=/4+/l；④如圖4,直線A3〃CD//4,點(diǎn)。在直線E尸

上，貝||4-4+々=180。.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

二、填空題

2.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,若直線乙〃乙，/a=/B,Zl=30°則/2的度數(shù)為

3.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,直線a與/出力的一邊射線處相交，Zl=130°,向下平移直線a

得到直線6,與//如的另一邊射線如相交，則/2+/3=

三、解答題

4.（2021春?山東德州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1,AB//CD,ZA=33°,ZC=40°,則NAPC=

(2)如圖2,M//OC,點(diǎn)P在射線。亂上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸在3、。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZBAP=Na,NDCP=N/3,

求NCR4與/a、"之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)尸在3、。兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)尸與點(diǎn)8、D、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你直接

寫(xiě)出NCR4與Na、夕之間的數(shù)量關(guān)系.

5.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))(1)如圖(1)AB//CD,猜想、/BPD與/B、/〃的關(guān)系，說(shuō)出理由.

(2)觀察圖(2),已知AB〃CD,猜想圖中的/〃力與/B、的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知四〃繆,猜想圖中的/勿力與/氏N〃的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由.

(1)(2)(3)(4)

6.(2021春?安徽合肥?七年級(jí)統(tǒng)考期末)問(wèn)題情景：如圖1,AB//CD,/以6=140°,ZP6Z?=135°,

求/"C的度數(shù).

(1)麗麗同學(xué)看過(guò)圖形后立即口答出：,請(qǐng)補(bǔ)全她的推理依據(jù).

如圖2,過(guò)點(diǎn)戶(hù)作陽(yáng)〃

因?yàn)??〃必，所以也〃0.()

所以/4+//必'=180°,/3/陛=180°.()

因?yàn)?以8=140°,/陽(yáng)9=135°,所以/4也=40°,Z67^=45°,

AAPC=AAPE+Z(7^=85°.

問(wèn)題遷移：

(2)如圖3,AD//BC,當(dāng)點(diǎn)P在力、6兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，4ADP=/a,/BCP=/6,求/。刃與Na、N￡

之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)P在46兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)戶(hù)與點(diǎn)/、B、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)直接寫(xiě)出

乙CPD與乙a、/￡之間的數(shù)量關(guān)系.

7.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))已知直線46〃5，尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接用、PD.

(1)如圖1,已知N/=50°,ZZ?=150°,求//如的度數(shù)；

(2)如圖2,判斷/R瓜/CDP、N4加之間的數(shù)量關(guān)系為

(3)如圖3,在(2)的條件下，APVPD,DN平■令人PDC,若4PAN^4PAB=4APD,求/AW的度數(shù).

8.(2022春?貴州黔南?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))綜合與探究：

(1)問(wèn)題情境：如圖1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求，"C的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：

如圖2,過(guò)戶(hù)作PEAB,：.ZAPE+ZPAB=180°.

，ZAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°.

,/ABCD.：.PE//CD.

請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答.

(2)問(wèn)題探究：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問(wèn)題：

如圖3,點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動(dòng)，AADP=Za,ABCP=Z/3.當(dāng)點(diǎn)尸在45兩點(diǎn)之間時(shí),

之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

圖3

9.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖①，直線AB〃CD,E是AB與AD之間的一點(diǎn)，連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)：ZB+ZC=ZBEC,請(qǐng)你

寫(xiě)出證明過(guò)程；

(2)拓展探究

如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：NB+NC=360。-NBEC.

（3）解決問(wèn)題

如圖③，AB//DC,ZC=120°,ZAEC=80°,則/A=.（直接寫(xiě)出結(jié)論，不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）

圖①

10.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下面材料，完成（1）?（3）題.

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：

如圖1,已知AB〃C￡）,點(diǎn)瓦/分別在A3,。上，EP±FP,Z1=6O°.求N2的度數(shù).

Abjf

CFD

圖1

同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：

小明：“如圖2,通過(guò)作平行線，發(fā)現(xiàn)N1=N3,N2=N4,由已知可以求出N2的度數(shù).”

圖2

小偉：”如圖3這樣作平行線，經(jīng)過(guò)推理，得N2=N3=/4,也能求出/2的度數(shù).”

.4B

Q?

圖3

圖4

（1）請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫(huà)的圖形（圖2）,描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：；

⑵請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫(huà)的圖形，直接寫(xiě)出N2的度數(shù)為°；

老師：”這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)方法可以推廣.”

請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類(lèi)似的方法，解決下面的問(wèn)題：

（3）如圖，AB〃CD,點(diǎn)E,尸分別在AB,CD上，F(xiàn)P平分NEFD,NPEF=NPDF,若NEPD=a,請(qǐng)?zhí)骄縉CFE

與ZPEF的數(shù)量關(guān)系（（用含a的式子表示），并驗(yàn)證你的結(jié)論.

11.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）問(wèn)題情境:如圖1,AB//CD,ZPAB^130°,ZPCD=120°,求/APC

的度數(shù).

