高三數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升之?dāng)?shù)學(xué)考點講解與真題分析（平面的基本性質(zhì)與推論以及立體幾何的綜合問題）

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點講解與真題分析（五）

01平面的基本性質(zhì)與推論

一.重難點解讀

1.判定空間兩條直線是異面直線的方法:平面外一點/與平面內(nèi)一點8的連線和平面內(nèi)

不經(jīng)過該點8的直線是異面直線.

2.平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用：性質(zhì)1用符號語言表示：Ael,B&l,Aea,Bea^l<za.這

條性質(zhì)是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗證一個面是否是，平面。基本性質(zhì)2用

A,B,C不共線'

符號語言表示：A,B,Cea,na與尸重合.有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”

A,B,Ce/3

說明圖形存在，但不保證唯一，“只有一個”說明圖形如果有的話，頂多只有一個，但不保證

符合條件的圖形存在，“有且只有一個''既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.性

質(zhì)3符號語言：Pea,且PWB=a分=/，且Pe/..揭示了兩個平面相交的主要特征，是判

定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個平面交線的方法.今后所說的兩個平面（或兩條直線）,

如無特殊說明，均指不同的平面（直線）.，性質(zhì)3的應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定

點在直線上.

3.集合中、、￡”的符號只能用于點與直線，點與平面的關(guān)系，、'u'和、、n"的符號只能用于

直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號，但在讀法上仍用

幾何語言。

二.注意點剖析

1.三個公理的作用：平面的基本性質(zhì)1：①說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別；②是判定

直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；③也可用于驗證一個面是否是平面。平面的基本性質(zhì)2.證明

兩平面重合；平面的基本性質(zhì)3的作用有五個：①判定兩個平面相交；②證明點在直線

上；.③證明三點共線；④證明三線共點，；⑤畫兩個相交平面的交線.一

2.注意事項（1）應(yīng)用性質(zhì)2時，要注意條件''三個不共線的點”.事實上，共線的三點是

不能確定一個平面的.（2）在立體幾何中，符號與、'u"的用法與讀法不要混淆.（3）解

決立體幾何問題時注意數(shù)學(xué)符號、文字語言、圖形語言間的相互轉(zhuǎn)化.（4）在平面幾何

中，往往把輔助線畫成虛線，而在立體幾何中則不然，凡是被平面遮住的線都要畫成虛

線，凡是沒被遮住的線都要畫成實線，無論是圖中固有的線還是后作的輔助線。

三、典例剖析

1.公理1的應(yīng)用

公理1是證明直線在平面內(nèi)的依據(jù)，證明時只需證明直線上有兩個點在平面內(nèi)。

例1、如圖，▲ABC中，若AB,BC在平面a內(nèi)，判斷AC是否在平面a內(nèi)？為什

么？

解：由AB、BC在平面a內(nèi)，得wa，根據(jù)公理1,得AC在平面a內(nèi)。

2.公理2的應(yīng)用

證明共面問題。證明時一般有兩種途徑:一是先證其中部分元素可以確定一個平面，

再證其余元素在這個平面內(nèi)；二是先證這些元素分別確定若干個平面，再利用唯一性證

明這些平面重合。

例2、已知四條直線a,b,c,d兩兩相交且不共點,

求證：a,b,c,d四線共面。

證明：(1)無三線共點情況，由于a,c,c,d兩兩相交，知a,b可確定一平面a,

設(shè)

c與a,b分別交于A,B兩點，因為aua,Oua,Aea,Beb，則Awa,Cea,

所以cue,同理可證dua，所以a,b,c,d四線共面。

(2)三線共點情況，設(shè)a,b,c三線相交于點H,d與a,b,c分別交于E,F,

G三點，因為a,c,c,d兩兩相交且不共點，所以“￡",所以點H與直線d可確定

一平面夕，

由Ewd，得Ee尸,又由H€B<E€0得au0,同理可證bu力,cu/3,所以

a,b,c,c四線共面。

3.公理3的應(yīng)用

1、作兩個平面的交線，解題時只要找出兩個平面的兩個公共點，再連結(jié)這兩個點

即可。

2、證明多點共線，可先證明這些點是兩個平面的公共點，再利用兩個平面交線的

唯_

性說明這些公共點共線。

例3、已知M、N、P、Q分別是正方體A5CD—A5CQ中棱AB、BC、C,DPC,C

的中點，證明：M、N、P、Q四點共面。

解：如圖，連結(jié)MN并延長交DC延長線于0,

貝必MBN=\OCN,所以CO=MB,連結(jié)PQ并延長交DC延長線于01,則

"GQ三AOCQ，所以CO\=PG,又因為CO=CO,,所以0與a重合，所以PQ、

MN相交于一點，

所以M、N、P、Q四點共面。.…“

四、達(dá)標(biāo)測試題

1.若三個平面兩兩相交，旦三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（）

A.5部分rB.6部分

C.7部分D.8部分

2已知直線/,若直線6同時滿足以下三個條件：m與/是異面直線；m與/的夾角為

定值］；m與/的距離為n.那么，這樣的直線m的條數(shù)為（）

A.0B.2

C.4D.無窮多個

3已知a、b、c、”是四條直線，如果a_Lc,aJ-d,bX.c,bLd,則結(jié)論“a〃6"與"c〃》中成

立的情況是（）….

