高中數(shù)學(xué)簡(jiǎn)易邏輯一教學(xué)教案

《簡(jiǎn)易邏輯》學(xué)案

1.什么是命題___________________________

o命題的結(jié)構(gòu)是“假設(shè)A則B〃

其中A是題設(shè)，B是結(jié)論。請(qǐng)舉例。

2.舉不是命題的例子：（沒有作出判斷的如:

不能判斷真假的如：）

3.什么是真命題、假命題，請(qǐng)舉例〔說明：

“成立〃的命題稱真命題；反之，稱假命題。

成立的標(biāo)志是什么呢？是指滿足了它的題

設(shè)，一定得到它所說的結(jié)果，得不到或者不

一定得到〔有時(shí)得到，有時(shí)得不到〕，都謂

之不成立。

例如，“銳角和鈍角相等〃是假命題，“互補(bǔ)

的兩個(gè)角，是一個(gè)銳角一個(gè)鈍角〃也是假命

題。

所以，判定命題的真假時(shí)，是否滿足“一

定〃，是唯一標(biāo)準(zhǔn)，只要有一個(gè)反例，就是

假命題。

請(qǐng)說明“SSA〃不能判斷三角形全等的道理。

4.什么是假命題，請(qǐng)

舉例?！舱f明：假命題也是命題，要有“一

分為二〃的思想）

5謖輯連接詞有“或〃、”且〃、”非〃

6什么是簡(jiǎn)單命題______________________

7什么是復(fù)合命題_______________________

8常用的復(fù)合命題有：

（其中p、q是簡(jiǎn)單命題），請(qǐng)舉例。

9.“非命題〃的真值表

P非P

真假

假真

10.“且命題〃的真值表

Pqp且q

真真真

真假假

假真假

假假假

11.“或命題〃的真值表

Pqp或q

真真真

真假真

假真真

假假假

P非p

是不是

二W

><

><〔不大于)

e任

uO

A或B才且有

A且B4或百

都是不都是

任意x……存在x……

至少n個(gè)至多(n-1)個(gè)

有無

13.復(fù)合命題的非命題.寫復(fù)合命題的“非命

題〃時(shí)，假設(shè)原來命題是用“或〃字連接的

復(fù)合命題，應(yīng)把每個(gè)根本命題否認(rèn)后再用

“且〃字連接；假設(shè)原來命題是用“且〃字

連接的復(fù)合命題，應(yīng)把每個(gè)根本命題否認(rèn)

后，用“或〃字連接。你知道為什么嗎？

（=AuB,A^JB-AoB）

14.四種命題

原命題（假設(shè)A則B〕

逆命題〔假設(shè)B則A）

否命題〔假設(shè)了則方）

逆否命題（假設(shè)8則X）

說明：原命題具有相對(duì)性?！凹僭O(shè)A則B〃

并不是命中注定的原命題，以上四種命題中

的任何一個(gè)都可以做原命題。

15.重要結(jié)論：

11）原命題真，它的逆命題不一定真。

〔2〕原命題真，它的否命題不一定真。

〔3〕原命題真，它的逆否命題真。

14［原命題假，它的逆否命題假。

由于逆命題與否命題互為逆否命題，所以：

逆命題與否命題的真假相同。

16.反證法：

（1）.依據(jù)：證明“假設(shè)A則巨〃是假命題，

也就證明了“假設(shè)人則『是真命題。

(2).大致過程：假設(shè)結(jié)論的補(bǔ)集成立，進(jìn)行

推理，引出了矛盾。那么，原命題成立

例1.：A、B、C、D是同一平面上任意四點(diǎn),

其中任意三點(diǎn)都不在同一條直線上。

求證：/XABC、AABD>AACD>Z\BCD不都是

銳角三角形。

例2.m、n都是奇數(shù)。證明關(guān)于x的方程

x2+g+孔=。沒有整數(shù)解。

17.常見的沒有邏輯連結(jié)詞的復(fù)合命題：

①或命題：“存在X如何如何〃、“至少有

一個(gè)X如何如何〃等說法，它們都是“或〃

命題。

②且命題：“一切X都如何如何〃、“任意X

如何如何〃、“無論哪一個(gè)X都如何如何〃

等說法，它們都是“且〃命題。

18.否命題與非命題的區(qū)別：

原命題非命題否命題

假設(shè)A則B非假設(shè)A則B假設(shè)

