第十五章 第2講 分式的運(yùn)算 講義 (知識(shí)精講+典題精練)2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第2講分式的運(yùn)算【中考考綱】考點(diǎn)課標(biāo)要求知識(shí)與技能目標(biāo)了解理解掌握靈活應(yīng)用分式的運(yùn)算分式的乘除和加減√分式綜合運(yùn)算√分式的化簡(jiǎn)求值和大小比較√【知識(shí)框架】分式的乘除和加減分式的運(yùn)算分式的乘除和加減分式的運(yùn)算分式的綜合運(yùn)算分式的化簡(jiǎn)求值分式的大小比較

模塊1分式的綜合運(yùn)算【知識(shí)精講】分式的乘除法分式的乘除法：，2、分式的約分和通分：關(guān)鍵是先分解因式．分式的約分：利用分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子與分母的公因式，分式的值不變．最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒有公因式．分式的通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼剑褞讉€(gè)異分母的分式化成同分母的分式，不改變分式的值．最簡(jiǎn)公分母：“各個(gè)分母”和“所有因式”的最高次冪的積．3、分式的乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方．4、注意：、、、僅僅是一個(gè)符號(hào)，它們可以表示數(shù)，也可以表示式子（單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等），但必須要使分式有意義，所以很多時(shí)候需要考慮字母的取值范圍．二、分式的加減法：1、分式的加減法則：（1）同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減，（2）異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，再加減，2、知識(shí)規(guī)律小結(jié)：分式的加減法是分式運(yùn)算中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，怎樣合理的通分是化解這一難點(diǎn)的關(guān)鍵，需要注意的技巧包括分步通分，分組通分，先約分后再通分，換元后通分等．三、分式的綜合運(yùn)算分式的綜合運(yùn)算法則：先乘方，再乘除，最后加減，遇到括號(hào)先算括號(hào)里面的．注意：在進(jìn)行分式的綜合運(yùn)算時(shí)，要注意合理的通分、約分、分解因式，盡量用最簡(jiǎn)單的方法和步驟完成答題過(guò)程．

【經(jīng)典例題】下列等式從左到右的變形正確的是（）． B. C. D.計(jì)算：．計(jì)算：．計(jì)算：．計(jì)算：．計(jì)算：．若滿足，請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的數(shù)，使得代數(shù)式的值為一個(gè)奇數(shù)．

計(jì)算：．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，那么的值（）．是正數(shù) B.是零 C.是負(fù)數(shù) D.可正可負(fù)已知：，則分式的值是_________．計(jì)算：．計(jì)算：．已知與的和等于，則________，________．已知為整數(shù)，且為整數(shù)，則所有符合條件的值的和為__________．已知，則關(guān)于的方程的解是__________．已知,,，則__________．計(jì)算：．計(jì)算：．計(jì)算：．計(jì)算：．計(jì)算：．計(jì)算：．

模塊2分式的化簡(jiǎn)求值【知識(shí)精講】分式的化簡(jiǎn)與求值分式的化簡(jiǎn)求值分為有條件和無(wú)條件兩類有條件化簡(jiǎn)求值指導(dǎo)思想：瞄準(zhǔn)目標(biāo)，抓住條件，依據(jù)條件推導(dǎo)目標(biāo)，根據(jù)目標(biāo)變換條件分式的化簡(jiǎn)與求值常用方法和技巧：、分步或者是分組通分、拆項(xiàng)相消或拆分變形、整體代入、取倒數(shù)或者利用倒數(shù)關(guān)系、換元、先約分后通分

【經(jīng)典例題】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．化簡(jiǎn)，求值：，其中滿足．如果,,那么等于（）．A. B. C. D.已知，，均為實(shí)數(shù)，且，求的值．

已知，求代數(shù)式的值．

已知，則__________．若，，，且，則的值為__________．已知，且，則__________．已知，則的值是__________．已知，則__________．已知，，均不為零，且滿足，則的值是____________．設(shè)，，是三個(gè)互不相同的正數(shù)，，那么（）．B.C.D.已知，且，則的值等于（）．B.C.或D.設(shè)，，滿足且，則的值等于（）．B.C.D.已知，則=_________．已知：，求（1）；（2）；（3）的值．

模塊3分式的大小比較【知識(shí)精講】分式的大小比較（1）作差：若，則（2）作商：若，且，則；若，且，則注意：分式的大小比較主要思想是作差和0比較大小，作商和1比較大小，對(duì)于稍復(fù)雜的題目往往先對(duì)分式做一些變形，常用的技巧有添項(xiàng)、換元、通分，在進(jìn)行作差或者作商；用作商法比較分式的大小時(shí)，要注意符號(hào)的問題

【經(jīng)典例題】已知，按照從小到大的順序排列下列式子：，，，．已知，，為正數(shù)，且，若，，則與的大小關(guān)系是（）．B.C.D.隨，，的取值而變化已知，，都是正數(shù)，且，試證明分式的值總小于的值．設(shè)，，都是正數(shù)，若，則，，三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）．B.C.D.已知，，是中三邊長(zhǎng)，則與的大小關(guān)系是（）．A.B.C.D.隨，，的取值而變化，兩個(gè)家庭同去一家糧店購(gòu)買大米兩次，兩次大米的售價(jià)有變化，但兩個(gè)家庭購(gòu)買的方式不同．其中家庭每次購(gòu)買千克，家庭每次用去25元，且不問購(gòu)買大米各多少，問誰(shuí)的購(gòu)買方式合算？

【隨堂練習(xí)】化簡(jiǎn)：_________________．已知，則的值等于（）．A. B. C. D.若，則的值為（）．

A. B. C. D.

當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是（）． B. C. D.

若，，滿足，則，，中（）．

A．必有兩個(gè)數(shù)相等 B．必有兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)C．必有兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù) D．每?jī)蓚€(gè)數(shù)都不相等 已知甲乙兩位采購(gòu)員同去一家飼料購(gòu)買兩次飼料．兩次的價(jià)格有變化，兩位采購(gòu)員的采購(gòu)方式也不同，其中甲每次購(gòu)買千克，乙每次都用元．問：（1）甲、乙所購(gòu)買飼料的平均單價(jià)各是多少？（2）誰(shuí)的購(gòu)買方式更合算？【課后作業(yè)】已知：，則__________．

已知，且，則的值是________．

計(jì)算：．

先化簡(jiǎn)，再求值，其中．若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則__________．

任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和：（都是正整數(shù)），顯然，這里的都大于如果設(shè),那么有．（1）探索上式中的正整數(shù)，與正整數(shù)之間存在什么關(guān)系？（2）寫出等于兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和的所有可能的情