A.一定同時成立B.至多一個成立

C.至少一個,成立D.可能同時不成立

4正四棱柱中,AA=2AB,則異面直線4B與所成角的余弦值為（）

A-5B5

C1D4

5如圖，aC\p=l,A、BGa,C",Cg/,直線ABC/=M,過A、B、C三點的平面記作y,

則y與4的交線必通過（)

A.點A

C.點C但不過點MD.點C和點M

6在正方體AISGG中，面對角線與A"成60。的角的有（）

A.10條B.8條

C.6條D.4條

7已知a、b為不垂直的異面直線,a是一個平面，則a、b在a上的射影可能是①兩條平行

直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點“則在上面的結(jié)

論中，正確結(jié)論的編號是①②④（寫出所,有正確結(jié)論的編號）.

8平面服￡相交，在a、￡內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定

個平面.

9如圖所示，在三棱錐C-ABD中，E、F分別是AC和BD的中點，若CD=2AB=4,EF

±AB,則EF與CD所成的角是

10如圖所示，正方體A8CO-A山中，給出下列五個命題:

B

①直線AG在平面CCBB內(nèi)；

②設(shè)正方形ABC。與AiBiCQi的中心分別為0、0”則平面A4GC與平面88QQ的交

線為。01；

③由點A、0、C可以確定一個平面；

④由A、G、確定的平面是AOC向；

⑤若直線/是平面AC內(nèi)的直線，直線機是平面。C內(nèi)的直線；若/與m相交，則交點一定

在直線C。上.

其中真命題的序號是.

11設(shè)如圖所示，空間四邊形ABCD中,E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE：

EB=CF:FB=2：l,CG：GD=3：1,過E、F、G的平面交AD于H,連接EH.

(1)求AH：HD；

(2)求證：EH、FG、BD三線共點.

12.如圖所示，已知正三棱柱ABC-的底面邊長為1,若點M在側(cè)棱BBi上，且AM

與側(cè)面BCCXB\所成的角為?.

TT7T

⑴若a滿足條件：江仁，小，求的取值范圍；

(2)若a城，求AM與BC所成的角的余弦值.

c,

13.四棱錐P—ABC。的底面不是平行四邊形，用平面a去截此四棱錐(如圖)，使得截面四

邊形是平行四邊形，則這樣的平面a()

A.不存在.B.只有1個

C.恰有4個D.有無數(shù)多個

14已知兩異面直線〃、6所成角為全直線/分別與〃、〃所成的角都是仇則。的取值范圍

是

b'

0

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點講解與真題分析（五）

01平面的基本性質(zhì)與推論

一.重難點解讀

1.判定空間兩條直線是異面直線的方法:平面外一點/與平面內(nèi)一點8的連線和平面內(nèi)

不經(jīng)過該點8的直線是異面直線.

2.平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用：性質(zhì)1用符號語言表示：這

條性質(zhì)是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗證一個面是否是平面?；拘再|(zhì)2用符

A,B,C不共線,

號語言表示：A,B,Cea與￡重合.有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說

明圖形存在，但不保證唯一，“只有一個”說明圖形如果有的話，,頂多只有一個，但不保證符

合條件的圖形存在，“有且只有一個“既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.性質(zhì)

3符號語言：PGa,且PGp=a尸=/,且Pe/..揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩

平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個平面交線的方法.今后所說的兩個平面（或兩條直線），如無

特殊說明，均指不同的平面（直線）.，性質(zhì)3的應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定點在

直線上.

3.集合中七”的符號只能用于點與直線，點與平面的關(guān)系，'、u'和、、n"的符號只能用于

直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號，但在讀法上仍用

幾何語言。

二.注意點剖析

1.三個公理的作用：平面的基本性質(zhì)1：①說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別；②是判定

直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；③也可用于驗證一個面是否是平面。平面的基本性質(zhì)2.證明

兩平面重合；平面的基本性質(zhì)3的作用有五個：①判定兩個平面相交；②證明點在直線

上；③證明三點共線；④證明三線共點；⑤畫兩個相交平面的交線.