A

D

圖1圖2圖3圖4

MMM

P

BtB,B,

N-N-N/D

cO'DcOco

圖5備用圖1備用圖2

思路點(diǎn)撥：

小明的思路是：如圖2,過(guò)戶(hù)作PEAB,通過(guò)平行線性質(zhì),可分別求出NAPE、ZCPE的度數(shù)，從而可求

出/APC的度數(shù);

小麗的思路是：如圖3,連接AC,通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出-APC的度數(shù);

小芳的思路是：如圖4,延長(zhǎng)相交。C的延長(zhǎng)線于E,通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出

—APC的度數(shù).

問(wèn)題解決:請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的ZAPC的度數(shù)為

問(wèn)題遷移：

（1）如圖5,AD//BC,點(diǎn)戶(hù)在射線31上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)戶(hù)在/、6兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZADP=Za,

ZBCP=ZJ3.ZCPD,/?、4之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在46兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)戶(hù)與點(diǎn)點(diǎn)B、。三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)

出/CP。、/a、/間的數(shù)量關(guān)系.

12.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知直線點(diǎn)4。分別在4，4上，點(diǎn)方在直線乙，4之間，且

ZBCN<ZBAM<90°.

①②備用圖

(1)如圖①，求證：ZABC=ZBAM+ZBCN.

閱讀并將下列推理過(guò)程補(bǔ)齊完整：

過(guò)點(diǎn)、B作BG//NC,因?yàn)椤?,

所以()

所以ZABG=/R4M,ZCBG=ZBCN()

所以ZABC=ZABG+NCBG=NBAM+NBCN.

(2)如圖②，點(diǎn)〃￡在直線4上，且ZDBC=/AW,BE平■分NABC.

求證：ZDEB=ZDBE；

(3)在(2)的條件下，如果/CBE的平分線即與直線乙平行，試確定4W與/3CN之間的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

13.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知AB//CD,定點(diǎn)E,尸分別在直線8上，在平行線AB,CD之

間有一動(dòng)點(diǎn)P.

B

D

備用圖1

EB

EB

D

D

備用圖3

備用圖2

(1)如圖1所示時(shí)，試問(wèn)ZAEP,NEPF,/PFC滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.

(2)除了（1）的結(jié)論外，試問(wèn)NEPF,NPPC還可能滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)畫(huà)圖并證明

當(dāng)NEPF滿(mǎn)足（T<Z￡P(guān)F<180。，且QE,。尸分別平分/PEB和NPFD,

①若NEP尸=60°,則NEQF=

②猜想NEP尸與/EQ尸的數(shù)量關(guān)系.（直接寫(xiě)出結(jié)論）

題型三：“雞翅”型

一、解答題

1.（2021春?浙江臺(tái)州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AD1AB于點(diǎn)4/￡〃切交8C于點(diǎn)￡,且所，AB

于點(diǎn)F.

求證：NC=N1+N2.

證明：2AB于點(diǎn)4EFLAB于點(diǎn)、F,（已知）

:.NDAB=NEFB=90°.（垂直的定義）

：.AD//EF,（）

=Z1（）

,：AE//CD,（已知）

AZC=.（兩直線平行，同位角相等）

,/ZAEB=ZAEF+Z2,

：.ZC=Z1+Z2.（等量代換）

2.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）已知：如圖（a）,直線。E〃AB.求證：ZABC+NCDE=NBCD；

（2）如圖（6）,如果點(diǎn)。在4?與切之外，其他條件不變，那么會(huì)有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新

的猜想？

3.（2022?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè)）已知，AE//BD,ZA^ZD.

（1）如圖1,求證：AB//CD；

（2）如圖2,作，54E的平分線交CO于點(diǎn)/，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)，連接尸G,若NCFG的平分線交線段AG

于點(diǎn)H,連接AC,ZACE=ZBAC+ZBGM,過(guò)點(diǎn)“作JLfH交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求/應(yīng)1F+NGMH的度數(shù).

4.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）直線〃/%，/是4上一點(diǎn)，8是4上一點(diǎn)，直線％和直線4，4交于點(diǎn)「和〃

在直線切上有一點(diǎn)P.

（1）如果P點(diǎn)在C、2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)/PAC、/APB、NPBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若點(diǎn)尸在a。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（尸點(diǎn)與點(diǎn)C、〃不重合），試探索/PAC、NAPB、之間的

關(guān)系又是如何？（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不需要證明）

5.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知AM//CN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，ABI3c于B.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,點(diǎn)8在兩條平行線外，則NA與/C之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）點(diǎn)8在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)D.

①如圖2,說(shuō)明NABD=NC成立的理由；

②如圖3,BF平分/DBC交DM于點(diǎn)、F,BE平分/ABD交DM于點(diǎn)、E.若

ZFCB+/NCF=180°,/BFC=3NDBE,求/EBC的度數(shù).

題型四：“骨折”型

一、填空題

1.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，如果/6〃朗EF//CD,則/I,Z2,Z3的關(guān)系如：

2.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，AB//CD,Z￡=37°,AC=20°,則/反步的度數(shù)為

3.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知〃/）E,/力除80°,NCDE=\40°,則/加氏

4.(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖，若ABHCD,則N1+/3-/2的度數(shù)為

二、解答題

5.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))(1)如圖，AB//CD,CF平分NDCE,若NaK30。，