典型題：

給出兩個(gè)命題：

甲：關(guān)于X的不等式—+(〃-1)%+/〉。的

解集是Ro

乙：函數(shù)/(?=(2。2-4口是增函數(shù)。

(1)假設(shè)甲是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

〔2〕假設(shè)甲是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(3)假設(shè)乙是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(4)假設(shè)乙是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(5〕假設(shè)甲、乙都是真命題，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍；

〔6〕假設(shè)甲、乙都是假命題，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍；

(7)假設(shè)甲是真命題或乙是真命題，求實(shí)

數(shù)a的取值范圍；

(8)假設(shè)甲、乙至少有一個(gè)是真命題，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(9〕假設(shè)甲、乙至少有一個(gè)是假命題，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍；

〔10〕假設(shè)甲真且乙假，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍；

(11)假設(shè)甲假且乙真，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍。

想法：甲是真命題=/\<00（。-1）2-4/<0

03a2+2a-1>0O〃<-1或a>|........①；

乙是真命題

02々2_。>00。<°或。>5???②

利用①②來進(jìn)行交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算，

就得到各題的答案。

充分條件與必要條件

1.真假命題的表示：

一般的，當(dāng)命題“假設(shè)p則q〃是真命題時(shí),

記作：pnq；當(dāng)命題“假設(shè)p則q〃是假命

題時(shí)，記作：O

2.定義：當(dāng)p=q時(shí)，就稱：p是q的充分

條件；q是p的必要條件。

3.關(guān)于定義的理解，有下面的想法：

對(duì)于集合p、q：

假設(shè)p=q,則p是q的充分條件；q是

p的必要條件。所以，民間流傳有“假設(shè)小

推出了大，則小是大的充分條件；大是小的

必要條件〃。

例如：因?yàn)橛校簒〉2nx〉0,所以x〉2是

x>0的充分條件；x>0是x>2的必要條件。

數(shù)軸圖如下：

例如：ABCD是矩形—ABCD是對(duì)角線

相等的四邊形。前者是后者的充分條件；后

者是前者的必要條件。Venn圖如下：

4.當(dāng)，O<7時(shí)，稱p與q互為充要條件。Venn

圖如下：

想法：p與q是相等集合，則p與q互為充

要條件。

5.點(diǎn)石成金：

對(duì)于集合p、q：

①假設(shè)p=q，則p是q的充分條件；q

是p的必要條件；

②假設(shè)pu小則p是q的充分不必要

條件；q是p的必要不充分條件；

③假設(shè)P=9,則p與q互為充要條件；

④假設(shè)p與q沒有包含關(guān)系，而是相交、

相離關(guān)系，則p與q互稱既不充分也不必要

條件。

請(qǐng)你畫Venn圖理解以上四種情況。

6.典型題：

【知識(shí)穩(wěn)固練習(xí)】

1.寫出“2——5x—3<0〃的幾個(gè)必要不充

分條件;

想法：寫出的集合的范圍大。

2

解法:設(shè)p：2X-5X-3<0,BPP：-|<^<3

由定義：當(dāng)時(shí)，q是p的必要不充分

條件，即q的范圍比p：—<*<3大。例如:

-1<%<3或-3<%<3或-9％W3等等。

2.寫出“2——5%—3<。〃的幾個(gè)充分不必

要條件;

想法：寫出的集合的范圍小。

2

解法:設(shè)q：2x-5x-3<0,Bpq：-|<^<3

由定義：當(dāng)〃U4時(shí)，p是q的充分不必要

條件，即p的范圍比q：—<x<3小。例如:

0<%<3或-：<%<2或。<%<1等等。

3.寫出“2/—5x—3<0〃的充要條

件;

想法：寫出的集合的范圍不能擴(kuò)大，也不能

縮小。

解法:令P：21—5x—3<0,即p：-：<入<3

假設(shè)q是p的充要條件，那么，p=q,

“2X2-5X-3<0〃的充要條件是

1。

—<x<3

2°

4.寫出“2f—5x—3＜。〃的幾個(gè)既不充

分也不必要條件；

想法：寫出的集合的范圍與原范圍無包含關(guān)

系。

5.p：.x(x_3)<0,q：2x2—5x—3<0,

貝！J：P是q的條件；

q是p的條件；

p是q的條件。

想法：畫數(shù)軸，找包含關(guān)系，再下結(jié)論。

【能力練習(xí)】

6P.A={xx2+ox+2=0

2

n.B={xx—3x+2=0}.