2.注意事項(1)應(yīng)用性質(zhì)2時，要注意條件''三個不共線的點”.事實上，共線的三點是

不能確定一個平面的.(2)在立體幾何中，符號與、'u"的用法與讀法不要混淆.(3)

解決立體幾何問題時注意數(shù)學(xué)符號、文字語言、圖形語言間的相互轉(zhuǎn)化.(4)在平面幾

何中，往往把輔助線畫成虛線，而在立體幾何中則不然，凡是被平面遮住的線都要畫成

虛線，凡是沒被遮住的線都要畫成實線，無論是圖中固有的線還是后作的輔助線。

三,典例剖析

1.公理1的應(yīng)用

公理1是證明直線在平面內(nèi)的依據(jù)，證明時只需證明直線上有兩個點在平面內(nèi)。

例1、如圖，▲ABC中，若AB,BC在平面a內(nèi)，判斷AC是否在平面a內(nèi)？為什

么？

解：由AB、BC在平面a內(nèi)，得,根據(jù)公理1,得AC在平面a內(nèi)。

2.公理2的應(yīng)用

證明共面問題。證明時一般有兩種途徑:一是先證其中部分元素可以確定一個平面，

再證其余元素在這個平面內(nèi)；二是先證這些元素分別確定若干個平面，再利用唯一性證

明這些平面重合。

例2、已知四條直線a,b,c,d兩兩相交且不共點,

求證：a,b,c,d四線共面。

證明：(1)無三線共點情況，由于a,c,c,d兩兩相交，知a,b可確定一平面a,

設(shè)

c與a,b分別交于A,B兩點，因為aua,bua,Aea,Beb，貝!|AcdCea,

所以cue,同理可證dua，所以a,b,c,d四線共面。

(2)三線共點情況，設(shè)a,b,c三線相交于點H,d與a,b,c分別交于E,F,

G三點，因為a,c,c,d兩兩相交且不共點，所以“任"，所以點H與直線d可確定

一平面夕，

由fed，得Ew。,又由Hep,Ee0得au0,同理可證。u(3,cu。，所以

a,b,c,c四線共面。

3.公理3的應(yīng)用

1、作兩個平面的交線，解題時只要找出兩個平面的兩個公共點，再連結(jié)這兩個點

即可。

2、證明多點共線，可先證明這些點是兩個平面的公共點，再利用兩個平面交線的

唯_

性說明這些公共點共線。

例3、已知M、N、P、Q分別是正方體ABCD-ABCQ中棱AB、BC、CR、C,C

的中點，證明：M、N、P、Q四點共面。

解：如圖，連結(jié)MN并延長交DC延長線于0,

貝必MBN=\OCN,所以CO=MB,連結(jié)PQ并延長交DC延長線于0},則

APC,Q三AO.Ce，所以CO、=Pg,又因為CO=CO-所以。與0,重合，所以PQ、

MN相交于一點，

所以M、N、P、Q四點共面。

四、達(dá)標(biāo)測試題

1.若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（）

A.5部分B.6部分

C.7部分D.8部分

LC解析:如圖所示，三個平面a、8、：兩兩相交，交線分另提a、b、c且a〃b，c.則a、d7把空間分成7

部分.

2已知直線/,若直線。同時滿足以下三個條件：m與/是異面直線；m與/的夾角為定

值T；m與/的距離為n.那么，這樣的直線刀的條數(shù)為（）..

A.0B.2

C.4D.無窮多個

2.D解析：作一個與/平行且距離為n的平面a,在a內(nèi)作一條直線瓶與/的夾角為爭則a

上與〃?平行的直線均同時滿足三個條件.故選D.

【失分點分析】本題借助于異面直線的夾角、距離等概念考查空間想象能力.在空間中“

當(dāng)兩條異面直線確定之后，它們之間的夾角與距離也就唯一確定了，此題目實質(zhì)上是該結(jié)論

的反面..…

3已知〃、b、c、d是四條直線，如果〃_Lc,a_LdfZ?_Lc,b工d,則結(jié)論與"c〃/，中成

立的情況是（）

A.一定同時成立B.至多一個成立

C.至少一個成立JD.可能同時不成立

3.C解析：若c與d相交或異面，則。〃江若?！?，則。與》可能平行、相交或異面，故。

〃人與c〃d中至少有一個成立.學(xué)％

4正四棱柱ABC。一中,A4|=2A8,則異面直線A歸與AS所成角的余弦值為（）

ID解析：連結(jié)DC、.4C,易證出5〃DC,,

.../■4D1C即為異回且致出5與ZEh所成的角.設(shè).45=1,則乩4i=2,ADi=D】C=#，/C=亞,

1.異面直線小3與AD1所成角的余弦值為之

5如圖，an￡=/,A、BRa,C",C?/,直線A8n/=M,過4、B、C三點的平面記作y,

則了與￡的交線必通過（）

A.點AB.點B

C.點C但不過點例D.點C和點M

5.D解析：通過A、B、C三點的平面y,即是通過直線AB與點C的平面，

而Ce7,又,：MW，和4的交線必通過點c和點M.

6在正方體ABC。-AiSGDi中，面對角線與A3成60。的角的有（）

A.10條B.8條

C.6條D.4條

6.B解析：由△ABQi和△AC。1是等邊三角形，則A81、BQi.、AC、C2分別與A。成

60。的角，而DCX//AB\,AC//A\C{,CD\//A\B,從而BD、DC1、A|G、A|B邊

與A。成60。的角,選B.

7已知a、b為不垂直的異面直線,a是一個平面，則a、b在a上的射影可能是①兩條平行

直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點.則在上面的結(jié)

論中，正確結(jié)論的編號是①②④（寫出所有正確結(jié)論的編號）.

7.①②④解析：①、②、④對應(yīng)的情況如下：

用反證法證明③不可能.

8平面a、￡相交，在a、尸內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定

個平面.

8：1或4

解析：分類，如果這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面，如果這四點不共面，則任意三點可確定一個

平面，可確定四個.

9如圖所示，在三棱錐C-ABD中，E、F分別是AC和8。的中點，若CQ=2AB=4,EF

1AB,則EF與CD所成的角是.

9：30°

解析：取CB的中點G,連結(jié)EG、FG,

:*EG//AB,FG//CD,

EF與CD所成的角為NE尸G.

51.'：EFLAB,J.EFVEG.

在RSEFG中，EG=148=1,FG=^CD=2,

sinZEFG=1,AZ￡FG=30°,

；.EF與CD所成的角為30。.*網(wǎng)

【規(guī)律總結(jié)】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用

圖中已有的平行線平移；利用特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；補形平移.計算

異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.

10如圖所示，正方體ABCC-AJBICQI中，給出下列五個命題：

①直線ACt在平面CGBiB內(nèi)；

②設(shè)正方形A8CD與ABiGA的中心分別為。、。1，則平面A4GC與平面B8NQ的交線

為001；

③由點A、。、C可以確定一個平面；

④由A、G、8確定的平面是AOCIi；

⑤若直線/是平面AC內(nèi)的直線，直線機是平面OC內(nèi)的直線；若/與〃?相交，則交點一定

在直線CD上.

其中真命題的序號是.

10.②@5）；解析：①錯誤.若NC1U平面CC1&3,2BCt平面CC出3,平面CCB3,與A8評:

面CCiBiB矛盾；

②正確.。、5定兩平面的兩個公共點；

⑧錯誤.筋4。、C共繚*

④正確./、Ci、Bi不共線，.?.確定平面a,又為平行四邊形，WC】、相交于5點，而S€a,|

31￡a,

^.BiOica,而DWB1Q2,，。毛幻.J

⑤正確.若/與〃?相交，則交點是兩平面的公共點，而直線C。為兩平面的交線，所以交點

一定在直線CD上.

11設(shè)如圖所示，空間四邊形ABCD中,E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE：EB=CF:

FB=2：1,CG：GD=3：1,過E、F、G的平面交AD于H,連接EH.

(1)求AH：HD；

(2)求證：EH、FG、BD三線共點.

"4E°CF

11解析：(D解V—=—=2.-.EF//AC.

EBFB

.'.EF〃平面ACD.fTnEFU平面EFGH,

且平面EFGH：平面ACD=GH,

.\EF/GH而EF//A(

.,.AC//GH.

JTT

------=------=3.即AH:HD=3:1.

,HDGD

EF1GH1

(2)證明；EF〃GH,且」=—,——=-,

AC3AC4

EF#GH，二四邊形EFGH為梯形.

令EHC1FG=P,則PGEH,而EHu平面ABD,

PGFGFGu平面BCD,平面ABDC平面BCD=BD,

?,.PeBD.AEH,FG、BD三線共點.學(xué)％

［知識拓展］證明線共點的問題實質(zhì)上是證明點在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩

平面的交線，點看作是兩平面的公共點，由公理3得證.

12.如圖所示，已知正三棱柱ABC—ABiG的底面邊長為1,若點M在側(cè)棱上，且AM

與側(cè)面BCGBi所成的角為a.

⑴若a滿足條件：aG序TT卦7T求的取值范圍;

(2)若a為會求AM與BC所成的角的余弦值”

12解析：⑴設(shè)3c的中點為D,連結(jié).4D.W,在主UBC中，易失［MD1BC,

又側(cè)面3CG31與底面43c互相垂直，側(cè)面BCCB,即/4WD為4W與側(cè)面BCCB所成的角,

/AXID—a

，在RIA4DM中

cos4MD=H0設(shè)瓦"=x,依題意，

2gqi+x2,

",C0Sa=2^B，由已知各令

即生小羋,

所以cos^<cosa<cos1,€0

./'l+4x,道-l+4x),

'?"--l+x-53-

,,22

-2A/?77-

解得羋/S.

和的取值范圍是［半，s］

(2)若&=煮，即x=加時，即BM=啦,

作MM/BC交CG于M，連結(jié)AM,

所以AM與MM.所成的不大于90。的正角即為異面直線AM與BC所成的角,

222

*?AM+MMi-AM]1小

1

在AAMMi中，cosZAMM,-2AM-MM,=麗=6

所以此時AM與BC所成的角的余弦值是坐.