①假設(shè)p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍；

②假設(shè)p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍。

③假設(shè)p是q的充要條件，求實(shí)數(shù)a的值。

想法：將各種情況化歸為集合間的包含關(guān)

系。答復(fù)順序按③-②—①為宜。

7.甲：pcq=p,,乙：puq,那么，

甲是乙的條件；乙是甲的一條件。

想法：將=p化歸為〃三學(xué)。很顯然:

乙能推出甲，但甲不能推出乙。

所以乙是甲的充分不必要條件；

甲是乙的必要不充分條件。

8.甲：，，F(xiàn)；乙：xwy,那么，

甲是乙的條件；乙是甲的一條件。

想法：直接判斷“一wy2n%。y〃不容易,

則通過判斷它的逆否命題"X=y=/=,2〃

來實(shí)現(xiàn)。

【素質(zhì)練習(xí)】

9.〃必+2%+1=0至少有一個(gè)負(fù)根的充要

條件是；

想法：一分為二思想，并集思想。

10.集合A=2%+3=0｝是單元素集

的充要條件是o

想法：一分為二思想，并集思想。

11.判斷正誤，并指出充分性、必要性

第一組

a>b=>a2>b2〔）

a>b>Q^a2>b2〔）

a>b=>4a>4b〔）

a>b>04a>4b〔）

第二組

a>b<^>a+c>b+c〔）

a1>b2b〔）

a>b2<?|^|>|Z?||）

a2wZ?2b（）

a2豐b?na豐b（、

第三組

在c>0時(shí)，a>boac>be〔

在c>0時(shí)，a>b<^ac<bc〔

含參數(shù)的不等式解法(專題一)

一.題型

1.參數(shù)a不在主元X的系數(shù)中；

例如：解不等式

⑴—(〃+〃2)+〃3>0

⑵x—1—l+a<0

x-a

[3)解不等式一<°n

2.參數(shù)a在主元X的系數(shù)中。

例如：解不等式

⑴ax+1>2

[2)ax+1>2a

ax-l、八

〔3〕解不等式1萬一。

(4)解不等式儂2+(m—2)x—2〉0

二.解題規(guī)律：

兩種題型的完全解答過程都必須對(duì)參數(shù)a,

〔其中4題是m)分不同的取值集合〔這些

集合的并集一般是R)分開求解。

題型“1”一般以某個(gè)“特征數(shù)〃來分R；

題型“2”一般以“系數(shù)=0”、“系數(shù)〉0”、

“系數(shù)<0〃來分R.

恒成立問題〔專題二）

通常，說某個(gè)方程（含未知數(shù)的等式）

恒成立，是指它的解集為R,即全體實(shí)數(shù)。

此時(shí)，稱它“方程〃，口是心非，因?yàn)樗?/p>

一個(gè)恒等式了，例如：2x+l=x+l+xo類似地，

說一個(gè)方程恒不成立，是指它的解集為

即無解。例如％2+1+1=0。

與之對(duì)應(yīng)，說某個(gè)不等式恒成立，是指

它的解集為R,即全體實(shí)數(shù)。此時(shí)，稱它“不

等式〃，口是心非，因?yàn)樗且粋€(gè)絕對(duì)成立

的不等式了。例如f+x+l>0,類似地，說

一個(gè)不等式恒不成立，是指它的解集為0,

即無解，例如尤2+X+2W0。

解決恒成立（或恒不成立）問題的規(guī)律：

規(guī)律一.假設(shè)遇到含一個(gè)“門〃不等式的解

集為R或0,則往“非負(fù)〃去想。

例：假設(shè)不等式白+5]>。的解集為R,求a的

取值范圍。

解：因?yàn)閨2%+5|2°恒成立，這是絕對(duì)值的性

質(zhì)。所以，假設(shè)不等式|21+5]>。恒成立，即

解集為R,則a<0.

例：假設(shè)不等式|2X+5|VQ的解集為0,求

a的取值范圍。

解：因?yàn)閨2%+5|20恒成立，所以|2%+5|<。

解集為0,所以假設(shè)不等式|2X+5|VQ的解

集為0,則a<0.

規(guī)律二.遇到一元二次不等式的解集為R或

0,則考慮拋物線的開口方向與“△〃這兩

要素來列、解不等式組。

例：假設(shè)不等式x2-2x+a>0的解集為R,

求a的取值范圍.

解：因?yàn)椴坏仁絝—2%+。>0的解集為

R,所以對(duì)應(yīng)拋物線y=2x+a的圖像整體

在x軸上方，又已經(jīng)明確開口向上。故△<(),

即：4-4a<0,所以，a>l.

練習(xí)：假設(shè)不等式初2—QX+1〉O的解集

為R,求a的取值范圍.