13.四棱錐P—ABC。的底面不是平行四邊形，用平面a去截此四棱錐(如圖)，使得截面四

邊形是平行四邊形,則這樣的平面a()

A.不存在B.只有1個

C.恰有4個D.有無數(shù)多個

13.D解析：設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為孫?,直線叭”確定了一個平面￡作與￡平行的平

面a,與四棱錐的各個側(cè)面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形.而這樣的平面a有無數(shù)多個.

14已知兩異面直線a、b所成角為全直線I分別與a、b所成的角都是。，則9的取值范圍

解析：作空間任一點0,過。作a,匕平行線，，b',將/平移過。點，."在過"，〃角平

分線且垂直a',〃所成平面的平面內(nèi),

??冬俱.&網(wǎng)

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點講解與真題分析(五)

02空間平行問題的證明方法

線、面平行關(guān)系是一種特殊的空間位置關(guān)系，是高考考查重點，為使同學(xué)們能熟練掌

握證明平行的判斷與性質(zhì)，下面從證明平行的方法和引入例題進(jìn)行剖析。

-.證明平行的方法技巧：

知識點一：1、線線平行的四種證明方法：

(1)線線平行的定義：證明線線共面且無公共點；

(2)基本性質(zhì)4:證明兩線同時平行于第三條直線。

(3)線面平行的性質(zhì)定理：/〃d///民?？?=加=>/〃機把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線

面平行，這是最基本也是最重要的方法。

(4)平行平面的性質(zhì)定理：ailP，yCa=a,yCB=b=aHb.

知識點二：判斷直線與平面平行的三種方法

(1)利用定義：證明直線與平面沒有公共點，這一點直接證明是比較困難的，往往借

助于反證法來證明。(2)直線和平面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直

線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。模式：

lqa,mua,lHmnlH&使用定理時,一定要說明''平面外的一條直線和平面內(nèi)的一

條直線平行"，若不注明和平面內(nèi)的直線平行，證明過程就不完備。因此要證明/〃&,

則必須在平面a內(nèi)找一條直線m,使得"/m,從而才能達(dá)到證明的目的。

(3)面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另

一個平面。推理模式：aH/3,aua=a//0.

知識點三：判斷面面平行的三種方法(1)根據(jù)定義：證明兩個平面沒有公共點，往往

采用反證法。

(2)根據(jù)判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這

兩個平面互相平行。推理模式：au0,bu0,anb=P,a/ia=0Ha.；(3)

平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的

兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。推理模式：

aCb=P,aua,bua,P',a'u/3,b'c.尸,a〃〃,>〃〃=>a〃/?.還可以用''垂直

于同一條直線的兩個平面平行”作為依據(jù)證明面面平行。

二注意點剖析：一

1.證明平行問題，一般地說，就是要證線線平行。事實上，線面平行、面面平行都可

轉(zhuǎn)化為證線線平行。如果已知線面平行、面面平行也可用來證線線平行，要注意掌握它

們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

2.線線平行，線面平行與面面平行的判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，

在學(xué)習(xí)中應(yīng)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的科學(xué)規(guī)律：低一級位置關(guān)系判定著高一級位置關(guān)系；高一級位

置關(guān)系一定能推導(dǎo)低一級位置關(guān)系，下面以三種位置關(guān)系為綱應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想整理如

下：

面面平行的性質(zhì)

性質(zhì)4線面平行的判定面面平行的判定

占線線平行

平面幾何性質(zhì)|線面平行|、、面面平行

線面平行的性質(zhì)面面平行的性質(zhì)~I：—

面面平行的判定+線面平行的判定

在完成證明題時，總是由已知想性質(zhì)，由求證想判定。

3兩個平面平行問題的判定與證明，是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行

的問題，即''線面平行，則面面平行”，必須注意這里的''線面"是指一個平面內(nèi)的兩條相

交直線和另一個平面。

4.輔助線、面是解決有關(guān)線面問題的關(guān)鍵，要充分發(fā)揮輔助線、面在化空間問題為平面

問題中的轉(zhuǎn)化作用。轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中具有舉足輕重的作用，其主要途徑是把立體

幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決。

三.典例印證

例1（2018春?東湖區(qū)期中）在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形，/BAD=60。,

Q為AD的中點，點M在線段PC上，PMWPC,PAII平面MQB，則實數(shù)t的值為（）

A.LB.kC.LD.L

5432

【分析】連AC交BQ于N,交BD于0,說明PAII平面MQB,利用PAIIMN，根據(jù)三角

形相似，即可得到結(jié)論.

解：連AC交BQ于N,交BD于O,連接MN,如圖

則。為BD的中點，又?「BQ為aABD邊AD上中線,/.N為正三角形ABD的中心，令菱

形ABCD的邊長為a,貝！JAN=蟲a,AC=石a.

3

,「PAII平面MQB,PAu平面PAC,平面PACC平面MQB=MN

.'.PAIIMN,.'.PM：PC=AN:AC,即PM=-PC,t=-.故選：C.

33

【點評】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理的運用，關(guān)鍵是將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，

利用平行線分線段成比例解答，考查運算求解能力?？疾榭臻g想象能力。

例2（2018?東莞市二模）如圖，平面CDEFL平面ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形

CDEF為直角梯形,zADC=120r0,CF±CD,且CFllDE,AD=2DC=DE=2CF.

（I）求證：BFII平面ADE；

（n）若AD=2,求該幾何體的各個面的面積的平方和.

【分析】（I）取DE的中點H,連接AH,HF,通過證明四邊形ABFH為平行四邊形得

出BFIIAH,故而結(jié)論得證；（II）利用勾股定理計算各棱長，得出各側(cè)面的面積.

證明：（I）取DE的中點H,連接AH,HF.?.四邊形CDEF為直角梯形，DE=2CF,

H是DE的中點，，HF=DC,且HF"DC.?四邊形ABCD是平行四邊形，」.ABuDC,且

ABIIDC,.-.AB=HF，且ABIIHF四邊形ABFH是平行四邊形,

.'.BFIIAH,又"曲平面ADE,BFC平面ADE,，BFll平面ADE.

（H）..在平行四邊形ABCD中，AD=2,CD=1,zADC=120°,

ABCD=2X；X2X1X

???S四邊形曰=73,SAADE^-X2X2=2,SABCF^|-X2X1=1.?

連結(jié)BD,

貝！IDE±BD,且DE=2,BD=K,,，BE=5,又AE=2&,AB=1,.-.AE2=AB2+BE2,即

x一

zEBA=90°,SAABEX1V7=^y-?

又EF=A/2，BF=A/5,.-.BF2+EF2=BE2,即NEFB=90。，

灰在邛.梯形

??SABEF4XXSCDEF（DE+CF）XCD4X3X1=1.

.?.該幾何體的各個面的面積的平方和為

222222=

（v3）+2+i+（f）+4）+（^f-

【點評】本題考查了線面平行的判定，判定直線與平面平行的主要依據(jù)是直線與平面平

行的判定定理，即''線線平行，則線面平行”，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與平面外的直

線平行。通常的做法是：過直線作平面，得交線，若線線平行，則線面平行?！?/p>

例3（2018?四川模擬）如圖,在長方體ABCD-AfiCQi中,AB=1,AD=2,E,F分

別為AD,AAi的中點，Q是BC上一個動點，且BQ=AQC（入＞0）.當(dāng)入=1時，求證：

平面BEFII平面AiDQ；

【分析】A=1時，推導(dǎo)出四邊形BEDQ是平行四邊形，從而BEIIQD,進(jìn)而BEII平面

AiDQ.再推導(dǎo)出EFII平面AiDQ.由此能證明平面BEFII平面AiDQ.

解：（1）入=1時，Q為BC中點，因為E是AD的中點，所以ED=BQ,EDIIBQ,則四

邊形BEDQ是平行四邊形，所以BEIIQD.又BEU平面AQQ,DQu平面AQQ,所以

BEII平面AiDQ.又F是A3中點，所以EFIIAQ，因為BFC平面AQQ,AQu平面AQQ,

所以EFII平面AjDQ.因為BEnEF=E,EFu平面BEF,BEu平面BEF,所以平面BEFII

平面AiDQ.

【點評】本題考查面面平行的證明，考查空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)

合思想，證明面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行即可解決問題。

例4（2018?保定期中）P為"BC所在平面外一點，平面a||平面ABC,a分別交線段

PA、PB、PC于Ai、Bi、Ci,若PAi:AiA=2：3,貝（j:S1sAec~°-

【分析】作出圖形，由面面平行得到△AIBIQSAABC,再由相似三角形得到面積比為相

似比的平方，即可得到面積比.

解：由圖知，???平面aII平面ABC,，ABII平面a,又由平面an平面PAB=AE，則AE

IIAB,,.PAi：AiA=2：3,即PAi：PA=2：5,「.AB：AB=2：5

同理得到BQ：BC=2:5,A1C1:AC=2:5,由于相似三角形得到面積比為相似比的平

方，所以％用6:（|）2=2，故答案為言

【點評】本題通過面面平行證明線面平行到線線平面的轉(zhuǎn)化，利用相似于三角形的面積

之比等于邊長的平方之比來求解.

四、達(dá)標(biāo)測試題

1.（2018?桃城區(qū)校級模擬）如圖，各棱長均為1的正三棱柱ABC-AiBiG,M,N分

別為線段AiB,BiC上的動點，且MNII平面ACCA,則這樣的MN有（）

A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條

2（2018?青州市三模）如圖,在正方體ABCD-ABQD1中，M,N分別是BQ,CDt

的中點，則下列說法錯誤的是（）

A.MN±CCiB.MN,平面ACCA

C.MNIIABD.MNII平面ABCD

3.（2018?攀枝花三模）已知m、n為異面直線，m_L平面a,n_L平面B.直線I滿足

l±m(xù),l±n,lea,letp，則（）

A.。邛，且Illa,I邛B.a±p，且Illa,1邛

C.a與0相交，且交線垂直于ID.a與B相交，且交線平行于I

4（2018?德陽模擬）以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的中線AD為折痕，將4ABD

與aACD折成互相垂直的兩個平面，得到以下四個結(jié)論：①BD」平面ACD;②&ABC為

等邊三角形；③平面ADC,平面ABC；④點D在平面ABC內(nèi)的射影為AABC的外接圓

圓心.其中正確的有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

5.（2018?聊城二模）如圖，矩開鄉(xiāng)ABCD中,AB=2AD,E邊AB的中點，將MDE沿直

線DE翻折成^AiDE（A母平面ABCD），若M為線段ArC的中點,則在aADE翻折過程

中，下列結(jié)論正確的是—.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

°①VA-AJE?'VArBCDE=1?'3?，

②存在某個位置,使DEJLAIC；

③總有BMII平面AiDE；

④線段BM的長為定值.

6（2018春?武清區(qū)期中）如圖,在四邊形ABCD中，ADllBC,AD=AB,zBCD=45°,

ZBAD=9O°,將從BD沿BD折起，使平面ABD_L平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD,在四

面體ABCD的四個面中，與平面ADC垂直的平面為（寫出滿足條件的所有平面）

7.(2018?黃山一模)如圖,在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,zABC=90°,

平面PABJ_平面ABC,D,E分別為AB,AC中點.

(1)求證：DEII平面PBC；

(2)求證：AB±PE.；

(3)求三棱錐P-BEC的體積.

8(2018?銅山區(qū)模擬)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiC中，已知NACB=90。，BC=CCX,

E,F分別為AB,AAi的中點.

(1)求證：直線EFII平面BCM；

(2)求證：EFJ_B￡.一

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點講解與真題分析(五)

02空間平行問題的證明方法

線、面平行關(guān)系是一種特殊的空間位置關(guān)系，是高考考查重點，，為使同學(xué)們能熟練掌

握證明平行的判斷與性質(zhì)，下面從證明.平行的方法和引入例題譴行剖析。

-.證明平行的方法技巧：

知識點一：1、線線平行的四種證明方法：

(1)線線平行的定義：證明線線共面且無公共點；

(2)基本性質(zhì)4:證明兩線同時平行于第三條直線。...

(3)線面平行的性質(zhì)定理：/〃d///民。口，=加=>/〃機把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線

面平行，這是最基本也是最重要的方法。

(4)平行平面的性質(zhì)定理：ailP，yCa=a,yCB=b=aHb.

知識點二：判斷直線與平面平行的三種方法

(1)利用定義：證明直線與平面沒有公共點，這一點直接證明是比較困難的，往往借

助于反證法來證明。(2)直線和平面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直

線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。模式：

/加uc,/〃加=>/〃&使用定理時，一定要說明】'平面外的一條直線和平面內(nèi)的一

條直線平行"，若不注明和平面內(nèi)的直線平行，證明過程就不完備。因此要證明/〃《,

則必須在平面a內(nèi)找一條直線m,使得"/m,從而才能達(dá)到證明的目的。

(3)面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另

一個平面。推理模式：aH/3,aua=a//0.

知識點三：判斷面面平行的三種方法(1)根據(jù)定義：證明兩個平面沒有公共點，往往

采用反證法。

(2)根據(jù)判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這

兩個平面互相平行。推理模式：au0,bu0,anb=P,a/ia=0Ha.；(3)

平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的

兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。推理模式：

aC\b=P,aaa,bu為'=P',a'cz0,bu尸,a〃〃,>〃〃=>a〃/?.還可以用''垂直

于同一條直線的兩個平面平行”作為依據(jù)證明面面平行。

二注意點剖析：

1.證明平行問題，一般地說，就是要證線線平行。事實上，線面平行、面面平行都可

轉(zhuǎn)化為證線線平行。如果已知線面平行、面面平行也可用來證線線.平行,要注意掌握它

們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

2.線線平行，線面平行與面面平行的判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，

在學(xué)習(xí)中應(yīng)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的科學(xué)規(guī)律：低一級位置關(guān)系判定著高一級位置關(guān)系；高一級位

置關(guān)系一定能推導(dǎo)低一級位置關(guān)系，下面以三種位置關(guān)系為綱應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想整理如

下：

面面平行的性質(zhì)

性質(zhì)4線面平行的判定面面平行的判定

占線線平行

平面幾何性質(zhì)|線面平行|、、面面平行

線面平行的性質(zhì)面面平行的性質(zhì)~I：—

面面平行的判定+線面平行的判定

在完成證明題時，總是由已知想性質(zhì)，由求證想判定。

3兩個平面平行問題的判定與證明，是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行

的問題，即''線面平行，則面面平行”，必須注意這里的''線面"是指一個平面內(nèi)的兩條相

交直線和另一個平面。

4.輔助線、面是解決有關(guān)線面問題的關(guān)鍵，要充分發(fā)揮輔助線、面在化空間問題為平面

問題中的轉(zhuǎn)化作用。轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中具有舉足輕重的作用，其主要途徑是把立體

幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決。

三.典例印證

例1（2018春?東湖區(qū)期中）在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形，/BAD=60。,

Q為AD的中點，點M在線段PC上，PMWPC,PAII平面MQB，則實數(shù)t的值為（）

A.LB.LC.LD.L

R439

【分析】連AC交BQ于N,交BD于0,說明PAII平面MQB,利用PAIIMN,根據(jù)三角

形相似，即可得到結(jié)論.

解：連AC交BQ于N,交BD于O,連接MN,如圖

貝（I0為BD的中點，又「BQ為MBD邊AD上中線,/.N為正三角形ABD的中心，令菱

形ABCD的邊長為a,貝I」AN=^a,AC=ga.

3

「PAII平面MQB,PAu平面PAC,平面PACC平面MQB=MN

.'.PAIIMN,.'.PM：PC=AN:AC,即PM=-PC,t=-.故選：C.一

33

【點評】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理的運用，關(guān)鍵是將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，

利用平行線分線段成比例解答，考查運算求解能力?？疾榭臻g想象能力。

例2（2018?東莞市二模）如圖，平面CDEFL平面ABCD,四邊形ABCD是平行四邊形

CDEF為直角梯形,zADC=120°,CF±CD,SCFllDE,AD=2DC=DE=2CF.

（I）求證:BFII平面ADE;

（n）若AD=2,求該幾何體的各個面的面積的平方和.

【分析】（I）取DE的中點H,連接AH,HF,通過證明四邊形ABFH為平行四邊形得

出BFIIAH,故而結(jié)論得證；（II）利用勾股定理計算各棱長，得出各側(cè)面的面積.

證明：（I）取DE的中點H,連接AH,HF.?.四邊形CDEF為直角梯形，DE=2CF,

H是DE的中點，,HF=DC,且HFIIDC.?四邊形ABCD是平行四邊形，」.ABuDC,且

ABIIDC,.-.AB=HF，且ABIIHF四邊形ABFH是平行四邊形,

.-.BFIIAH,又.AHu平面ADE,BFC平面ADE,..BFII平面ADE.

（H）..在平行四邊形ABCD中，AD=2,CD=1,zADC=120°,

ABCD=2X；X2X1X

，S四邊形曰=73,SAADE^-X2X2=2,SABCF^|-X2X1=1.

連結(jié)BD,

貝！IDE±BD,且DE=2,BD=K,,，BE=5,又AE=2&,AB=1,.-.AE2=AB2+BE2,即

NEBA=90O".S△.卷XIX正醇

又EF=V2，BF=V5,.-.BF2+EF2=BE2,即NEFB=90。，

灰在邛.梯形

??SABEF4XXSCDEF（DE+CF）XCD4X3X1=1.

.?.該幾何體的各個面的面積的平方和為

222222=

（v3）+2+i+（f）+4）+（^f-

【點評】本題考查了線面平行的判定，判定直線與平面平行的主要依據(jù)是直線與平面平

行的判定定理，即''線線平行，則線面平行”，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與平面外的直

線平行。通常的做法是：過直線作平面，得交線，若線線平行，則線面平行。

例3（2018?四川模擬）如圖,在長方體ABCD-AfiCQi中,AB=1,AD=2,E,F分

別為AD,AAi的中點，Q是BC上一個動點，且BQ=AQC（入＞0）.當(dāng)入=1時，求證：

平面BEFII平面AiDQ；

【分析】A=1時，推導(dǎo)出四邊形BEDQ是平行四邊形，從而BEIIQD,進(jìn)而BEII平面

AiDQ.再推導(dǎo)出EFII平面AiDQ.由此能證明平面BEF"平面AiDQ.

解：（1）入=1時，Q為BC中點，因為E是AD的中點，所以ED=BQ,EDIIBQ,則四

邊形BEDQ是平行四邊形，所以BEIIQD.又BEU平面AQQ,DQu平面AQQ,所以

BEII平面AiDQ.又F是AiA中點，所以EFllAjD，因為BFC平面AQQADu平面AiDQ,

所以EFII平面AjDQ.因為BEnEF=E,EFu平面BEF,BEu平面BEF,所以平面BEFlI

平面AiDQ.

【點評】本題考查面面平行的證明，考查空間想